广东省湛江市2026年普通高考测试(一)数学试题（含答案）

广东省湛江市2026年普通高考测试(一)数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|lgx＜1},B={x|x＞2},则A∪B=A.(2,+∞) B.(2,10)C.(0,10) D.(0,+∞)2.设复数z₁，z₂在复平面内对应的点关于实轴对称，且z1=1+iA.i B.-iC.1 D.-13.设a，b为单位向量，且∣a−b∣=2A.1 B.2C.3 D.24.若x1=π3,x2=2π3是函数f(xA.3 B.4 C.5 D.65.某次展览会有4个核心主题，已知每个主题下有2个案例，现需从8个案例中随机抽取4个案例进行重点演示，则抽出的4个案例中，恰好包含某一个主题下的2个案例，而另外2个案例来自两个不同主题的抽取方案的种数为A.120 B.96C.48 D.246.在数列{an}中,a1=1,an+1=aA.2 B.3 C.157.如图,正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4,其中A1E=3ED1,点F为B₁A.455C.1621218.已知不等式2x-mlnx+1≥2lnx+n(m,n∈R,且m≠-2)对任意正实数x恒成立,则n−5A.ln2 B.1 C.-1 D.-ln2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.一组互不相等的数据从小到大排列为x₁，x₂，…，x₆，去掉x₁后，则下列选项正确的是A.极差变大 B.平均数变大 C.中位数变小 D.80%分位数变大10.已知g(x)为f(x)的导函数,两个函数的定义域均为R,f(x)为偶函数,且f(2x-1)为奇函数，则下列选项一定正确的是A.f(1)=0 B.f(4)=0 C.g(0)=0 D.g(1)=011.如图，已知双曲线C：x2a2－y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，两条渐近线l₁:ay=bx,A.双曲线C的离心率为2B.存在点P，使得△PF₁F₂为等腰直角三角形C.当k∈(-1,1)时,直线l:y=kx+1与双曲线C一定有两个交点D.∣PF1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知tanα+5π4=2,则13.已知直线l₁:x+y+3=0和直线l₂:y=-1,则抛物线y=14x2上一动点P到直线l14.某智力问答游戏的规则如下：游戏共有A，B两类问题(每类问题的数量无限多，且不重复).参加游戏的选手解答任意一道问题正确，则游戏结束；若解答错误，则按以下规则抽取一道问题进行解答：若解答的是A类问题，则抽取一道B类问题进行解答，若解答的是B类问题，则等可能地抽取一道A类或B类问题进行解答.如此循环，直到解答正确为止.已知甲解答A，B两类问题的正确率分别是14⋅13,，且解答每道问题是相互独立的.若甲最先解答一道A四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题13分)在△ABC中,AB=3,AC=7(1)当BD=2AD时,求sinB的值;(2)求△ABC的面积S.16.(本小题15分)某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节.在育苗环节，每粒种子的成活率为p.在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q.若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功.每粒种子种植是否成功互不影响.(1)若一粒种子种植成功的概率为12，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为14,现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为ξ，求(2)播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求X=5的概率P，并求P的最大值.17.(本小题15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,AB∥DC,PA⊥平面ABCD,且PA=AD=DC=2AB=2.过点A作平面α与棱PB,PC,PD交于点E,F,G,其中PEPB=23,(1)证明:AG∥平面PBC;(2)求PFPC的值；(3)求平面α与平面ABCD夹角的余弦值.18.(本小题17分)已知椭圆Γ：x2a2－y2b2=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，其离心率为32,且Γ上的点到其中一个焦点的距离的最小值为2−3,过点G(1,0)的直线交椭圆于C(1)求椭圆Γ的方程；(2)证明:A,D,M三点共线;(3)试问以MN为直径的圆是否恒过定点?若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.19.(本小题17分)已知fx=x+1ex,设y=f(x)与y=x-n(1)求f(x)的最大值;(2)证明:n(3)证明:x数学参考答案及评分参考一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】BD10.【答案】AC11.【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】313.【答案】214.【答案】3四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.解:(1)如图,设AD=a,则BD=2a,在△ABD中，由余弦定理得AB2=故a=1, 2分∴AD=1,BD=2. 3分在△ABD中，由正弦定理得ADsinB=ABsin∠ADB(2)如图,设AD=x,BD=DC=y,在△ABD和△ADC中，由余弦定理得{AB即{x2②-①,得2xy=4,∴xy=2, 12分∴S△16.解：(1)记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B.由题意得P(A)=p,P(B|A)=q,因为P所以q=3设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为ζ，根据题意可得ζ~B30023(2)解法一：一粒种子种植成功概率为pq，“X=5”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”，所以PX令pq=t,设函数.ft=6∴f'当t∈056时,f'(t)＞0;当t∈56∴f(t)在056上单调递增，在(56∴f(t)的最大值为f综上，X=5的概率P=6pq5−6pq解法二：为了保证X=5，则6粒种子中育苗成功的数量需大于或等于5.设育苗成功的数量等于5为事件C，育苗成功的数量等于6为事件D，则可得P则有IX从而可得PX=5=6令pq=t,设函数.ft=6∴f'当t∈056时,f'(t)＞0;当t∈56∴f(t)在(056)上单调递增，在(56∴f(t)的最大值为f综上，X=5的概率P=6pq5−6pq17.解法一:(1)证明:如图,设PC的中点为M,连接BM,GM.在△PCD中,点G为PD中点,M为PC中点,∴GM∥CD,且GM=1根据条件可得AB∥DC，且AB=1∴AB∥GM且AB=GM,∴四边形ABMG为平行四边形， 4分∴AG∥BM.又∵BM⊂平面PBC,AG⊄平面PBC,∴AG∥平面PBC. 5分(2)解:∵AG∥平面PBC,平面AEFG∩平面PBC=EF,∴AG∥EF. 7分又∵AG∥BM,∴EF∥BM, 8分∴PFPM又∵∴PFPC(3)解：如图，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，可得A(0,0,0),E2302设平面AEG的法向量为m=(x,y,x),则{即{23x+23z易得平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1), 13分故平面α与平面ABCD夹角的余弦值为∣cosm解法二:(1)证明:如图,以点A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴建立空间且角坐标系.则可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),∵点G为PD的中点,∴G(0,1,1), 1分∴AG=设平面PBC的法向量为n=(x₁,y₁,z₁),则{n·BC→=0,n·BP→∴AG⋅∵AG⊄平面PBC,∴AG∥平面PBC. 5分(2)解:∵设平面AEG的法向量为m=x2y2z2,则{m设PFPC=λ,则∵直线AF⊂平面AEG,∴AF⋅m=0,即2λ+2λ-(2-2∴∴PFPC(3)解:由(2)得平面AEG的法向量为m=(1,1,-1), 11分易得平面ABCD的一个法向量为p=(0,0,1), 13分故平面α与平面ABCD夹角的余弦值为∣cos⟨18.解:(1)设点P是Γ上任意一点,F₁,F₂是其左、右焦点,则有∣PF又∣∣PF1结合以上两式可得a当且仅当P，F₁，F₂三点共线时取等号，∴点P到其中一个焦点的距离的最小值为a-c，故a−c又e=c解得a=2,c=3,∴椭圆Γ的方程为x24(2)依题意可设直线CD的方程为x=ty+1, 6分代入Γ的方程消去x得((t 7分设C(x₁,y₁),D(x₂,y₂),贝{y1故直线CB的方程为yy1=x−2x1又AD=x∴x2∴AD→‖AM→,故A,(3)是.由(2)易得，直线DB的方程为yy2=x−2x2设H(x，y)为以MN为直径的圆上一点，则有MH即x−42由对称性可知，若存在定点，则定点必须在x轴上.令y=0,得x−4)∴x=4±∴以MN为直径的圆恒过两定点4+3019.(1)解:由题意得f'x∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减, 2分故f(x)的最大值为f(0)=1. 3分(2)证明:令x+1ex设gx=则g'