2023-2024学年广东深圳实验学校初中部九年级(上)期中数学试题及答案

2023-2024学年广东省深圳实验学校初中部九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分）13分2的相反数是()23分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成，其俯视图是()B.33分）总投资647亿元的西成高铁预计2017年11月竣工，用科学记数法表示647亿元为()A．647×108B．6.47×109C．6.47×1010D．6.47×101143分）使函数y＝有意义的自变量x的取值范围是()A．x≥3B．x≥0C．x≤3D．x≤053分）下列运算中正确的是()A．a5+a5＝a1063分）不等式3x+6≥9的解集在数轴上表示正确的是()B.D.73分）在学习平行四边形时，数学兴趣学习小组设计并组织了“生活中的平行四边形”比赛，全班同学的比赛结果统计如下表所示，则得分的众数和中位数分别为()得分（分）607090人数（人）783A．70分，70分B．80分，80分C．70分，80分D．80分，70分83分）如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1，则A2，7）B3，7）C3，8）D4，8）93分）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为()103分）如图，已知。ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，连接AC．若EF＝2，FG=GC＝5，则AC的长是()二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）113分）分解因式：ax2﹣ay2=.123分）一个不透明的袋中共有5个小球，分别为2个红球和3个黄球，它们除颜色外完全相同．随机摸出两个小球，摸出两个颜色相同的小球的概率为.133分）已知圆锥的底面圆半径是1，母线是3，则圆锥的侧面积是.143分）已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0若2＜m＜3，则a的取值范围是.153分）如图，在。ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F．若CD＝5，BC＝8，AE=2，则AF=.三、解答题（本题共7小题，共55分）16．解方程和不等式组：（1）=﹣3；（2）.18．随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识将调查结果绘制成下面两个统计图.（1）本次调查的学生共有人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是人；（2）“非常了解”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率.19．如图，△ABC内接于。O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D（2）若BC＝6，sin∠BAC=20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝x的图象与反比例函数y=（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标.21．问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠B∠BAD==迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE＝120°,D，E，C三点在同一条直线上，连接BD.①求证：△ADB≌△AEC；②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°,在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF.①证明△CEF是等边三角形；②若AE＝5，CE＝2，求BF的长.22．已知点A(﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y＝ax2+bx上，（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F的坐标为（0，mm＞2直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值.2023-2024学年广东省深圳实验学校初中部九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分）13分2的相反数是()【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可.【解答】解2的相反数是2；故选：C.【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆.23分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成，其俯视图是()A．B.【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案.【解答】解：从上边看一层三个小正方形，故选：C.【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图.33分）总投资647亿元的西成高铁预计2017年11月竣工，用科学记数法表示647亿元为()A．647×108B．6.47×109C．6.47×1010D．6.47×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.【解答】解：647亿＝64700000000＝6.47×1010，故选：C.【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.43分）使函数y＝有意义的自变量x的取值范围是()A．x≥3B．x≥0C．x≤3D．x≤0【分析】根据被开方数是非负数，可得答案.【解答】解：由题意，得3﹣x≥0，故选：C.【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数是解题关键.53分）下列运算中正确的是()A．a5+a5＝a10【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方化简即可判断.【解答】解：A．a5+a5＝2a5，故选项A不合题意；B．a7÷a＝a6，故选项B符合题意；C．a3•a2＝a5，故选项C不合题意；故选：B.【点评】本题主要考查了幂的运算法则，熟练掌握法则是解答本题的关键.63分）不等式3x+6≥9的解集在数轴上表示正确的是()B.D.【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得.【解答】解：移项，得：3x≥9﹣6，合并同类项，得：3x≥3，故选：C.【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.73分）在学习平行四边形时，数学兴趣学习小组设计并组织了“生活中的平行四边形”比赛，全班同学的比赛结果统计如下表所示，则得分的众数和中位数分别为()得分（分）607090人数（人）783A．70分，70分B．80分，80分C．70分，80分D．80分，70分【分析】根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；根据中位数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为中位数.【解答】解：∵70分的有12人，人数最多，∴众数为70分；处于中间位置的数为第20、21两个数，都为80分，中位数为80分.故选：C.【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错.83分）如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1，则A2，7）B3，7）C3，8）D4，8）【分析】过C作CE⊥y轴于E，根据矩形的性质得到CD＝AB，∠ADC＝90°,根据余角的性质得到∠DCE=∠ADO，根据相似三角形的性质得到CE＝OD＝2，DE＝OA＝1，于是得到结论.【解答】解：过C作CE⊥y轴于E，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE＝90°,∴∠DCE=∠ADO，∴△CDE∽△ADO，∴∴OA＝3，CD：AD=,故选：A.【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键.93分）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为()【分析】根据已知画出图形，过点C作CD⊥AB，垂足为D，令AB＝5，BC＝7，AC＝8；设AD＝x，则BD＝5﹣x，由勾股定理可得CD2＝AC2﹣AD2，CD2＝BC2﹣BD2，代入数据可得x的值，进而求出CD的值；接下来根据△ABC的面积=×（AB+BC+AC）r，代入数据计算即可.【解答】解：根据已知画出图形，过点C作CD⊥AB，垂足为D，令AB＝5，BC＝7，AC＝8，设AD＝x，则BD＝5﹣x，由勾股定理可得CD2＝AC2﹣AD2，CD2＝BC2﹣BD2，∴82﹣x2＝725﹣x）2，解得x＝4，∵△ABC的面积=×（AB+BC+AC）r，∴×5×4=×（5+7+8）r，【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，正确画出图形是解决此题的关键.103分）如图，已知。ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，连接AC．若EF＝2，FG=GC＝5，则AC的长是()D.【分析】如图，作AP⊥CH交CH的延长线于P．利用勾股定理即可解决问题；【解答】解：如图，作AP⊥CH交CH的延长线于P.∵四边形ABCD是平行四边形，。ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，∴易证四边形EFGH是矩形，四边形AEHP是矩形，△ABE≌△CDG，可得PA＝FG＝5，AE＝PH＝CG＝5，CP＝CG+PH+GH＝2+10＝12，在Rt△APC中，AC===13.故选：B.【点评】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，本题的综合性比较强，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题.二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）113分）分解因式：ax2﹣ay2＝a（x+yx﹣y）.【分析】应先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.【解答】解：ax2﹣ay2，=a（x2﹣y2=a（x+yx﹣y）.故答案为：a（x+yx﹣y）.【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，需要注意分解因式一定要彻底.123分）一个不透明的袋中共有5个小球，分别为2个红球和3个黄球，它们除颜色外完全相同．随机摸出两个小球，摸出两个颜色相同的小球的概率为【分析】根据题意画出树状图，再根据树状图即可求得所有等可能的结果与两次取出的小球颜色相同的情况，然后根据概率公式求解.【解答】解：画树状图如下：由树状图可知，共有20种等可能结果，其中取出的小球颜色相同的有8种结果，∴两次取出的小球颜色相同的概率为=,故答案为：【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．解题的关键是根据题意列表或画树状图，注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比.133分）已知圆锥的底面圆半径是1，母线是3，则圆锥的侧面积是3π.【分析】求出圆锥的底面圆的周长，根据扇形的面积公式计算即可.【解答】解：∵圆锥的底面圆半径是1，∴圆锥的底面圆的周长＝2τ,则圆锥的侧面积=【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.143分）已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0若2＜m＜3，则a的取值范围是 ＜a＜或﹣3＜a<﹣2.【分析】先用a表示出抛物线与x轴的交点，再分a＞0与a＜0两种情况进行讨论即可.【解答】解：∵y＝ax2+（a2﹣1）x﹣aax﹣1x+a∴当y＝0时，x1x2=﹣a，∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（m，0）且2＜m＜3，∴当a＞0时，23，解得＜a<;当a＜0时，2<﹣a＜3，解得﹣3＜a<﹣2.故答案为a＜或﹣3＜a<﹣2.【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解.153分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F．若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF=【分析】过O点作OM∥AD，求出AM和MO的长，利用△AEF∽△MEO，得到关于AF的比例式，求出AF的长即可.【解答】解：过O点作OM∥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OM是△ABD的中位线，∴AM＝BM＝AB=∵AF∥OM，∴=,∴AF=, 故答案为.【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型.三、解答题（本题共7小题，共55分）16．解方程和不等式组：（1）=﹣3；（2）.【分析】（1）两边同时乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后解答；（2）分别求出不等式的解集，然后找到其公共部分即可.【解答】解1）两边同时乘以（x﹣2）得，2x﹣5＝3x﹣3﹣3（x﹣2）去括号，得2x﹣5＝3x﹣3﹣3x+6移项，得2x﹣3x+3x＝6﹣3+5合并同类项，得2x＝8检验：当x＝4时，x﹣2≠0，则x＝4是原分式方程的解．（2）由②得x＜1，不等式组的解集为﹣3≤x＜1．【点评】（1）本题考查了解分式方程，利用转化思想将分式方程转化为整式方程是解题的关键；（2）本题考查了不等式组的解法，会解不等式并且求出其公共部分是解题的关键．17．先化简，再求值：÷（1其中x1．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再将x的值代入计算即可．【解答】解：原式＝÷＝，原式2．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．18．随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识将调查结果绘制成下面两个统计图．（1）本次调查的学生共有50人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是360人；（2）“非常了解”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率.【分析】（1）用“非常了解”人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；（2）用总人数乘以“不了解”人数所占的百分比即可得出答案；（3）先画树状图展示所有12个等可能的结果数，再找出恰好是一位男同学和一位女同学的结果数，然后根据概率公式求解.【解答】解1）4÷8%＝50（人1200×（1﹣40%﹣22%﹣8%360（人故答案为：50，360；（2）画树状图，共有12种可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有8个，∴P（恰好抽到一男一女的）==.【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率.19．如图，△ABC内接于。O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D（1）求证：AO平分∠BAC；（2）若BC＝6，sin∠BAC求AC和CD的长.【分析】（1）延长AO交BC于H，连接BO，证明A、O在线段BC的垂直平分线上，得出AO⊥BC，再由等腰三角形的性质即可得出结论；（2）延长CD交。O于E，连接BE，则CE是。O的直径，由圆周角定理得出∠EBC＝90°,∠E=∠BAC，得出sinE＝sin∠BAC，求出CE＝BC＝10，由勾股定理求出BE＝8，证出BE∥OA，得出求出OD=,而BE∥OA，由三角形中位线定理得出OH＝BE＝4，CH＝BC＝3，在Rt△ACH中，由勾股定理求出AC的长即可.【解答】（1）证明：延长AO交BC于H，连接BO，如图1所示：∵AB＝AC，OB＝OC，∴A、O在线段BC的垂直平分线上，∴AO⊥BC，又∵AB＝AC，∴AO平分∠BAC；（2）解：延长CD交。O于E，连接BE，如图2所示：则CE是。O的直径，∵∠E=∠BAC，∴sinE＝sin∠BAC，∴=,解得：OD=,∴CD＝5+=,∵BE∥OA，即BE∥OH，OC＝OE，∴OH是△CEB的中位线，在Rt△ACH中，AC3.【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度.20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝x的图象与反比例函数y=（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标.【分析】（1）把A（a2）代入y＝x，可得A(﹣42把A(﹣42）代入y可得反比例函数的表达式为y再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标；（2）过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，先设P（m则C（m，m根据△POC的面积为3，可得方程m×|m﹣|＝3，求得m的值，即可得到点P的坐标.【解答】解1）把A（a2）代入y＝x，可得a=﹣4，把A(﹣42）代入y可得k＝8，∴反比例函数的表达式为y=,∵点B与点A关于原点对称，（2）如图所示，过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，设P（m则C（m，m∵△POC的面积为3，解得m＝2或2，，）【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式.21．问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠B∠BAD==迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE＝120°,D，E，C三点在同一条直线上，连接BD.①求证：△ADB≌△AEC；②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°,在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF.①证明△CEF是等边三角形；②若AE＝5，CE＝2，求BF的长.【分析】迁移应用：①如图②中，只要证明∠DAB=∠CAE，即可根据SAS解决问题；由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD，即可解决问题；拓展延伸：①如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．由BC＝BE＝BD＝BA，FE＝FC，推出A、D、E、C四点共圆，推出∠ADC=∠AEC＝120°,推出∠FEC＝60°,推出△EFC是等边三角形；②由AE＝5，EC＝EF＝2，推出AH＝HE＝2.5，FH＝4.5，在Rt△BHF中，由∠BFH＝30°,可得=cos30°,由此即可解决问题.【解答】迁移应用：①证明：如图②∴∠DAB=∠CAE，在△DAB和△EAC中，,∴△DAB≌△EAC，②解：结论：CD＝AD+BD.理由：如图2﹣1中，作AH⊥CD于H.在Rt△ADH中，DH＝AD•cos30°=AD，∴DH＝HE，∴CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD.拓展延伸：①证明：如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE.∴△ABD，△BDC是等边三角形，∵E、C关于BM对称，∴△EFC是等边三角形，∴AH＝HE＝2.5，FH＝4.5，在Rt△BHF中，∵∠BFH＝30°,【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、四点共圆、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题.22．已知点A(﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y＝ax2+bx上，（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F的坐标为（0，mm＞2直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值.【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；（2方法一）根据点A、F的坐标利用待定系数法，可求出直线AF的解析式，联立直线AF和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点G的坐标，进而可得出点H的坐标，利用分解因式法将抛物线解析式变形为交点式，由此可得出点E的坐标，再根据点A、E（F、H）的坐标利用待定系数法，可求出直线AE（FH）的解析式，由此可证出FH∥AE；（方法二）根据点A、F的坐标利用待定系数法，可求出直线AF的解析式，联立直线AF和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点G的坐标，进而可得出点H的坐标，利用分解因式法将抛物线解析式变形为交点式，由此可得出点E的坐标，过点A作AA′⊥x轴，垂足为点A′，利用相似三角形的判定定理可得出△AA′E∽△FOH，利用相似三角形的性质可得出∠AEA′=∠FHO，进而可证出FH∥