黑龙江省哈尔滨市德强高级中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

哈尔滨德强高级中学学年度上学期期末考试高二年级数学试题（Ⅰ卷）时间：分钟满分：分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共分，每小题四个选项中，仅有一项正确）1.等于（）A.35B.210C.D.21【答案】B【解析】【分析】按照排列数计算即可.【详解】由题可知：.故选：B2.抛物线的焦点为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将抛物线方程化为标准方程，根据方程特点可求出其焦点坐标.【详解】的标准形式为，其焦点在轴负半轴上，坐标为.故选：C3.下列求导结果正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据导数的运算法则求导即可.第1页/共19页【详解】因，，，.故ABC错误，D正确.故选：D4.在等差数列中，则其前项的和A.99B.198C.D.128【答案】A【解析】【分析】由等差数列{a}中，a+a+a=27a6的值，再根据S=运算求得结果．【详解】∵等差数列{a}中，a+a+a=27，3（a+5d）=3a=27前项的和S==99故选A．【点睛】本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质与等差数列的前n项和的公式，并且加以正确的计算.5.已知圆与圆C完全覆盖圆，C的半径的最小值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】【分析】先判断圆与圆外切，依题意只需使所求圆的半径等于两圆半径之和即可.【详解】依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为，则，故两圆外切，第2页/共19页因圆C覆盖圆，，所以圆半径的最小值为.故选：A.6.若数列满足的第100项为A.2B.3C.D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：由可得：，记，有，由累加法得：，数列的第项为，故选B.考点：递推数列及数列求和.7.已知为抛物线与抛物线交于，不在直线上，且直线与的倾斜角互补，则直线的斜率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将点代入抛物线方程得，则抛物线方程为，根据直线与的倾斜角互补得，化简得，利用两点间斜率求得，即可得解.【详解】因为是抛物线上一点，所以，得，所以抛物线方程为，设，的坐标分别为，，易知直线、直线、直线的斜率存在，第3页/共19页则，，由题意，可得，所以，所以直线的斜率为定值.故选：C.8.已知当时，函数恒成立，的导数为，且，则的范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】构造函数与，然后利用导数判断出两函数的单调性，利用单调性即可求解.【详解】令，则，所以函数为单调递增函数，由，即，所以，令，则，第4页/共19页所以函数为单调递减函数，由，即，所以，所以.故选：C【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的难点和关键是构造出函数，属于难题.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共分）9.若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（）A.共计有720种不同的排法B.男生甲在排头或在排尾的排法总数为240种C.男生甲、乙相邻的排法总数为240种D.男女生相间排法总数为36种【答案】ABC【解析】【分析】由全排列公式判断A，B；由捆绑法判断C；由插空法判断D.【详解】对于A，3男3女排成一排共有种不同的排法，故A正确；对于B，男生甲在排头或在排尾的排法总数为种，故B正确；对于C，男生甲、乙相邻的排法总数为种，故C正确；对于D，男女生相间排法总数为种，故D错误故选：ABC.10.已知函数，则（）A.函数在上单调递增B.函数有且仅有一个零点C.函数有且仅有一个极值点D.直线是曲线的切线第5页/共19页【答案】BC【解析】【分析】利用导数求函数单调区间，由函数单调性确定极值点和零点，由导数的几何意义求切线方程.【详解】函数的定义域为，则，令在在上单调递增，又，所以当时，，即，所以函数在上单调递减，当时，，即，所以函数在上单调递增，所以函数存在极小值，所以A选项不正确，B，C选项正确；由得或，因为，，所以曲线在点处的切线方程为，同理在点处的切线方程为，所以D选项不正确．故选：BC．已知等比数列q，的前n项积为，则下列选项中不正确的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】等比数列的各项均为正数，，，可得，因此，，．进而判断出结论．【详解】等比数列的各项均为正数，，，，，若，则一定有，不符合不等式，第6页/共19页故，，．，，，，综上可知，AC正确，BD错误．故选：BD．12.已知双曲线的左焦点为，为右支上的动点，过作的一条渐近，最小时，，，正确的是（）A.若的虚轴长为2，则到的一条渐近线的距离为2B.的离心率为C.若的焦距为2，则到的两条渐近线的距离之积小于D.若的焦距为10，当最小时，则的周长为【答案】BCD【解析】【分析】设出双曲线的右焦点，根据双曲线的定义以及题意得到，，对A，写出双曲线的BC距以及离心率，求出双曲线的方程，设出点的坐标，表示出到的两条渐近线的距离，再根据点在双曲线上即可求解，对D，根据题意可得，在中利用余弦定理求出，即可求解.【详解】解：设双曲线的右焦点为，则，，故当最小时，即取得最小值，故当三点共线时最小，第7页/共19页设双曲线的一条渐近线为：，故，即，，又，，成等差数列，故,即，即，又，将代入得：.对A，若的虚轴长为2，则，设双曲线的一条渐近线为：，则到的一条渐近线的距离为，故A错误；对B，由上述可知：，即，即，故B正确；对C，若的焦距为2，则，由得：，第8页/共19页故双曲线的方程为：，双曲线的渐近线方程为：，即，设，则到两条渐近线的距离分别为：，，又在双曲线上，故，即，到两条渐近线的距离之积为：，故C正确；对D，若的焦距为10，则，由得：，则的周长为：，又，，在中，由余弦定理得：,即，第9页/共19页故，故，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用双曲线的定义，再根据最小时，，，成等差数列，找到的关系式，以及由，得到.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共分）13.函数的单调减区间是______________【答案】【解析】【分析】先求导数，再解不等式得结果【详解】所以单调减区间是【点睛】本题考查利用导数求单调区间，考查基本分析求解能力，属基础题.14.甲、乙等五名学生志愿者在校庆期间被分配到莘元馆、求真馆、科教馆、未名园四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有____种．(用数字作答)【答案】72【解析】433种选择，余下三人只能选择剩下的两个地方，总共有2×2×2×2，这8种里要去掉3个人都选择同一个地方的情况，得到结果．【详解】解：由题意知本题是一个分步计数问题，设5个志愿者为甲、乙、丙、丁、戊．甲在莘元馆、求真馆、科教馆、未名园四个地方选一个，有4种选择，乙在剩下的3个地方选一个，有3种选择丙、丁、戊三人只能选择剩下的两个地方，每人有2个选择，总共有2×2×2＝8种，这8种里要去掉3个人都选择同一个地方的情况即8﹣2＝6∴方法数为4×3×6＝72种故答案为72第10页/共19页【点睛】本题考查分步计数问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几步，每一步包含几种方法，再根据分步乘法原理得到结果．本题是一个典型的排列组合的实际应用．15.已知椭圆A是椭圆上的点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为______.【答案】【解析】【分析】根据已知等式化简变形可得三点共线，则可确定为角平分线和中线，根据三线合一得出为等腰三角形，根据内切圆半径公式求出三边关系，再根据椭圆定义将数据代入离心率公式即可.【详解】取线段的中点，因为，所以，所以点三点共线，且，所以为的中线，又因为点为的内切圆的圆心，所以为的角平分线，所以为等腰三角形，，则的周长为、面积为，为内切圆半径，根据三角形内切圆半径公式可得，整理得则，所以.故答案为：.第11页/共19页16.2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言描述为：将数字按顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为．例如时，操作可知，则___________．【答案】17【解析】【分析】根据题意探索，，，与之间的关系，即可求解.【详解】由题意，圆周上顺时针排列时，可得，就是这个数中的第个数；当圆周上顺时针排列共个数是，所以，是这个数中的第个数；当圆周上顺时针排列共个数是，所以，是这个数中的第个数；当圆周上顺时针排列共个数是，所以.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，其中第题分，题每题分，共分）17.已知圆经过和两点，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）从点向圆C作切线，求切线方程．第12页/共19页【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)根据弦的中垂线过圆心,;(2)根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解.【小问1详解】由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1，又因为的中点为，所以线段的中垂线的直线方程为，即，联立解得，所以圆心又因为半径等于,所以圆的方程为.【小问2详解】设圆的半径为，则，若直线的斜率不存在，因为直线过点，所以直线方程为，此时圆心到直线的距离，满足题意;若直线的斜率存在，设斜率为，则切线方程为，即，因为直线与圆相切，所以圆心到直线距离，解得，所以切线方程为，即.所以切线方程为或.第13页/共19页18.等差数列满足，，正项等比数列满足，是和的等比中项．（1）求和的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1），；（2）【解析】1，用，，公式，进而可求得，的值，可求得的通项公式；（2）由于，可用分组求和算得的前n项和.【小问1详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意可得：，解得，，所以，；又且，，所以，所以．【小问2详解】因为，所以第14页/共19页.19.已知函数，（I）当时，求函数的极值；（II）若函数在区间上是单调增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）的极小值为.（2）【解析】【分析】I）因为，所以当时，，令，则，所以的变化情况如下表：00+极小值所以时，取得极小值.(II)因为，函数在区间上是单调增函数,所以对恒成立.又，所以只要对恒成立,解法一：设，则要使对恒成立，只要成立，即，解得.解法二：要使对恒成立，因为，所以对恒成立，第15页/共19页因为函数在上单调递减，所以只要.20.设数列的前n项和为，且（I）求数列的通项公式；（II）设数列满足：，又，且数列的前n项和为，求证：．【答案】(I)；(II)证明见解析.【解析】【分析】(I)由得两式相减可化为，从而可得结论；(II)由(I)知，利用裂项相消法求和，根据放缩法可得结论.详解】(I)由,得得，故是公比为的等比数列，易知，，故;(II)易知.【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)2）；（3）4）导致计算结果错误.第16页/共19页21.已知函数满足：.（1）求的解析式；（2）若，且当时，，求整数k的最大值.【答案】（1）2.【解析】【分析】(1)直接对f(x)求导,然后令x=1,求出,再令x=0,求出,从而得到f(x)的解析式;(2)先求出g(x)的解析式,然后利用分离参数法求出k的范围,进一步得到整数k的最大值.【详解】解:(1)∵,∴,令得,,即,令得,,∴函数的解析式为.(2)由(1)有,则,∴,故当时,等价于①,令,则,令函数,易在上单调递增,而,,所以在内存在唯一的零点,故在内存在唯一的零点,设此零点为,则.当时,；当时,.∴在内