基本初等函数的导数高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.2.1基本初等函数的导数第五章一元函数的导数及其应用

由导数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的.在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的.因此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数.本节我们就来研究这些问题.1.函数y=f(x)=c的导数即

若y=c

(如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.也就是说任意一个常数的导数是0.xyy=cO即

若y=x

(如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.xyy=xO2.函数y=f(x)=x的导数即

若y=x2表示路程关于时间的函数，则y′=2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.3.函数y=f(x)=x2的导数

y′=2x表示函数y=x2的图象上点(x,y)处切线的斜率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化.y′=2x表明:当x<0时，随着x的增加，|y′|越来越小，y=x2减少得越来越慢；当x>0时，随着x的增加，|y′|越来越大，y=x2增加得越来越快.xyy=x2O即4.函数y=f(x)=x3的导数y′=3x2表示函数y=x3的图象上点(x,y)处切线的斜率为3x2，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数.xyy=x3O即

xyO即

注意：利用导数公式求导时，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式．有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程．基本初等函数的导数公式：

熟记几个特殊函数的导数一、幂函数二、三角函数几个基本初等函数的导数的区别

例1求下列函数的导数:解：方法技巧：求函数的导数的常见类型及解题技巧1.对于分式中分子、分母为齐次结构的函数，可考虑通过裂项为和差形式.2.对于根式型函数，可考虑进行有理化变形.3.对于多个整式乘积形式的函数，可考虑展开，化为和差形式.4.对于三角函数，可考虑恒等变形，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导.

利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况1.若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．2.如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.5.2.2导数的四则运算法则第五章一元函数的导数及其应用

探究设f(x)=x2,g(x)=x,计算[f(x)+g(x)]′与[f(x)-g(x)]′,它们与f'(x)和g'(x)有什么关系?再取几组函数试试,上述关系仍然成立吗?由此你能想到什么?一般地，对于两个函数f(x)和

g(x)的和(或差)的导数，我们有如下法则：例3.

求下列函数的导数:解：

思考设f(x)=x2,g(x)=x,计算[f(x)g(x)]′与f′(x)g′(x),它们是否相等?f(x)与g(x)商的导数是否等于它们导数的商呢?事实上，对于两个函数f(x)和

g(x)的积(或商)的导数，我们有如下法则：由函数的乘积的导数法则可以得出：也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即例4.

求下列函数的导数:解：方法技巧：1.应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求导问题，要理解透彻函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律.2.在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的形式展开，公式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幂，然后再求导，使求导计算更加简化.巩固训练.已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________．5.2.3简单复合函数的导数第五章一元函数的导数及其应用

现有方法无法求出它的导数：1.用定义不能求出极限；2.不是基本初等函数，没有求导公式；3.不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的四则运算法则解决这个问题.追问1：这个函数用我们学过的方法能不能求出它的导数?为什么？

复合函数例如，函数y=sin2x是由y=sinu和u=2x复合而成.思考.以下函数是由哪些函数复合而成的？（1）y＝log2(x＋1)（2）y＝(3x+5)3（3）y＝e－0.05x＋1y=log2u和u=x+1y=u3和u=3x+5y=eu和u=－0.05x+3思考.如何求复合函数的导数呢？以函数

y=sin2x为例，研究其导数.（分两步进行）1.猜想y=sin2x

的导数与函数y=sinu，u=2x

的导数有关.

以

y′x

表示

y

对x

的导数,以

y′u

表示

y对u

的导数,以u′x

表示

u

对x

的导数可以先得到函数y=sinu，u=2x的导数y′u=cosu,u′x

=2

2.可以换个角度来求y′x

：y′x

=(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2[cos2x-sin2x]=2cos2x可以发现，y′x

=2cos2x=cosu·2=y′u

·u′x复合函数的导数法则

结构特点

例5.求下列函数的导数:解