2026届新高考数学三轮冲刺复习导数几何意义与不等式证明

2026届新高考数学三轮冲刺复习导数几何意义与不等式证明命题热度：本专题是历年高考命题必考的内容，属于低中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为5~13分.考查方向：考查重点一是利用导数的几何意义，求切线方程、参数值、范围等，二是利用导数证明不等式，涉及构造函数求最值、极值点偏移，以及切割线放缩等.考点一导数的几何意义

(1)(2025·湛江模拟)已知函数f(x)=ex+2x，则曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为A.y=2x+1 B.y=3x+1C.y=2x D.y=3x例1√由f(x)=ex+2x，得f'(x)=ex+2，则f(0)=1，f'(0)=3，所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=3x+1.解析(2)若至少存在一条直线与曲线f(x)=2x2+3和g(x)=3-tlnx(t≠0)均相切，则t的取值范围是A.[-4e，0) B.[2e，+∞)C.(-4e，0)∪(0，+∞) D.[-4e，0)∪(0，+∞)√

解析

解析(1)导数的几何意义①函数f(x)在x=x0处的导数即曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率；②曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同；③切点既在切线上，又在曲线上；(2)区分“在点处”的切线和“过点处”的切线，过点P的切线，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.规律方法跟踪演练1

(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=

.

ln2

解析

解析考点二单变量函数不等式的证明

例2

解

解(2)若a=0，x>0，证明：f(x)>g'(x).

证明

证明

证明即ln

x+1≤x，当且仅当x=1时等号成立，要证f(x)>g'(x)，即证xex>ln

x+1，只需证xex>x，即证ex>1.因为x>0，所以ex>e0=1，即证得f(x)>g'(x)成立.方法三

切线放缩法令φ(x)=ex-x-1，则φ'(x)=ex-1，当x∈(-∞，0)时，φ'(x)<0，证明当x∈(0，+∞)时，φ'(x)>0，所以φ(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，所以φ(x)≥φ(0)=0，即ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立.当x>0时，xex>x(x+1)，要证f(x)>g'(x)，即证xex>ln

x+1，只需证x(x+1)>ln

x+1，即证x(x+1)-ln

x-1>0.证明

证明

证明

证明利用导数证明或判定不等式问题的常用方法(1)最值法：通过移项构造新函数或者等价变形构造新函数，求解新函数的最值，从而得出不等关系；(2)适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；(3)凹凸反转法：把所证不等式转化为两个函数的大小关系，分别求解两个函数的最值，得到不等关系.规律方法

解

证明考点三双变量函数不等式的证明

已知函数f(x)=xe-x.(1)求函数f(x)的单调区间；例3f'(x)=e-x-xe-x=(1-x)e-x，令f'(x)>0⇒x<1；令f'(x)<0⇒x>1，则f(x)的单调递增区间为(-∞，1)，单调递减区间为(1，+∞).解(2)如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，证明：x1+x2>2.

证明即f(1+x)>f(1-x)对x∈(0，1)恒成立.由0<x1<1<x2，得1-x1∈(0，1)，所以f(1+(1-x1))=f(2-x1)>f(1-(1-x1))=f(x1)=f(x2)，即f(2-x1)>f(x2)，又因为2-x1，x2∈(1，+∞)，且f(x)在(1，+∞)上单调递减，所以2-x1<x2，即x1+x2>2.方法二

要证x1+x2>2，即证x2>2-x1，不妨设x1<x2，由方法一知，0<x1<1<x2，故2-x1，x2∈(1，+∞)，又因为f(x)在(1，+∞)上单调递减，证明

证明

证明构造函数G(t)=2t+(t-2)(et-1)，t>0，则G'(t)=(t-1)et+1，令p(t)=G'(t)，t>0，则p'(t)=tet>0，故G'(t)在(0，+∞)上单调递增，G'(t)>G'(0)=0，从而G(t)也在(0，+∞)上单调递增，则G(t)>G(0)=0，即2t+(t-2)(et-1)>0成立，即原不等式x1+x2>2成立.证明证明含双参不等式成立的关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是构造函数，借助导数，判断函数的单调性，从