2026届新高考数学三轮冲刺复习随机变量及其分布

2026届新高考数学三轮冲刺复习随机变量及其分布命题热度：本专题是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，主要以解答题的形式进行考查，分值约为13~17分.考查方向：一是求离散型随机变量的分布列及其均值与方差；二是分布列、均值与统计图表的综合应用；三是利用分布列、均值与方差进行决策或分析，此类试题的阅读量大，综合性较强.考点一分布列性质及应用

例1ξ-1012P2aa2ab

√

解析(2)(多选)已知a>0，b>0，c>0，且a，b，c成等差数列，随机变量X的分布列为X123Pabc

√√√

解析

解析分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性.(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.规律方法

√√√

解析

√

解析考点二随机变量的分布列

(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1-α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).例2考向1相互独立事件A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率

为(1-α)(1-β)2B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1-β)2C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3D.当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用

单次传输方案译码为0的概率√√√

解析对于D，三次传输，发送0，则译码为0的概率P=(1-α)2(1+2α)，单次传输发送0，则译码为0的概率P'=1-α，而0<α<0.5，因此P-P'=(1-α)2(1+2α)-(1-α)=α(1-α)(1-2α)>0，即P>P'，故D正确.解析

(2025·济宁模拟)为了解高三1班和2班的数学建模水平，现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模能力比赛(满分100分)，成绩如下：数据Ⅰ(高三1班)：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92；数据Ⅱ(高三2班)：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95.(1)求数据Ⅰ(高三1班)的第80百分位数；例3考向2超几何分布

解(2)从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽到的3人中来自高三2班的学生人数为X，求X的分布列和均值.

解所以X的分布列为解

X123P

(2025·皖豫联盟联考)某科技公司研发了一种新产品，每件产品上市前需要分别进行两项测试，第一项测试通过的概率为0.7，若第一项通过，则第二项通过的概率为0.9；若第一项未通过，则第二项通过的概率为0.4.(1)已知某件产品在两项测试中仅通过一项，求其第一项测试通过的概率；例4考向3二项分布

解(2)规定至少通过一项测试的产品为合格品，现对10件该产品独立地进行测试，记其中的合格品件数为X，则k取何值时，P(X=k)最大？

解求随机变量X的均值与方差的方法及步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；(2)求X取每个值时对应的概率，写出随机变量X的分布列；(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解.规律方法跟踪演练2

(2025·乌鲁木齐模拟)某地举行中学生科技知识挑战赛，挑战赛分预赛和决赛两个阶段，预赛为闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次，如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作预赛阶段比赛胜利，无需继续闯关，进入决赛.决赛设置了3个问题，每完整答对1个问题，该队决赛成绩记3分，否则记0分，未进入决赛的参赛队决赛成绩记0分.已知华夏队的甲、乙、丙三名选手在预赛闯关阶段以及决赛阶段每次完整答对1个问题的概率均为p，q，r(0<r<p<q<1)，每次回答是独立的，Y表示华夏队的决赛总成绩.

解(2)预赛阶段，若乙只能安排在第二个闯关，要使派出人员数目的均值较小，试确定甲、丙谁先闯关；若依次派甲、乙、丙进行闯关，设派出人员的数目为X，均值为E1，依次派丙、乙、甲进行闯关，设派出人员数目的均值为E2，则解所以E1=p+2(1-p)q+3(1-p)(1-q)=pq-2p-q+3，同理E2=rq-2r-q+3，则E1-E2=pq-2p-q+3-(rq-2r-q+3)=(p-r)(q-2)，因为0<r<p<q<1，所以E1-E2<0，即E1<E2，所以要使派出人员数目的均值较小，应先派出甲.X123Pp(1-p)q(1-p)(1-q)(3)决赛阶段，若只能选出一人参加比赛，当E(Y)最大时，决赛阶段应由哪个选手参加？若甲、乙、丙三人分别参加决赛，决赛阶段答对的题目个数分别为η1，η2，η3，得分分别为Y1，Y2，Y3，则η1~B(3，p)，η2~B(3，q)，η3~B(3，r)，所以E(η1)=3p，E(Y1)=E(3η1)=9p，同理E(Y2)=9q，E(Y3)=9r，因为0<r<p<q<1，所以E(Y2)>E(Y1)>E(Y3)，所以决赛阶段应由乙选手参加.解考点三正态分布

例5√√

解析(2)(多选)(2025·豫西模拟)李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则A.P(X>32)>P(Y>32)B.P(X≤36)=P(Y≤36)C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车√√√由条件可知X~N(30，62)，Y~N(34，22)，根据正态曲线的对称性可知P(Y>32)>0.5>P(X>32)，故A错误；P(X≤36)=P(X≤30+6)，

P(Y≤36)=P(Y≤34+2)，所以P(X≤36)=P(Y≤36)，故B正确；P(X≤34)>0.5=P(Y≤34)，所以P(X≤34)>P(Y≤34)，故C正确；P(X≤40)<P(X≤42)=P(X≤30+2×6)，P(Y≤40)=P(Y≤34+3×2)，所以P(X≤40)<P(Y≤40)，故D正确.解析利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个结论的灵活运用：(1)对任意的a，有P(X<μ-a)=P(X>μ+a).(2)P(X<x0)=1-P(X≥x0).(3)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).规律方法跟踪演练3

(2025·湖南名校联合体模拟)在一条生产圆钢的生产线上，出产的成品圆钢的长度为ξ(单位：m，下同)，且ξ~N(2，0.012).(1)若出产这样的成品圆钢10000根，试估计长度在[1.97，2.03]内的圆钢根数；由已知得μ=2，σ=0.01，所以P(1.97≤ξ≤2.03)=P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997

3，所以长度在[1.97，2.03]内的圆钢根数约为10

000×0.997

3=9

973.解(2)从这条生产线上