2025届广西壮族自治区柳州市高三三模数学试题（含答案）

第第页2025届广西壮族自治区柳州市高三三模数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A=x1<x<3，B=xx<a，若A．−∞,3 B．−∞,3 C．2．在复平面内，复数z对应的向量OZ=1,2，则A．22 B．5 C．3 D．3．在等差数列an中，a2=4A．−8 B．−6 C．−4 D．−24．已知函数fx=1A．116 B．14 C．4 5．在(1+3x)5展开式中，xA．15 B．90 C．270 D．4056．有男､女教师各1人，男､女学生各2人，从中选派3人参加一项活动，要求其中至少有1名女性，并且至少有1名教师，则不同的选派方案有（）A．10种 B．12种 C．15种 D．20种7．已知双曲线C:x2a2−y2A．1,132 B．0,132 C．8．已知137<216，346<21A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A．有一组数1、2、3、5，这组数的第75百分位数是3B．在α=0.01的独立性检验中，若χ2不小于α对应的临界值x0.01C．随机变量X~Bn,p，若EX=60，D．以y=cekx拟合一组数据时，经z=lny代换后的经验回归方程为10．已知F是椭圆C:x24+yA．椭圆C的长轴长是2B．PF的最大值是2+C．△OFP的面积的最大值为32，其中OD．直线x+y+t=0与椭圆C相切时，t=±11．我们把coshx称为双曲余弦函数，其函数表达式为coshx=ex+e−x2，相应地双曲正弦函数的函数表达式为sinhx=ex−e−x2.若直线x=m与双曲余弦函数CA．y=sinhB．coshC．BP在−∞,0随m的增大而减小，在0,+∞D．△PAB的面积随m的增大而减小三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．圆x2+y−12=513．已知P为一个圆锥的顶点，PA是母线，PA=2，该圆锥的底面半径为3.B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线PA与BC所成角的最小值为.14．在△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=3，P为△ABC内一点，且AP=1.若AP=λAB+μAC，则四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，△ABC的面积为S.已知S=3（1）求A；（2）求函数fx=sin16．已知函数fx（1）若函数fx在x=1处有极值10，求b（2）对任意a∈−1,+∞，fx在−2,017．如图，已知四棱锥P−ABCD中，顶点P在底面ABCD上的射影H落在线段AC上（不含端点），AD∥BC，AB⊥AD，AB=2，（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若二面角A−BC−P的大小为α，直线PC与平面ABCD所成角为β，求tanα18．某学校有A、B两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家餐厅用晚餐.已知该同学第一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去A餐厅的条件下，后一天继续选择A餐厅的概率为13；而在前一天选择去B餐厅的条件下，后一天继续选择去B餐厅的概率为3（1）求该同学第一天和第二天都选择去A餐厅用晚餐的概率；（2）求该同学第二天选择去A餐厅用晚餐的概率；（3）记该同学第n天选择去A餐厅用晚餐的概率为Pn，求P19．已知F是抛物线C:x2=2pyp>0的焦点，过C上点A4,2的切线交y轴于点G，过点G（1）求抛物线C的方程；（2）比较GA2与GB（3）过点F的直线与C交于P,Q两点，T0,22，PT，QT的延长线分别交C于M,N两点，求点A到直线

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：因为A=x1<x<3，B=x所以a≥3，

所以实数a的取值范围是3,+∞故答案为：D.【分析】利用集合间的包含关系和已知条件，从而得出实数a的取值范围.2．【答案】A【解析】【解答】解：由复数z对应的向量OZ=1,2，

则所以|z−3|=|1+2i故答案为：A.

【分析】根据已知条件和复数的几何意义得出复数z，再利用复数的运算法则额复数求模公式，从而得出z−3的值.3．【答案】A【解析】【解答】解：设等差数列an的公差为d因为a2=4，所以所以a5故选：A.【分析】利用等差数列的通项公式，由a2=4可得a14．【答案】C【解析】【解答】解：因为fx=12x则ff故答案为：C.【分析】利用分段函数fx的解析式，从而由内到外逐层计算，进而可得f5．【答案】B【解析】【解答】解：在(1+3x)5展开式中，x2的项为则所求的系数为90.故答案为：B.【分析】根据已知条件和二项式定理求出展开式的通项，再结合展开式的通项得出x26．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意可知，从6人当中任选3人，共有C6其中有全选男性和全选学生，有C33+故选：C.【分析】利用间接法，由题干条件先求出从6人中任选3人的种数，再去除全选男性和全选学生这种情况的种数.7．【答案】C【解析】【解答】解：因为双曲线的一条渐近线为y=±bax，

所以−ba≥−32，

所以e2≤134，所以，双曲线C的离心率e的取值范围为1,13故答案为：C.【分析】由双曲线的标准方程得出其渐近线方程，再利用直线3x+2y=0与双曲线无公共点，则−ba≥−8．【答案】D【解析】【解答】解：由137<216，

得log21137<log由346<217，

得log34346<log34217，

所以所以log138<log2113，

所以log故答案为：D.【分析】根据已知条件和指数函数的单调性、对数函数的单调性、不等式的基本性质以及基本不等式求最值的方法，从而比较出a，b，c的大小.9．【答案】B,D【解析】【解答】解：对于A，因为4×0.75=3，

所以，这组数据的第75百分位数是3+52对于B，在α=0.01的独立性检验中，

若χ2不小于α对应的临界值x可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过0.01，故B对；对于C，因为随机变量X~Bn,p，

若EX=np=60解得p=23，对于D，以y=cekx拟合一组数据时，

经z=lny代换后的经验回归方程为z=0.2x+0.3，

则lny=0.2x+0.3，

可得故答案为：BD.

【分析】利用百分位数的定义可判断出选项A；利用独立性检验的方法，可判断选项B；利用二项分布的数学期望公式和方差公式，则可判断选项C；利用线性回归分析，可判断选项D，从而找出说法正确的选项.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：对于A：由x24+y2=1，得对于B：由x24+y2=1，得c=3，

则F(3,0)所以PF2因为二次函数y=34m所以该函数在[−2,2]上单调递减，

则当m=−2时，函数取到最大值7+43又因为7+43=2+32，

对于C：由题意得，−1≤n≤1，OF=所以S△OFP=12OFn=对于D：由x+y+t=0x24+y2=1因为直线x+y+t=0与椭圆x2所以Δ=64t2−20(4t故答案为：BCD.

【分析】根据椭圆的标准方程确定焦点的位置，从而得出a的值，进而得出椭圆的长轴长，则判断出选项A；利用椭圆的标准方程确定的焦点坐标，再利用m的取值范围和代入法以及两点距离公式，则PF2=34m2−23m+411．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对于A：因为coshx=ex+e−x2对于B：因为coshx+y=ex+y=ex+y所以coshx+y对于C：设fx=ex+e−x2，因为Am,fm,Bm,gm所以，曲线C1在点A处的切线方程为y−f则y=gm所以曲线C2在点B处的切线方程为y−g则y=fm则Pm+1,f则BP=令hm=e2m+e由h'm>0，得m>0；由h则hm在−∞,0对于D：因为∆PAB的面积为12fm−gm=1故答案为：ACD.【分析】利用奇函数的定义判断出选项A；将左右两个式子进行化简判断出选项B；利用导数求出两条切线方程，从而得出点P坐标，再利用两点距离公式得出BP关于m的函数，再利用换元法和导数判断函数单调性的方法，则判断出选项C；利用三角形的面积公式和函数的单调性，则判断出选项D，从而找出正确的选项.12．【答案】4【解析】【解答】解：由题意，可得圆心坐标为0,1，半径为5，则所求弦长为25−1故答案为：4.【分析】利用已知条件和垂径定理，从而得出圆x2+y−113．【答案】30【解析】【解答】解：如下图所示：因为B、C分别在圆锥PO的底面上，且PA为该圆锥的一条母线，所以，异面直线PA与BC所成角的最小值为直线PA与底面所成的角，由圆锥的几何性质可知，PO与底面垂直，且OA为底面内的一条直线，

则OA⊥PO，所以，异面直线PA与BC所成角的最小值为∠PAO，且cos∠PAO=故∠PAO=30故答案为：30∘.

【分析】利用点B、C分别在圆锥PO的底面上，且PA为该圆锥的一条母线，从而得出异面直线PA与BC所成角的最小值为直线PA与底面所成的角，再结合圆锥的几何性质和线面长轴的定义，从而证出OA⊥PO，则异面直线PA与BC所成角的最小值为∠PAO，且cos∠PAO=OAPA=3214．【答案】2【解析】【解答】解：如图，因为∠A=90°，则以A为坐标原点，AB,AC方向为x,y轴建立平面直角坐标系，

则A(0,0),B(2,0),C(0,3)，设∠PAB=θ，则θ∈0,过点P作x轴的垂线，垂足为Q，

则AQ=cos所以P(cos所以AP=(因为AP=λAB+μAC，所以2λ=cos则2λ+3μ=sin因为θ∈0,π2所以当θ+π4=π2时，即当θ=故答案为：2.

【分析】利用∠A=90°建立平面直角坐标系，从而得出点的坐标，设∠PAB=θ，则θ∈0,π2，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则AQ=cosθ,PQ=sinθ，从而得出P(15．【答案】（1）解：因为S=3由余弦定理，得cosA=代入得：12bcsinA=3因为A∈0,π，

​​​​​​​所以（2）解：因为f=由2kπ−12π又因为x∈0,π，

所以x∈0,则函数fx=sin2x−A−sin2x+B+C【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式和余弦定理以及同角三角函数基本关系式，则得出角A的正切值，再利用三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.（2）由三角恒等变换结合x的取值范围，再利用换元法和正弦函数的单调性，从而得出fx=sin（1）由S=3由余弦定理，cosA=代入即得：12bc因为A∈0,π，所以（2）fx=由2kπ−1又x∈0,π，所以x∈0,所以单调递增区间为0,5π1216．【答案】（1）解：因为fx所以f'因为函数fx在x=1处有极值10，

所以f1=10，f'1=0，所以b=3-2a，a2-a=9+b=12-2a，

则解得a=3或a=-4，

若a=3，则b=3-2a=-3，

此时fx=x所以，只能是a=-4，b=3-2a=11；当a=-4，b=11时，fx对x∈0,1∪1,2，有fx=x+6x-12+10>10=f则所求的b为11.（2）解：①若b>-13，

则当a=-1时，对-1+3b-1所以fx在-又因为-1+3b-13<-13<②当b=-13时，对任意a∈−1,+所以fx单调递增，

则一定在−2,0综上所述，b的最大值为−1【解析】【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的极值点，再利用已知条件得出实数b的值.（2）利用已知条件和分类讨论的方法以及导数判断函数单调性的方法，从而得出实数b的最大值.（1）因为fx所以f'因为函数fx在x=1处有极值10，所以f1=10，f'1从而b=3-2a，a2-a=9+b=12-2a，即解得a=3或a=-4，若a=3，则b=3-2a=-3，此时fx所以只可能a=-4，b=3-2a=11.当a=-4，b=11时，fx从而对x∈0,1∪1,2有fx=x+6x-1故所求的b为11.（2）①若b>-13，则当a=-1时，对-1+3b所以fx在-而-1+3b-13<-1②当b=-13时，对任意a∈−1,+所以fx单调递增，故一定在−2,0综上，b的最大值为−117．【答案】（1）证明：因为PH⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,

所以PH⊥BD，因为AB⊥AD，

所以底面ABCD为直角梯形，

则BD=A过DC'//AC，且与BC相交于C则BD又因为BC所以BD⊥DC'，

所以因为AC⊥BD,PH⊥BD,AC,PH⊂平面PAC，AC∩PH=H，所以BD⊥平面PAC.（2）解：由题意可知tanβ=PHHC，

过H作BC的垂线，垂足为E因为PH⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,

所以PH⊥BC，HE⊥BC,PH∩HE=H,PH,HE⊂平面PHE，则BC⊥平面PHE，PE⊂平面PHE，故PE⊥BC，所以∠PEH为二面角A−BC−P的平面角，所以tanα=PHHE，

【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质定理可得PH⊥BD，再利用AB⊥AD得出底面ABCD为直角梯形，再根据勾股定理可得AC⊥BD，最后由线线垂直证出线面垂直，即证出BD⊥平面PAC.（2）由题意可知tanβ=PHHC，再利用线线垂直和线面垂直的推导关系，从而得出∠PEH为二面角A−BC−P（1）由于PH⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,故PH⊥BD因为AB⊥AD，所以底面ABCD为直角梯形，故BD=A过DC'//AC，且与BC则BD又BC故BD⊥DC'，所以由于AC⊥BD,PH⊥BD,AC,PH⊂平面PAC，AC∩PH=H，所以BD⊥平面PAC，（2）由题意可知tanβ=PHHC，过H作BC的垂线，垂足为E由于PH⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,故PH⊥BC，HE⊥BC,PH∩HE=H,PH,HE⊂平面PHE，故BC⊥平面PHE，PE⊂平面PHE，故PE⊥BC，故∠PEH为二面角A−BC−P的平面角，所以tanα=PHHE18．【答案】（1）解：记事件Ak:该同学第kk=1,2天去A餐厅，

​​​​​​​则PA1由概率乘法公式，可得PA（2）解：由对立事件的概率公式，

可得PA由全概率公式，可得：P（3）解：记事件An:该同学第nn∈N∗天去A由题意可知，PAnA由全概率公式，可得：P则Pn=13P所以，数列Pn−38是以所以，Pn−38=【解析】【分析】（1）记事件Ak:第kk=1,2天去A餐厅，则PA1=PA（2）利用对立事件求概率公式可得PA2A（3）利用已知条件和对立事件求概率公式以及全概率公式，从而可得Pn=−115Pn−1+25（1）记事件Ak:该同学第kk=1,2天去A餐厅，则PA1由概率乘法公式可得PA（2）由对立事件的概率公式可得PA由全概率公式可得PA（3）记事件An:该同学第nn∈N∗由题意可知，PAnA由全概率公式可得PA即Pn=1所以，数列Pn−38是以所以，Pn−319．【答案】（1）解：因为点A(4,2)在抛物线C:x则将点A的坐标代入抛物线方程，

可得：42=2p×2，

则16=4p，

解得所以抛物线C的方程为x2（2）解：因为抛物线y=18x当x=4时，切线斜率k=y由点斜式可得过点A(4,2)的切线方程为y−2=1×(x−4)，

即y=x−2；令x=0，可得y=−2，

所以G(0,−2)；由A(4,2),G(0,−2)，

可得|GA|=(4−0)所以|GA|设直线BD的方程为y=kx−2,Bx1,联立y=kx−2x2=8y，

整理得：x2由韦达定理，得x1根据抛物线的焦半径公式，|GB|=x因为y1=kx1−2，

所以|GB|=则|GB|⋅|GD|=1+所以|GA|（3）解：由题意知，直线PQ的斜率必存在，

则设直线PQ:y=mx+2，P(x3,y联立y=mx+2x2=8y由韦达定理，得x3设直线PM方程为y=y代入x2=8y，得由xMx3所以M(−162x3,所以直线MN的斜率为：k由直线的点斜式方程，可得直线MN：y−64结合x3+x4=8m,所以直线MN过定点S0,4要使点A到直线MN距离的最大，则只需AS⊥MN，则最大值为AS=【解析】【分析