2026届新高考数学三轮冲刺复习恒成立与能成立问题

2026届新高考数学三轮冲刺复习恒成立与能成立问题命题热度：本专题是历年高考命题常考的内容，属于中高档题目，具有一定的难度，三种题型都有所考查，分值约为5~10分.考查方向：考查重点一是不等式恒成立求参数的取值范围；二是不等式能成立求参数的取值范围，包含双变量的恒成立、能成立求参数的取值范围.考点一利用导数研究恒成立问题

(2025·石家庄模拟)已知函数f(x)=ex-ax-3(a∈R).(1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在(0，f(0))处的切线方程；例1由题设f(x)=ex+x-3，则f'(x)=ex+1，且f(0)=-2，f'(0)=2，∴曲线y=f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y+2=2x，即2x-y-2=0.解

解当1-a≥0，即a≤1时，g'(x)≥0，则g(x)在[0，+∞)上单调递增，g(x)≥g(0)=0，符合题意；当1-a<0，即a>1时，g'(0)<0，而当x→+∞时，g'(x)→+∞，∴∃x0∈(0，+∞)，使g'(x0)=0，即在[0，x0)上，g'(x)<0，在(x0，+∞)上，g'(x)>0，∴g(x)在[0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增，从而g(x)min=g(x0)<g(0)=0，与g(x)≥0恒成立矛盾，不符合题意，综上，a≤1.解

解又g'(x)=ex-x-a，故g'(0)=1-a≥0，即a≤1，下证，当a≤1时，g(x)≥0恒成立.∵g″(x)=ex-1≥e0-1=0，∴g'(x)在[0，+∞)上单调递增，∴g'(x)≥g'(0)=e0-a=1-a≥0，∴g(x)在[0，+∞)上单调递增，∴g(x)≥g(0)=0恒成立，故a≤1.解

解

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解∴g'(x)=ex-x，g″(x)=ex-1≥e0-1=0，∴g'(x)在[0，+∞)上单调递增，∴g'(x)≥g'(0)=1>0，∴g(x)在[0，+∞)上单调递增，又g'(0)=1，g(0)=0，∴曲线g(x)在x=0处的切线方程为y-0=1·(x-0)，即y=x，故当x≥0时，y=ax的图象在y=x图象的下方，∴a≤1.解由不等式恒成立求参数的取值范围的策略(1)求最值法.将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.(2)分离参数法.一是参数全分离，将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的取值范围；二是参数半分离，把不等式分解成f(x)<g(x)或f(x)>g(x)的形式，要调节参数a与x的位置，使f(x)与g(x)的作图更方便，一般分为一条动直线与一条曲线.(3)利用端点效应(必要性探路)，先利用端点处需满足的必要条件缩小参数的取值范围，而往往得到的范围即为所求，再去做充分性论证即可.规律方法跟踪演练1

(2025·苏州模拟)已知函数f(x)=alnx-x2，a∈R.(1)当a<0时，求函数f(x)零点的个数；

解(2)若f(x)+x2-x≤-1恒成立，求a的取值范围.

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解考点二利用导数研究能成立问题

例2

解

x(-∞，0)0(0，2)2(2，+∞)f'(x)-0+0-f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减(2)对∀x1∈[-1，0]，总存在x2∈[2，e2]，使f(x1)≤g(x2)成立，求实数a的取值范围.

解

解x22(2，e)e(e，e2)e2h'(x2)

+0-

h(x2)单调递增极大值单调递减不等式能成立问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别.含参数的不等式能成立(存在性)问题的转化方法：若a>f(x)在x∈D上能成立，则a>f