不同函数增长的差异+高一上学期数学人教A版必修第一册

1.了解指数函数、对数函数、线性函数(一次函数)

的增长差异.2.理解对数增长、直线上升、指数爆炸。3.了解函数的建模过程。学习目标4.4.3

不同函数增长的差异指数函数y=ax(a>1)，对数函数y=logax(a>1)，一元一次函数y=kx(k>0)，虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.下面就来研究一次函数y=kx，k>0，指数函数y=ax(a>1)，对数函数y=logax(a>1)在定义域内增长方式的差异.

我们采用由特殊到一般，由具体到抽象的研究方法.一.以函数y=2x与y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异

xy=2xy=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386·········观察两个函数图象及其增长方式回答下面问题：1、两图象的交点是什么？2、两图象的关系是什么？3、总结两图象增长变化情况？4、请大家想象一下，取更大的x值，在更大的范围内两个函数图象的关系？综上：虽然函数y=2x与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度不变，但是y=2x的增长速度改变，先慢后快.随着自变量取值越来越大，函数y=2x的图象几乎与x轴垂直，函数值快速增长，函数y=2x的增长速度保持不变，和y=2x的增长相比几乎微不足道.

尽管在x的一定范围内，2x<2x，但由于y=2x的增长最终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有2x>2x.5、类比上述能否推广到一般情况？推广：一般地指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长都与上述类似.即使k值远远大于a值，指数函数y=ax(a>1)虽然有一段区间会小于y=kx(k>0)，但总会存在一个x0，当x>x0时，y=ax(a>1)的增长速度会大大超过y=kx(k>0)的增长速度.二.以函数y=lgx与

为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异.

xy=lgx0不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786·········y=lgxy=lgx观察两个函数图象及其增长方式回答下面问题：1、根据图象分析两函数增长快慢？2、将y=lgx扩大1000倍，y=1000lgx与

比较，是否仍有上述规律？3、x的一定范围内，比较lgx与0.1x

的

大小，是否存在一个x0，恒有0.1x>lgx。4、类比上述能否推广到一般情况？y=1000lgx与

图象虽然函数y=lgx与

在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异.

在(0,+∞)上增长速度不变，y=lgx在(0,+∞)上的增长速度在变化.

随着x的增大，

的图象离x轴越来越远，而函数y=lgx的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样.推广：一般地，虽然对数函数

与一次函数y=kx(k>0)在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.

随着x的增大，一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数

的增长速度越来越慢.

不论a值比k值大多少，在一定范围内，可能会大于kx，但由于

的增长会慢于kx的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，恒有

.推广：讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.直线上升：增长速度不变，是一个固定的值；对数增长：增长速度越来越慢，图象越来越平缓，就像与x轴平行一样；指数爆炸：增长速度越来越快，以相同倍数增加，图象越来越陡，最终就像与x轴垂直一样.比较y=2xy=x2y=log2x的图像幂函数模型：幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.xyo1124y=2xy=x2y=log2x三种函数的增长速度比较(1)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数,但增长速度不同.(2)在区间(0,+∞)上随着x的增大,函数y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而函数y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.(3)存在一个x0,使得当x>x0时,有logax<xn<ax.类型一函数增长速度的差异(数学抽象、直观想象)类型二函数增长速度的比较(数学抽象、逻辑推理)例2

函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2022)，g(2022)的大小.甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给某灾区,捐款方式如下:甲公司:在10天内,每天捐款5万元给灾区;乙公司:在10天内,第1天捐款1万元,以后每天比前一天多捐款1万元;丙公司:在10天内,第1天捐款0.1万元,以后每天捐款都比前一天翻一番.你觉得哪个公司捐款最多?分析:分别计算三个公司在10天内的捐款总数.解:三个公司在10天内捐款情况如下表所示.

某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资的函数模型为y=k1x,B产品的利润与投资的函数模型为y=k2xα(利润和投资的单位为百万元),其关系分别如图①,图②所示.(1)分别求出A,B两种产品的利润与投资的函数关系式;(2)该企业已筹集到资金1千万元,并准备全部投入到A,B两种产品的生产中,问怎样分配这1千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少?(精确到万元)某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资的函数模型为y=k1x,B产品的利润与投资的函数模型为y=k2xα(利润和投资的单位为百万元)练1

当我们在做化学实验时，常常需要将溶液注入容器中，当溶液注入容器(设单位时间内流入的溶液量相同)时，溶液的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应___；B对应___；C对应__；D对应___.

练2

下列选项是四个不同形状，但高度均为H的玻璃瓶.已知向其中一个水瓶注水时，注水量与水深的函数关系如图所示，试确定水瓶的形状是选项中的(

)

1.由特殊到一般，由具体到抽象研究了一次