中职高考数学一轮复习(测)专题九立体几何(原卷版+解析)

专题九立体几何

一、选择题

1.下列命题中正确的是（）

A.经过三点确定一个平面B.经过两条平行直线确定一个平面

C.经过一条直线和一个点确定一个平面D.四边形确定一个平面

2.正方体人中，异面直线AR与所成角为（）

A.45°B.60°C.90°D,120°

3.已知直线〃在平面。内，直线的不在平面。内，则“加〃”是“，〃|a"（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既非充分条件又非必要条

4.如图所示，尸为矩形A8CD所在平面外一点，矩形对角线交点为。，M为P8的中点，下列结论正确的

个数为（）

①。W//平面P8C②OM//平面PC。③OM〃平面PDA④OM//平面P8A

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.在空间四边形/WCD中，E,尸分别为A8人。上的点，且=:尸。=1:4,H,G分别为8GCD

的中点，则（）

A.平面EFG,且四边形是平行四边形

B.EF〃平面BCD,且四边形EFGH是梯形

C."G〃平面ABQ,且四边形石尸G”是平行四边形

D.E"〃平面AOC,且四边形EFG”是梯形

6.已知长方体A3C。—A8CQ中，AB=4,CC.=2,长方体的体积是32,则直线6G和平面。台百。所

成角的正弦值为（）

A6R。「河D同

22510

7.在长方体48CO—A6G2中，AR=4,AC=3,则一.面角C—3瓦—幺的正切值为（）

3434

A•-B.-C.-D.一

5543

8.在正方体ABC。-AqCQ中，E是他的中点，若AB=6,则点8到平面ACE的距离等于（）

a店

A.75B.76C.D.3

2

9.己知圆锥的高为2石，底面半径为4.若•球的表面积与此圆链的侧面积相等，则该球的半径为（）

A.瓜B.GC.72D.2

10.己知四面体A-BCD的棱长都等于2,那么它的外接球的表面积为（）

A.巫■冗B.乖mC.6兀D.12兀

2

二、填空题

11.若直线〃和b没有公共点，则。与。的位置关系是.

12.设£,F,G,”分别是空间四边形A8C。的边A8,BC,CD,OA的中点，若A038。，则四边形EFG”

的形状是.

13.如图，在三棱锥P-4BC中，外回平面48C,PA=AB,则直线P8与平面A8c所成的角等于

14.如图，P是二面角内的一点，PA^a,P卿，垂足分别为A,B.若团4P月=80。，则二面角一力

的大小为.

15.正方体AO8-A4GA中，E,G分别是8。，G3的中点，如图，贝卜EG与平面。。R4的位置关系

是___________

16.如图所示，A3CO—是棱长为。的正方体，M,N分别是下底面的棱4由/,田。的中点，。是

上底面的棱AO上的一点，4尸=三，过P，M,N的平面交上底面于尸Q,。在。。上，则?Q=.

17.半径为4的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为

18.在个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去个圆锥，圆错的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的顶点

是圆柱的下底面中心，这个几何体的表面积为.

23.如图，在正三棱锥P-AAC中，底面边长为6,侧棱长为5,G、H分别为P8、PC的中点.

(1)求证：G〃〃平面/IBC；

(2)求正三棱锥P-A3C的表面积.

24.如图，四棱锥A8c。的底面是正方形，侧面小。是正三角形，AD=2,且侧面P4O_L底面ABCD,

E为侧棱P。的中点.

(1)求证：P8〃平面E4C；

(2)求三棱锥A-PDC的体枳.

专题九立体几何

一、选择题

1.下列命题中正确的是（）

A.经过三点确定一个平面B.经过两条平行直线确定一个平面

C.经过一条直线和一个点确定一个平面D.四边形确定一个平面

答案：B

【解析】对于选项A：经过不共线的三点确定一个平面，故选项4错误；对于选项以两条

平行直线唯一确定一个平面，故选项8正确；对于选项C：经过一条直线和直线外一个点确

定一个平面，故选项。错误；对于选项。：因为空间四边形不在一个平面内，故选项。错

误，故选：B.

2.正方体中，异面直线4A与8。所成角为（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

答案：B

【解析】由题意，作正方体/WCO-A耳GA，如下图明示:连接8C.DG，

QAD,〃BC、,

团异面直线AR与即所成的角为NOBG，由题可得“MG为等边三角形，NDB&=60。,

团异面直线AR与“。所成的角为60。，故选：B.

3.已知直线〃在平面。内，直线子不在平面。内，则“小是（)

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既非充分条件又非必要条

答案：A

【解析】先讨论充分性，即考虑能否推出"〃？a〃・因为直线〃在平面a内，宜线机不

在平面。内，切1〃，所以机a,所以，〃〃是“加a”的充分条件，讨论必要性,即考虑

"ma"能否推出""|〃"，因为直线〃在平面a内，直线加不在平面a内,ma,所以m||n

或者m,n异面，所以“小〃”是"/〃的非必耍条件，故选A.

4.如图所示，P为矩形48co所在平面外一点，矩形对角线交点为0,M为P8的中点,

下列结论正确的个数为（）

①QM//平面P8C②OM//平面PCD③OM//平面尸D4④QM〃平面

PBA

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案：B

【解析】对于①，Me平面P8C,故①错误；对于②.由于。为80的中点，M为阳的

中点，则0M//PD,OMU平面PC。，PDu平面PO则0M//平面PC。，故②正确；

对于③，由于OM//PD,OMN平面PAD,P/）u平面PA。，则OM//平面B4Z）,故③

正确；对于④，由于Mw平面幺3,故④错误，故选：B.

5.在空间四边形A8CO中，E,尸分别为AB,AD上的点，且=A厂:F。=1:4,H,G

分别为NC，C。的中点，则（）

A.BD〃平面EFG,且四边形石尸G”是平行四边形

B.EF〃平面BCD,且四边形EAG”是梯形

C.”G〃平面/曲，且四边形同‘GH是平行四边形

D.E”〃平面4OC,且四边形EFG”是梯形

答案：B

【解析】如图，由题意，得EF//BD,且EF=±BD,HG//BD,且HG=^BD,mEF//HG且

£Fw”G,回四边形是梯形；又EFHBD,EF（z平面BCD,BDu平面BCD.©EF〃

平面B。：所以选项8王确，故选:

6.已知长方体A8S-ABGR中,A13=4,CG=2,长方体的体积是32,则直线月G和

平面。84A所成角的正弦值为（)

B.4rx/io

L・------

5D-噜

答案：C

【解析】因为长方体的体积是32,所以8c=4：所以四边形AAGA为正方形，如下图所

示：

取。4的中点M,连接GM，则GM_L8Q,又CM所以GM_L平

面8。。1四，所以/C#M即为BG和平面0881A所成角；有勾股定理可知

4G=VI^=2&；GM=2&；所以在R/VC出M中，4。/。用例=罢=斗=坐，故

BC{2y/55

选；C.

7.在长方体ABC。-4罔G。中，A6=4,8c=3,则二面角。一8四一。的正切值为（

3434

A.-B.—C.-D.-

5543

答案：D

［解析加。8_L3与，8C1，由二面角的平面角的定义知，NO8C就是二面角C-BB-。

的平面角，又NBCD=90,所以tanN。8c=罢=段=”,故选：D.

BCBC3

8.在正方体/WCO-A/CR中，E是84的中点，若A8=6,则点B到平面4CE的距离等

于（）

3限

A.x/5B.V6Lr・------D.3

2

答案：B

【解析】如图，在正方体八BC。-A/iGQ］中，AB=6,E是的中点，则4E=3,

AE=CE=JG+?=3后，4c=60..:SMCE=；XWX40舟一（3丘丫=9屈，设点B到平

面ACE的距离为/?,由％_诋=匕_人"，得;xgx6x6x3=；x9«x〃，解得力=6,故选：

9.已知圆锥的高为2石，底面半径为4.若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球

的半径为（）

A.瓜B.&C.V?D.2

答案：A

【解析】设球的半径为，因为圆锥的高为26，底面乂径为4,所以圆锥的母线长为:

7（2>/5）2+42=6»

由题意可知：小4・6=4・4•产=>r=6，故选：A.

10.已知四面体A-88的棱长都等于2,那么它的外接球的表面积为（）

A.—nB.瓜C.6兀D.12兀

2

答案：C

【解析】如图，正四面体人8CO棱长为2,A”L平面8C。于〃，则〃是△8C。中心,

理、2=苧，A//_L平面3c。，平面BO）,则=半,

设外接球球心为。，则。在A",则OA=Q3=R为外接二径，由B，2+O,2=BO2得

（手产+（半一R）2=R，解得R=等，

所以其外接球的表面积为4瓶：=4^3=6%故选：C.

4

二、填空题

11.若直线〃和〃没有公共点，则。与/?的位置关系是.

答案：平行或异面

【解析】空间中两条直线的位置关系有3种：相交，有且只有一个公共点；平行，没有公共

点；

异面，没有公共点，所以直线。和宜线b没有公共点，则它们的位置关系是平行或异面，故

答案为：平行或异面.

12.设E,F,G,"分别是空间四边形ABC。的边AB,BC,CD,D4的中点，若AO3BD,

则四边形EFGH的形状是.

答案：矩形

【解析】如图所示，团E，F,G,H分别是空间四边形A8CO的边A3,BC,CD,DA的中

点，^EF=^AC,H.EFIIAC,〃G=《AC,H.HG//AC⑦EF=HG,H.EF//HG,团四边形

EFGH是平行四边形，又ACI3B。，

晒咽EH,则四边形EFG”的形状是矩形.，故答案为：矩形.

13.如图，在三棱锥P-2BC中，力团平面A8C,PA=AB,则直线P8与平面A8C所成的角等

于.

答案：45

【解析】%(3平面48C,.,.团PB4为P8与平面A8C所成的角，PA=AB,0PB>4=45\故

答案为：45.

14.如图，P是二面角a-/一尸内的一点，附加，P聊,垂足分别为48.若MPB=20。，

则二面角〃的大小为.

答案：100。

【解析】设二面角a一/一6的大小为。，因为以0a,0幽，垂足分别为A,B,所以

。+/4尸8=180。，所以。=180。一乙428=100。，故答案为：100°.

15.正方体ABC。—A4G0中，E,G分别是BC,G"的中点，如图，则：EG与平面80。百

的位置关系是.

答案：平行

【解析】如图，取8。的中点/，连接EF,。1凡团后为3C的中点，(3所为△BC。的中位线，

则E////X:,且七产='oc,(3G为GR的中点，⑦RG//CD且RG」CD,0EF//DGJi

22

EF=Dfi,向四边形为平行四边形，同RF//EG,而R厂u平面与，EG<Z平面

BDD.B,,[3EG〃平面引比)石，答案：平行.

16.如图所小，A8CQ—A/8/。。/是棱长为。的正方体，M,N分别是卜底面的棱A/B/,B/Ci

的中点，户是上底面的棱,4。上的一点，过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在

CO上，则P。=.

答案:浮

【解析】回MN//平面ABCD,平面PMNQc平面A3CO=PQ,MNu平面「QNM,(WN//PQ,

易知。尸=。。=|〃，^LPQ=y]PD2+DQ2=42PD=1,故答案为：名答

17.半径为4的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为.

答案：牛

【解析】设圆锥的底面半径为「，母线为/,高为h,因为圆锥是由半径为4的半圆卷成,

所以/=4,由万〃1"=4门=8乃=>r=2,由勾股定理可得:

h=x/l2-r2=Vl6-4=2\6»所以圆锥的体积为：；•冗尸h=九乂*n，故答

案沏空

18.在•个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上.底面重合,

圆锥的顶点是圆柱的下底面中心，这个几何体的表面积为

答案：（5+石）乃

【解析】挖去圆徘的母线长为炉下=逐，则圆锥的侧面积为Jx2乃乂6=6乃，圆柱的

侧面积为2乃*2=44，圆柱的•个底面积为广乂万=乃，故几何体的表面积为

石江+4江+乃=（5+石）乃，故答案为：（5+石）4.

三、解答题

19.如图，在四棱锥尸-ABC。中，底面A8CD为矩形，E为PC中点，证明：PA”平面BDE

答案：证明见解析

【解析】证明：设ACc3D=F,连接放，因为分别为尸。,月。中点，所以PA〃EF,

因为R4U平面8/）E,&u平面6QE，所以B4〃平面BDE.

20.已知P是财8c所在平面外的一点，且以（3平面ABC,平面以03平面PBC,求证:BC^AC.

答案：证明见解析

D

【解析】证明:如图，在平面附。内作4D0PC于点因为平面

4\B

限C0平面PBC,平面B4C1平面P8C=PC,4Du平面附C,且4DI3PC,所以AD0平面PBC,

又8Cu平面P8C,所以

因为两团平面ABC,BCu平面ABC,所以%勖C,因为所以8c0平面阴C,

又ACu平面"C,所以8函4c.

21.如图，E4_L平面48C,DCI/EA,EA=2DC,F是EB的中点.

(1)求证：0cJ_平面43C；

(2)求证：。尸〃平面A8C.

答案：(1)证明见解析；12)证明见解析；

【解析】证明：(1)团£4团平面48C,AB,ACu平面48C,(2EZUM8,E4MC,又。EE4团0EA8,

00/C,她8nAe=4,AB.4X平面A8C,0DC0平面ABC.

E

(2)取A8中点M,连结CM,FM,在M8E中，F,M分别为£8,AB

B

中点，FM⑦EA,且E4=2FM,又。03。且。=2DC,于是DC0FM,且。C=FM,团四边形DCMF

为平行四边形，则D用CM,CMU平面A8C,DFO平面/BC,团D用平面48c.

22.如图，在底面是矩形的四棱锥尸-A8C。中，Q4_L底面488,E,尸分别是PC,PD

的中点.

(1)若PA=A6=1,6C=2,求四校锥--A6CO的体积；

（2）求证："_L平面PAD.

答案：（1G；（2）证明详见解析

【解析】⑴解:因在底面是矩形的四棱锥尸-A8CD中，HJL底面ABC。，PA=AB=1,BC=2,