【数学】问题解决活动：最短距离课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

问题解决活动：最短距离初中数学北师大版（2024）八年级下册第三章图形的平移与旋转1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想.(重点、难点)学习目标1.如图1，连接A，B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？2.如图2，点P是直线l外一点，点P与直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？情境引入“牧民饮马”问题1问题1

如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，B的距离之和最短？提示如图，连接AB，与直线l相交于点C.由“两点之间，线段最短”可知，C点即为所求.问题2

如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？提示如图，(1)作点B关于直线l的对称点B'；(2)连接AB'，与直线l相交于点C，则点C即为所求.问题3

对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B'处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB'的长度相等？提示利用轴对称作出点B关于直线l的对称点B'.问题4

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？提示如图，在直线l上任取一点C'(与点C不重合).连接AC'，BC'，B'C'，由轴对称的性质知，BC=B'C，BC'=B'C'.∴AC+BC=AC+B'C=AB'，AC'+BC'=AC'+B'C'.在△AB'C'中，AB'<AC'+B'C'，∴AC+BC<AC'+BC'，即AC+BC最短.问题5

证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C'(与点C不重合)，证明AC+BC<AC'+BC'？这里“C'”的作用是什么？提示若直线l上任意一点C'(与点C不重合)与A，B两点的距离之和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小.点C'表示直线l上除点C外的任意一点.例1如图，军官从军营C出发先到河边(河流用AB表示)饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗？下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是√解析由选项D中图可知，作D点关于直线AB的对称点D'，连接CD'交AB于点N，由对称性可知，DN=D'N，∴CN+DN=CN+D'N≥CD'，当C，N，D'三点共线时，CN+DN的距离最短.跟踪训练1

(1)如图，已知点D，E分别是等边△ABC中BC，AB边上的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为A.7.5 B.5C.4 D.不能确定√解析如图，连接CE，CF，因为△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.因为点F在AD上，所以BF=CF.即求BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，线段CE的长即为BF+EF的最小值，CE=AD=5.(2)如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A(3，2)，B(1，3).点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P.解如图，作出点B关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，点P就是所求的点.造桥选址问题2问题6如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)提示如图，平移点A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于点N，作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.理由：根据题意任作一线段M1N1，连接AM1，BN1，A1N1.由平移性质可知，AM=A1N，AA1=MN=M1N1，AM1=A1N1，AM+MN+BN转化为AA1+A1B，而AM1+M1N1+BN1转化为AA1+A1N1+BN1.在△A1N1B中，因为A1N1+BN1>A1B.因此AM1+M1N1+BN1>AM+MN+BN.例2

如图，P，Q两村之间隔着两条河，需要架设两座桥，桥与河岸垂直.设两条河的宽度相同且保持不变，则桥建在何处才能使两村之间的路程最短？(保留作图痕迹，不写作法)解如图所示.(1)过点P作PA⊥l1，垂足为A，过点Q作QB⊥l4，垂足为B；(2)分别在PA和QB上截取PC=QD=河的宽度；(3)连接CD，分别交l2和l3于点E和M；(4)过点E和M分别作l1和l4的垂线段，垂足分别为F和N；(5)连接PF和QN.则桥建在FE和MN处才能使两村之间的路程最短.跟踪训练2为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a.张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为AC=1

000

m，BD=2

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m，且CD=3

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m，如图所示.现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D之间距离C

m处.(河岸边上的点到河对岸的距离都相等)1

000解析如图，作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交直线b于点P，∴BP=B'P，∴AP+BP=AP+B'P=AB'，此时P点到A与B的距离和最小，过B'作B'M∥CD，延长AC与B'M交于点M，∴B'M=CD，跟踪训练2为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a.张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为AC=1

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m，BD=2

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m，且CD=3

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m，如图所示.现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D之间距离C

m处.(河岸边上的点到河对岸的距离都相等)1

000解析∵AC=1

000

m，BD=2

000

m，且CD=3

000

m，∴AM=1

000+2

000=3

000(m)=MB'，∴∠CAP=45°，∴AC=CP，∴P点与C点的距离是1

000

m.课堂小结1.如图，点P是直线a外一点，A，B，C，D都在直线上，PB⊥a于B，下列线段最短的是A.PA B.PCC.PD

D.PB课堂练习√2.如图，已知∠MON=60°，P为∠MON内一点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为A.40° B.60°

C.100°

D.120°

√解析如图，分别作出点P关于OM，ON的对称点P1，P2，连接P1P2分别交OM，ON于A，B两点，此时△PAB的周长最小，由题意可知∠P1PP2=180°-∠MON=180°-60°=120°，∴∠P1PA+∠P2PB=∠P1+∠P2=180°-∠P1PP2=60°，∴∠APB=120°-60°=60°.课堂练习3.如图，在正方形网格中，M，N为小正方形顶点，直线l经过小正方形顶点A，B，C，D，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应位于A.点A处 B.点B处C.点C处 D.点D处√解析如图，作N关于l的对称点E，连接ME，交l于点C，∴NE的垂直平分线为l，∴CN=CE，∴PM+PN=PM+PE≥ME，即点P应位于点C处.课堂练习4.在四边形ABCD中，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若P，Q分别是BD，BC上的动点，当CP+PQ取得最小值时，PQ与CP的数量关系为

.

CP=2PQ课堂练习4.在四边形ABCD中，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若P，Q分别是BD，BC上的动点，当CP+PQ取得最小值时，PQ与CP的数量关系为

.解析∴∠PBC=∠BCP，∴PB=PC