2026届新高考数学三轮冲刺复习计数原理与概率

2026届新高考数学三轮冲刺复习计数原理与概率命题热度：本专题是历年高考命题必考的内容，属于中低档题目，三种题型都有所考查，分值约为5~10分.考查方向：一是考查排列、组合的应用；二是考查求二项或三项展开式中指定项的系数或已知展开式中项的系数求参数；三是考查古典概型、条件概率及全概率.考点一排列与组合问题

(1)(多选)小许购买了一套五行文昌塔摆件(如图)，准备一字排开摆放在桌面上，下列结论正确的有

A.不同的摆放方法共有120种B.若要求“水塔”和“土塔”不相邻，

则不同的摆放方法共有36种C.若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有72种D.若要求“水塔”和“土塔”相邻，且“水塔”不摆两端，则不同的摆

放方法共有36种例1√√√

解析(2)(2024·新课标Ⅱ卷)在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有

种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是

.

24112由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有4×3×2×1=24(种)选法；先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数字分别为1，2，3，4.再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5，故从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第四行选15，此时个位上的数字之和最大.故选中方格中的4个数之和的最大值为21+33+43+15=112.解析排列、组合问题的求解方法与技巧(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，等价转化.规律方法跟踪演练1

(1)(2025·湖北高中协作体联考)从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为A.30 B.20 C.10 D.6√从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两个不同的数字相加，和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种取法；②取出的两数都是奇数，共有3种取法.故由分类加法计数原理得，共有3+3=6(种)取法.解析(2)(2025·皖豫联盟联考)如图(1)，由两个半径相等的圆柱体呈直角相交而得到的公共部分对应的几何体称为“牟合方盖”(如图(2))，牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为1，2，3，4，然后每个曲面涂一种颜色，相邻(有公共边)的两面颜色不能相同，如果只有4种颜色的染料可供使用，则不同的涂色方法种数为A.24 B.48 C.60

D.84√根据牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为1，2，3，4，故可转化为有公共点的4个区域，如图所示.1号小方格可以从4种颜色的染料中任取一种涂色，有4种不同的涂法.①当2号、3号小方格涂不同颜色的染料时，有3×2=6(种)不同的涂法，4号小方格有2种不同的涂法，故由分步乘法计数原理，可知有4×6×2=48(种)不同的涂法.解析②当2号、3号小方格涂相同颜色的染料时，有3种不同的涂法，4号小方格也有3种不同的涂法，故由分步乘法计数原理，可知有4×3×3=36(种)不同的涂法.综上，由分类加法计数原理，可得共有48+36=84(种)不同的涂法.解析考点二二项式定理

(1)(2025·江西八校联考)在(x2+x+y)6的展开式中，x7y的系数为A.3 B.6 C.60 D.30例2√

解析(2)(多选)(2025·上饶模拟)若(x+2)(x-1)8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a9(x+1)9，则下列结论正确的是A.a1+a2+a3+…+a9=2B.a7=96C.a0+2a1+22a2+23a3+…+29a9=4D.a1+2a2+3a3+…+9a9=-15√√

解析

规律方法

√

解析

解析

240

解析考点三概率

例3√

解析

√√√

解析求概率的方法与技巧(1)古典概型用古典概型概率公式求解.(2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解.(3)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解.规律方法

√

解析(2)(2025·九江模拟)如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其