上海市顾村中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）

2025—2026学年顾村中学第一学期期末考试高一年级数学学科一、填空题（本大题共36分，每小题3分）1.设全集，集合，集合，则______.2.已知半径为的扇形面积为，则该扇形的弧长为________.3.不等式的解集为______．4.已知，化简：______.5.函数定义域为__________.6.在声学中，声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：）．若对应的声强为，对应的声强为，则________．7.已知关于x的不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为______．8.已知正数满足，则的最小值为__________.9.函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为________．10.已知角终边上一点，则___________．11.已知，则函数值域为______．12.设若有三个不同的零点，则实数的取值范围__________.二、单选题（本大题共12分，每小题3分）13.命题是第二象限角，命题是钝角，则是的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C充要条件 D.既非充分又非必要条件14.设，现用二分法求方程在区间内的近似解，计算得，则近似解所在的区间为（）A. B. C. D.不能确定15.用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（）A.都能被5整除 B.至多有一个能被5整除C.或不能被5整除 D.都不能被5整除16.设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如:.现有关于“取整函数”的两个命题:①集合是单元素集:②对于任意成立，则以下说法正确的是（）A.①②都是假命题 B.①是假命题，②是真命题C.①是真命题，②是假命题 D.①②都是真命题三、解答题17.设集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围．18.已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为．（1）均为正根，求实数m的取值范围；（2）若满足：，求实数m值．19.某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③（1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由：（2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？20.已知函数是奇函数，且．（1）求和的值；（2）判断的单调性，并用定义证明；（3）解关于的不等式．21.若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）求证：函数是‘依赖函数’，并直接写出“依赖函数”的两个基本性质（3）当时，函数是“依赖函数”，求正实数的最大值及相应的的值.

2025—2026学年顾村中学第一学期期末考试高一年级数学学科一、填空题（本大题共36分，每小题3分）1.设全集，集合，集合，则______.【答案】【解析】【分析】先求出，再求出其补集即可.【详解】由集合，集合可得，又全集，因此.故答案为：2.已知半径为的扇形面积为，则该扇形的弧长为________.【答案】【解析】【分析】根据扇形的面积公式计算可得.【详解】因为，，设该扇形的弧长为，则，解得.故答案为：3.不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】把分式不等式化为整式不等式再求解．【详解】，故答案：．4.已知，化简：______.【答案】【解析】【分析】由指数幂的运算化简即可；【详解】原式.故答案为：.5.函数的定义域为__________.【答案】【解析】【分析】由二次根式、分式有意义的条件、函数定义域的定义即可求解.【详解】由题意可得且，故函数的定义域为.故答案为：.6.在声学中，声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：）．若对应的声强为，对应的声强为，则________．【答案】【解析】【分析】根据条件，指对互化得，再结合条件得，，即可求解.【详解】由，得到，所以，又若对应的声强为，对应的声强为，所以，，则，故答案为：.7.已知关于x的不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】分参数是否为零结合一元二次不等式恒成立模型讨论可得.【详解】当时，不等式为恒成立，符合题意；当时，由一元二次函数性质可得，解得，综上实数k的取值范围为.故答案为：.8.已知正数满足，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】结合1的活用应用常值代换，再应用基本不等式计算求解即可.【详解】因为，所以，当且仅当即时，取得最小值.故答案为：.9.函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】借助函数图像即可求解；【详解】画出的图像，同时向下平移一个单位得到结合图象可知：，故答案为：10.已知角终边上一点，则___________．【答案】【解析】【分析】由三角函数的定义得，再应用诱导公式、齐次式法求值即可.【详解】由角终边上一点，根据三角函数定义得：点到原点的距离：，因此，，所以，因为，，，，所以分子分母同除以（齐次式弦化切），并把代入得：原式，故答案为：.11.已知，则函数的值域为______．【答案】【解析】【分析】令找到关键点坐标，作出函数大致图像，由函数图像可以得到函数值域.【详解】令，解得，函数大致图像如下：由图可知，函数，故答案为：.12.设若有三个不同的零点，则实数的取值范围__________.【答案】【解析】【分析】由函数解析式作函数图象，由函数图象即可得出结论.【详解】已知，在、上递增，在上递减，且在上值域为，在上值域为，可得函数图象大致如下，由图象得时，有三个不同的零点.故答案为：二、单选题（本大题共12分，每小题3分）13.命题是第二象限角，命题是钝角，则是的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】根据第二象限角、钝角的概念，结合必要不充分条件的定义分析可得答案.【详解】当时，满足是第二象限角，但不是钝角；当钝角时，，则是第二象限角，所以是的必要不充分条件.故选：B14.设，现用二分法求方程在区间内的近似解，计算得，则近似解所在的区间为（）A. B. C. D.不能确定【答案】B【解析】【分析】由二分法的定义可知，一个连续函数在区间上满足，则方程在区间上存在近似解.【详解】因为函数为增函数且在区间内连续，又，所以方程的近似解在区间.故选：B15.用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（）A都能被5整除 B.至多有一个能被5整除C.或不能被5整除 D.都不能被5整除【答案】D【解析】【分析】根据反证法的性质进行判断即可.【详解】用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”故选：D16.设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如:.现有关于“取整函数”的两个命题:①集合是单元素集:②对于任意成立，则以下说法正确的是（）A.①②都是假命题 B.①是假命题，②是真命题C.①是真命题，②是假命题 D.①②都是真命题【答案】B【解析】【分析】分段解方程求出集合中元素判断①；利用不等式性质结合取整数的意义推理判断②.【详解】对于①，当时，，方程化为，则；当时，，方程化为，则；当时，，方程化为，无解，因此，①是假命题；对于②，令，则，，当时，，，则，；当时，，，则，，因此对任意，，②是真命题，故选：B【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧：①可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；②可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；③发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；④如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.三、解答题17.设集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先分别求出当时集合和集合，再求它们的交集；（2）根据充分不必要条件可知以是的真子集，由此确定实数的取值范围.【小问1详解】已知集合，当时，，即.

等价于，所以集合.

对于集合，这是一个分式不等式.

分式不等式等价于.解不等式，可得，所以集合.

由前面求出的，，所以.【小问2详解】由集合，解不等式可得，即，所以集合.

因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集.

则有（等号不同时成立）.

解第一个不等式，得；解第二个不等式，得.

综上，实数的取值范围是.18.已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为．（1）均为正根，求实数m的取值范围；（2）若满足：，求实数m的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】结合韦达定理列出式子，即可求；【小问1详解】由均为正根，得，解得，即；【小问2详解】由（1）得，解得（舍去）或，则19.某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③（1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由：（2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？【答案】（1）③，理由见解析（2）万元【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合函数所过的点，以及函数的增长速度，即可求解．（2）根据（1）的结论，将对应的点代入，即可求解函数表达式，列不等式求解即可.【小问1详解】对于模型①，，图象为直线，故①错误，由图可知，该函数的增长速度由快变慢，对于模型②，指数型的函数是由慢变快，且增长速度是爆炸型增长，故②错误，对于模型③，对数型的函数增长速度是由快变慢，符合题意，故选项模型③，【小问2详解】由（1）可知，选项模型③，所求函数过点，则，解得，故所求函数为，因为总奖金不少于9万元，所以，即，所以，所以，所以至少应完成销售利润万元．20.已知函数是奇函数，且．（1）求和的值；（2）判断的单调性，并用定义证明；（3）解关于的不等式．【答案】（1），.（2）在上单调递增，证明见解析.（3）【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数和题中条件解得参数的值；（2）根据函数单调性的定义证明即可；（3）根据函数的奇偶性和单调性解得不等式的解集.【小问1详解】因为是奇函数，所以，即，解得，当时，，可知，所以是奇函数.因为，即，所以.【小问2详解】由（1）可知，，在上单调递增.证明：任取，且，则，因为，且在上单调递增，所以，即，又，故，即，因此在上单调递增.【小问3详解】解不等式，因为是奇函数，所以，又在上单调递增，故：，即，所以，进而有，解得，因此不等式的解集为.21.若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）求证：函数是‘依赖函数’，并直接写出“依赖函数”的两个基本性质（3）当时，函数是“依赖函数”，求正实数的最大值及相应的的值.【答案】（1）不是，理由见解析（2）证明见解析①函数是单调函数；②函数的值域不包含（3）的最大值为时，【解析】【分析】（1）取时，，不存在使成立，故不是“依赖函