八年级数学下册cy1.2.2 等腰三角形的判定和反证法

第一章

三角形的证明2等腰三角形第2课时等腰三角形的判定和反证法荣德基u温馨提示：点击

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B89答案呈现习题链接DAB10荣德基1.

下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是(D)A.∠A:∠B:∠C=1:1:3B·BC:AC:AB=2:2:3C

.

∠B=50°,∠C=80°D

．2∠A=∠B+∠C基础提优题荣德基UPPERCASEBUDGETS基础提优题2.用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，第一步应假设(

A)A.

两直线不平行B.

同旁内角不互补C.

同旁内角相等D.

同旁内角不相等荣德基MuB基础提优题3.如图，等腰三角形共有(

B)A

D72°

0

72°36°

36°B

CA.4

个B.5

个

C.3

个

D.2

个荣德基4.[教材P17习题T7]如图，在△ABC中，AB=AC,点M在

CA

的延长线上，MN⊥BC

于点N,

交AB

于点0,若AO=3,BO=4,

则MC的长度为

10

MAo基础提优题

荣德基BNC基础提优题【

点拨】∵AB=AC,

∴∠B=∠

C.∵MN⊥BC,∴∠MNC=∠MNB=90°.

∴∠B+∠BON=90°,∠C+∠M=90°.

∴∠M=∠BON.

∵∠BON=∠MOA,

∴∠M=∠MOA.∴AM=AO=3.∵BO=4,∴AC=AB=AO+BO=7.∴MC=AM+AC=10.荣德基MuB5.如图，一条船上午8时从A处以20n

mile/h的速度向北偏西60°方向航行，上午11时到达B处，B处在灯塔C的正

南方向，从A处测得灯塔C

在北偏西30°方向上，则B处离灯塔C

的距离为60

nmile.若船接着从B处以15nmile/h的速度

向灯塔C航行，当船到达灯塔C

时是

1

5

时.基础提优题

荣德基MuBBC,AC

上，且

BE=CF,AD+EC=AB.(1)求证：△DEF是等腰三角形；【证明】∵AD+EC=AB=AD+DB,∴DB=EC.∵AB=AC,

∴∠B=∠C.又∵BE=CF,

∴△BED≌△CFE.∴DE=EF.

∴△DEF

是等腰三角形.基础提优题6.如图，在△ABC中，AB=AC,

点D,E,F

分别在AB,

u德B基【解】假设△DEF是直角三角形，则∠DEF=90°,∴∠DEB+∠FEC=90°.由(1)知△BED≌△CFE,∴∠BDE=∠CEF.∴∠DEB+∠BDE=90°.∴∠B=90°.∴∠C=90°

.∴∠A+∠B+∠C>180°,与三角形内角和定理相矛盾.(2)用反证法证明△DEF不可能是直角三角形.∴△DEF不可能是直角三角形.基础提优题荣德基MuB综合应用题7.下列三角形中，若AB=AC,

则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(B

)B

36°

CAA45°

B

B

CBA90°CC

BA108°DC荣德基8.

如图，在△

ABC

中，∠

ABC

与∠

ACB

的平分线交于点

F,

过点F

作

DEII

BC交

AB

于点D,

交

AC

于点E,那么下列结论：①△BDF

和△CEF

都是等腰三角形；②DE=BD

+CE;③△ADE的周长等于边AB与AC的和；④BF=CF;

.其中一定正确的是(

)

A.①②⑤B.①②③④C.①②④D.①②③⑤综合应用题u德B基∠FCB.

∵∠ABC

与∠ACB

的平分线交于点F,∴∠DBF=∠FBC,∠ECF=∠FCB.∴∠DBF=∠DFB,∠ECF=∠EFC.

∴DB=DF,EF=EC,

即△BDF

和△CEF

都是等腰三角

形，故①正确

；∴

DE=DF+EF=BD+CE,故②正确；∴△ADE

的

周

长

=AD+DF+FE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC,

故③正确；∵∠ABC

不一定等于∠ACB,∴∠FBC

不一定等于∠FCB.

∴BF与CF不一定相等，故④错误；

【

点

拨

】∵DE//BC,

∴∠DFB=∠FBC,∠EFC=综合应用题荣德基MuB由题意知，

,∴∠BFC=故D.【答案】D,故⑤正确

.综合应用题荣德基MuB9.

如图，直线a,b

交于点0,∠a=40°,

点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，当∠OAB= 40°或70°或100°或20°时

，以点0,

A,B为顶点的三角形是等腰三角形.

b综合应用题

荣德基aAa①

②①如图①,当AB=OB

时，∠OAB=∠AOB=40°;②如图②,当OA=OB

时，③如图③,当OA=AB

时，∠ABO=∠AOB=40°,∴∠OAB=180°-40°-40°=100°;③

④【点拨】若点B

在

OA

上方，分以下三种情况：综合应用题

u德B基b若点B在OA

下方，如图④,

O

当OA=OB时，∠OBA=∠OAB.B

④∵∠OBA+∠OAB=∠a=40°,

∴∠OAB=20°.综上，当∠OAB=40°

或70°或100°或20°时，以点0,

A,B

为顶点的三角形是等腰三角形.α

综合应用题

荣德基10.如图，在四边形ABDC

中，AC=DC=3,AD

平分∠BAC,BD⊥AD于点D,E为AC的中点，连接BE交AD于

点

0

,

则图中两个阴影三角形(△OBD与△OAE)的面积之差的综合应用题荣德基Ao

EBD最大值为

∠H+∠HAD=90°.∵AD

平分∠BAC,

∴∠BAD=∠HAD.∠ABD=∠H.∴AB=AH.

又∵AD⊥BH,

∴BD=DH.∵DC=CA,

∴∠CDA=∠CAD.又

B∵∠CAD+∠H=90°,∠CDA+∠CDH=90°,如图，延长BD,AC

交于点H.∵AD⊥BH,∴∠ADB=∠ADH=90°.

∴∠ABD+∠BAD=90°,∴∠CDH=∠H.∴CD=CH=AC.综合应用题【

点拨】荣德基MuB∵E为

AC的中点，∵∴AE=EC,∴

易知,S△CDH∴S△ABE=S△CDH.∵S△OBD-S△AOE=S△ADB-S△ABE=S

ADH-S△CDH=S△ACD.∵AC=CD=3,∴

当

DC⊥AC时，△ACD

的面积最大，最大综合应用题

u德B基面积综合应用题

u德B基11.

如图，在△ABC中，AB=16

cm,BC=12cm,AC=

20

cm,P,Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B

方向运动，且速度为每秒1cm,

点Q

从点B

开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm,

它们同时出发，设出发的时间为t

s.(1)BP=

(16-t)cm

(用含的代数式表示);16(2当点Q

在边BC上运动时，出发

s

后，△PQB是等腰三角形；∴∠A+∠C=90°,∠CBQ+∠ABQ=90°∴∠A=∠ABQ.∴BQ=AQ∴.

∴BC+CQ=22cm.∴t=22÷2=11;角

形

?【解】①当CQ=BQ

时，如图①,则∠C=∠CBQ.易得△ABC是直角三角形且∠ABC=90°,综合应用题

u德B基(3)当点Q

在边CA

上运动时，出发几秒后，△BCQ

是等腰三①②当CQ=BC

时，如图②,则BC+CQ=24cm,∴t=24÷2=12;③当BQ=BC

时，如图③,过点B作

BD⊥AC

于

点D.∴CD=QD..

②综合应用题

u德B基③s后，△BCQ

是等腰三角形.综上所述，出发11s

或12s1pI12.如图①,在△ABC中，AB=AC,AD(1)求证：AD⊥BC;【证明】∵

AD平分∠BAC,AB=AC,∴AD⊥BC.平分∠BAC.B

创新拓展题AD①荣德基C(2)如图②,点E为△ABC内一点，连接AE,DE,点F为AE上一点，连接DF并延长至点G,

使得AG=DE.若∠EDG+∠AGF=180°,求证：AF=EF;AGFEB

D

C②创新拓展题荣德基MuB创新拓展题【证明】如图①,过点A作AM⊥DG

,

交DG的延长线于点M,

过点E作EN⊥DG,

垂足为N.

∴∠END=∠AMG=90°.

∵∠EDG+∠AGF=180°,∠AGM+∠AGF=180°,∴∠EDN=∠AGM.又∵

AG

=DE,∴△

EDN≌△AGM.∴AM=EN.∵∠AMF=∠

ENF

=90°,

∠

EFN=∠

AFM,∴△AMF≌△ENF.∴AF=EF.B荣德基MuB①连接

PQ,CQ.

∵

,AB=AC,AP=C