【数学】等腰三角形第1课时课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

三角形的证明及其应用第2节等腰三角形第1课时等腰三角形的性质定理学习目标

1.通过回顾全等三角形判定、平行线性质等旧知识，能独立选择辅助线，严谨证明等腰三角形“等边对等角”的性质，并尝试至少两种不同证法.2.通过逆向思维探究和例题分析，能理解反证法的核心逻辑，并用反证法独立完成1-2个简单几何命题的证明.教学设计的基本环节协作破冰问题构建情境启航教师示范巩固拓展当堂检测反思总结作业设计情境启航

问题:优秀班集体是对一个班集体的整体表现的综合评价.不难看出，右边的图是按照大家熟悉的某种图形设计的，为什么要选它来设计呢？它究竟又怎样的特征呢？问题构建

数学抽象原来是一个等腰三角形！问题1:我们曾经探索过等腰三角形的一些性质,你还记得这些性质吗？等腰三角形两底角相等，三线合一，轴对称图象.追问1:以两底角相等为例,过去的学习中是怎样研究的？动手折叠，观察两底角的重合情况问题构建

问题背景:动手折叠的结果可以直观感受两个底角相等,你能利用学习过的知识,严谨地证明这个结论吗？定理等腰三角形的两底角相等.这一定理可以简述为:等边对等角.追问2:对于类似的自然语言型证明，我们需要经历哪几个步骤？画图→书写已知和求证→研究证明思路→规范书写证明过程→反思思考追问3:结合折纸的过程思考，证明的核心思路是什么？两个角相等转化三角形全等问题构建

已知：如图,在△ABC中,AB=AC.求证：∠B=∠C问题2:为了证明∠B和∠C所属的三角形全等，应该先构造两个三角形,你打算怎样做辅助线？证明：取BC的中点D，连接AD.∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴△ABD≅△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）找到底边BC的中点D，连接AD即可得到两个三角形进行证明问题构建

问题3:除了构造BC中点的方法,你还有其他方法构造三角形证明全等吗？

问题构建

问题3:除了构造BC中点的方法,你还有其他方法构造三角形证明全等吗？

协作破冰一、三种证法的相同点1.核心思路一致：都是通过添加辅助线构造

再利用全等三角形的

证明∠B=∠C.2.都用到了公共边

作为全等证明的条件之一.3.最终结论相同：都证明了等腰三角形的两个底角

全等三角形对应角相等AD相等二、三种证法在辅助线上的不同点分别作了底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线三、这三种辅助线有什么特殊的位置关系？在等腰三角形中，三条线是重合的.协作破冰如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等,要么不相等.假设AB=AC,那么根据定理“等边对等角”可得∠C=∠B,这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC.在证明时,先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立,这种证明方法称为反证法.协作破冰例2用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角,不妨设∠A和∠B是直角,即∠A=90°，∠B=90°.于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°这与三角形内角和定理相矛盾,因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立.所以,一个三角形中不能有两个角是直角.已知:△ABC.求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角.协作破冰例3求证：在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.已知:

求证:

假设____________,那么_________.这与“______________________________________________________”矛盾.所以___________,即求证的命题正确.证明:因为已知_________,

P

经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行假设不成立

教师示范反证法解题模板【步骤1：明确命题】已知：[题目给出的已知条件]求证：[题目要求证明的结论]【步骤2：提出反设】假设命题的结论不成立,即写出结论的反面：例如:若结论是“不能有两个角是直角”，则反设为“有两个角是直角”；若结论是“AB≠AC”,则反设为“AB=AC”【步骤3：推导矛盾】从反设出发,结合已知条件、定义、基本事实或已有定理,进行逻辑推导,最终得到一个与已知条件、定理、定义或基本事实相矛盾的结果.【步骤4：否定反设】因为推导出现了矛盾,所以“假设结论不成立”的这个反设是错误的.【步骤5：肯定原结论】既然反设不成立，那么原命题的结论一定成立教师示范如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于点D，过点D作BC的平行线,交AB于点E,请判△BDE的形状,并说明理由.解：△BDE是等腰三角形.∵BD平分∠ABC（已知）∴∠EBD=∠CBD（角平分线的定义）∵DE∥BC（已知）∴∠EDB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）。∴∠EBD=∠EDB（等量代换）∴EB=ED（等角对等边）∴△BDE是等腰三角形（等腰三角形的定义：两边相等的三角形是等腰三角形）巩固拓展问题4:在上一个问题中，题目中出现了3个概念，你能找出是哪三个吗？角平分线、平行线、等腰三角形追问:你能尝试总结三者之间关系吗？1.正向模型（角平分线+平行线→等腰三角形）当一条角平分线与一条平行线组合时,必然会构造出一个等腰三角形.用符号表示：角平分线+平行线⇒等腰三角形2.逆向模型（等腰三角形+平行线→角平分线）3.逆向模型（等腰三角形+角平分线→平行线）巩固拓展已知:如图,∠CAE是△ABC的外角,AD∥BC，且∠1=∠2.求证:AB=AC证明∵AD∥BC（已知）∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）∴∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠2（已知）∴∠B=∠C（等量代换）∴AB=AC（等角对等边）本节课，我们也初步感受了等腰三角形的相关判定方法，下节课进行星系学习.当堂检测

当堂检测

当堂检测

B

当堂检测

A.

2.2米

B.

2.4米

C.

2.6米

D.

2.8米两手将绳拉直，绳长即合适长度.将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1.2米，则适合小华的绳长为(

)C反思总结1.回顾“等边对等角”的多种证明方法，你觉得哪种辅助线的构造思路最自然？它和你之前学过的哪类知识联系最紧密？2.对比直接证明和反证法的使用场景，你认为什么时