八年级数学上册vp08-15.3 等腰三角形-15.3.1 等腰三角形-第1课时 等腰三角形的性质

荣德基

第十五章轴对称15.3.1

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CCB4C5

30691⑩6DBC1113荣德基答案呈现50∠A=40°,

则△ABC的顶角度数是(

C

)A.40°B.100°C.40°

或100°

D.以上都不正确2.

如

图

，AB//CD,

在AD上截取AE=AB,连接BE,

当∠B=65°

时，∠D的度数是(

C)A.65°

B.55°

C.50°D.45°(第2题)基础提优题1.

[2025广安期中]已知△ABC

是等腰三角形，若荣德基UDoE

阳点，AB绕着点0上下转动.当A端落地时，∠OAC=25°,则跷跷板上下可转动的最大角度∠A'OA

是(

B

)A.45°B.50°C.60°D.75°3.情境题生活应用

如图①是两名同学玩跷跷板的场景，如图②是跷跷板示意图，支柱OC

与地面垂直，0是AB

的中A

B

'②基础提优题(第3题)A'O荣德基UDoE

阳①B4.

[2025长沙天心区期中]“一亭幽绝费平章，峡口清风赠晚凉.前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄.饶将春色输秋色，迎过朝阳送夕阳.此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔.”其中“一

亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑—“爱晚亭”.

如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形ABC,AB=AC,D是边BC

上的一点.下列条件不能说明AD

是△ABC

的角平分线

的是(

)基础提优题荣德基UDoE

阳基础提优题A.∠DAB=∠DACB.ADl

BDBC=2ADC.D.△ABD

与△ACD的周长相等AD(第4题)荣德基BZC5.母题教材P79例1

如图，已知等腰三角形ABC,AB=AC,∠A=40°,

若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于

点E,

连接BE,

则∠ABE=

30

°.基础提优题(第5题)荣德基UDoE

阳6.

新

视

角新定义题

定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形ABC是

“倍长三角形”,底边BC

的长为3,则腰AB

的长为6基础提优题荣德基UDoE

阳【点拨】∵等腰三角形ABC是“倍长三角形”,∴AB=2BC或BC=2AB.若AB=2BC=6,则△ABC的三边长分别是6,6,

3,符合题意，∴腰AB的长为6;若BC=3=2AB,则AB=1.5,则△ABC的三边长分别是1.5,1.5,3,∵1.5+1.5=3,∴此时不能构成三角形，这种情况不存在.

综上所述，腰AB

的长是6.基础提优题荣德基UDoE

阳7.母题教材P86习题T14小琳想要证明命题：等腰三角形两腰上的中线相等.请你将该命题的已

知与求证补充完整，并完成证明过程.已知：如图，在△AB

C中，AB=AC;CM=BN

,MC,NB分别为AB

边与AC

边上的中线，求

证

：【解】证明：∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.

∵CM是AB边上的中线，

BN是AC边上的中线，

基础提优题荣德基UDoE

阳又∵

AB=AC,∴MB=CN.又∵

BC=CB,∴△MBC≌△NCB(SAS).∴CM=BN.

·B基础提优题荣德基UDoE

阳∴8.

[2025天津和平区期中]如图，已知0是四边形ABCD内

一

点，OA=0B=0C,∠ABC=∠ADC=70°,则∠DAO+∠DCO的

大

小是(

D

)A.70°

B.110°C.140°D.150°A综合应用题荣德基UDoE

阳综合应用题【点拨】∵

OA=0B=OC,∴∠ABO=∠BAO,∠OBC=∠OCB.

∵∠ABC=70°,

∴∠AOB+∠BOC=360°—2(∠ABO+∠OBC)=220°∴∠AOC=360°-220°=140°.∵∠OAD+∠ADC+∠OCD+∠AOC=360°,

∠ADC=70°∴∠DAO+∠DCO=150°

.

故选

D.荣UDoE德

A<9.

已知a,b,c分别是等腰三角形ABC

三边的长，且满足ac=12-bc,

若a,b,c均为整数，则这样的等腰三角形ABC

有(B

)A.3个

B.4个

C.5个

D.6个综合应用题荣德基UDoE

阳∴ac+bc=12..

12.

∵12=1×12=2×6=3×4,a+b>C,∴时，三边长分别长分别为2,3,3;当时，三边长分别为3,2,2或3,3,1.综综合应用题【点拨】∵ac=12-bc,上，这样的等腰三角形ABC一共有4个.故选B.荣UDoE德

综合应用题

荣UDoE德

10.如图，在△ABC中，∠BCA=90°,CA=CB,AD

为边BC边上的中线，CG⊥AD于点G,交AB于点F,过点B作BC

的垂线交CG

于点E.有下列结论：①△ADC≌△CEB;②DF=EF;③G

为CF的中点；④F为EG的中点；⑤∠ADC=∠BDF.其中正确的

结论为(C

)A.①②③

B.①③④C.①②⑤

D.③④⑤【点拨】∵∠BCA=90°,CG⊥AD,∴∠ECD+∠ADC=∠E+∠ECD=90°.∴∠E=∠ADC.∵BE⊥BC,∴∠EBC=∠ACD=90°.在△ADC和△CEB∴△ADC≌△CEB(AAS),故①正确；∴

CD=BE.

∵D

为BC的中点，综合应用题荣UDoE德

∴BD=CD.∴BE=CD=BD.∵AC=BC,∠ACB=90°,∴

易得∠

DBF=45°=∠EBF.

在△BEF和△BDF中

，

∴△BEF≌△BDF(SAS).

∴∠E

=∠BDF,EF=DF,

故②正确；假设G为CF

的中点，综合应用题荣UDoE德

∴GF=GC.又∵

GD=GD,∠DGF=∠DGC=90°

,∴△DGF≌△DGC(SAS).

∴DF=DC.

又∵CD=BD,∴DF=BD.

∵∠DBF=45°,∴∠DBF=45°=∠BFD,

∴∠FDB=90°.∵∠E=∠BDF,∴∠E=90°

,此与∠EBC=90°相矛盾，故假设错误，即G不是综合应用题荣UDoE德

综合应用题CF的中点，故③错误；在Rt△DFG

，DF>FG,∵EF=DF,∴EF>FG,∴F不是EG的中点，故④错误；∵∠E=∠ADC,∠E=∠BDF,∴∠ADC=∠BDF,故⑤正确.故正确的有①②⑤.AFBZD荣德基E角仪能三等分任意一个角.如图②,这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB

组成，两根棒在0点相连并可绕0点转动，

C点固定，OC=CD=DE,点D,E

可在槽中滑动，若∠BDE=75°,

则∠DCE的度数是50

°综合应用题11.L新考向数学文化“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图①所示的三等分

D德②①∵CD=DE,∴∠DEC=∠DCE=∠O+∠CDO=2x°.∴∠BDE=∠O+∠DEC=x°+2x°=3x°=75°

.∴x°=25°.∴∠DCE=2x°=50°

.【点拨】设∠0=x°,∵OC=CD,∴∠0=∠CDO=x°.综合应用题荣德基UDoE

阳②①(2)利用三角形的外角是解决此类问题的关键；(3)牵涉到角的倍分运算，尽量使用方程思想解答.分点方法(1)等边对等角的使用前提是必须在同一个三角

形

中

；综合应用题荣德基②①综合应用题12.

[2025宿迁期中]如图，在△ABA₁中，∠B=20°,AB=A₁B,

在A₁B上取一点C,

延长AA₁到点A₂,使得A₁A₂=A₁C;

在A₂C上取一点D,

延长A₁A₂到点A₃

,

使得A₂A₃

=A₂D;

…,按此做法进行下去，∠A₀

的度数为

荣德基UDoE

阳B【点拨】∵在△ABA₁

中，∠B=20°,CAB=A₁B,

D

EA

A₂

A₄∴∠BA∵A₁A₂

=A₁C,∠BA₁A是△A₁A₂C

的外角，综合应用题;同理可得，荣德基….以An为顶点的锐角的度数为×80°,当n=2025

时

，BC

DA₁综合应用题荣德基E

A₂A(1)求证：AC//FD;【证明】∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD.∵AD的垂直平分线交AB

于点F,∴AF=DF.

∴∠FDA=∠BAD.

∴∠FDA=∠CAD.13.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AB

于点F,交BC

的

延长线于点E,连接DF,AE.∴AC//FD.综合应用题荣UDoE德

(2)∠B与∠CAE的大小是否相等?若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由.【解】∠B=∠CAE.

证明如下：∵

AD的垂直平分线交BC

的延长线于点E,∴AE=DE.

∴∠ADE=∠EAD.

∵∠ADE=∠B+∠BAD,

∠EAD=∠CAD+∠CAE,∠CAD=∠BAD,∴∠B=∠CAE.综合应用题荣UDoE德

14.【探究与发现】如图①,在Rt△ABC

中，∠BAC=90°,AB=AC,

点D在底边BC

上，点E在AC

上，连接AD,使AE=AD,

连接DE.AAE

EB

DC

B

D①②创新拓展题荣德基(1)当∠BAD=60°

时，求∠CDE的度数