安徽省合肥市第四十五中学2025~2026学年上册九年级数学12月月考试题【附解析】

/安徽省合肥市第四十五中学2025−2026学年上学期九年级数学12月月考试卷一、单选题1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．2．正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（

）A．4 B．6 C．8 D．3．若某圆弧所在圆的直径为2，弧所对的圆心角为，则这条弧长为（

）A． B． C． D．4．如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段延长线上，则的度数是（

）A． B． C． D．5．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上，点，的读数分别为，，则的度数是（

）A． B． C． D．6．有下列说法：（）三个点确定一个圆；（）平分弦的直径垂直于弦；（）相等的圆心角所对的弦相等；（）等弧所对的圆周角相等；（）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（）三角形的内心在三角形的内部．其中正确的有（

）A．个 B．个 C．个 D．个7．如图，在中，弦过弦的中点，，，则长为（

）A． B． C． D．8．如图，为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交于点C，D．F为⊙O上的点，连若，则的周长和的度数分别为（

）A． B． C． D．9．如图，在半圆中，直径，是半圆上两点，是直径上一点，若，，则的最小值为（

）．A． B． C． D．10．如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题11．如图，点为的内心，，则的度数为．12．若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的母线长为cm．13．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为，的半径为2，P为轴上一动点，切于点B，则最小值是．14．如图，点是等边三角形外接圆上的点，在以下判断中，正确选项有．①当弦最长时，是等腰三角形；

②当是等腰三角形时，；③当时，；

④当时，是直角三角形．三、解答题15．在如图所示的方格纸中建立平面直角坐标系，小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上．（1）绕点顺时针旋转，使得点落在轴正半轴上，旋转后的三角形为，画出旋转后的；（2）在（1）的条件下，线段所扫过的面积是______．16．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径．

17．已知，以为边向外作等边经过旋转后到达的位置，且点A，C，E恰好在一条直线上，．（1）的度数．（2）求点D到的距离．18．如图，四边形是内接四边形，，，，，求的长．19．如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D．（1）求证：直线是的切线；（2）若，求的直径．20．如图，是的外接圆，是直径上一点，的平分线交于点，交于另一点，．（1）求证：；（2）设，垂足为，若，求的长．21．如图（1），是的直径，点D、F是上的点，连接并延长交于A点，且，．（1）求证：（2）求：（3）如图（2），若点E是弧的中点，连接．求：．

答案1．【正确答案】D【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此项不符合题意；D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此项符合题意．故选D．2．【正确答案】C【分析】本题考查正多边形与圆，根据中心角的度数等于除以边数，进行求解即可．【详解】∵正多边形的中心角为，∴这个多边形的边数是，∴正多边形的边数是8．故选C．3．【正确答案】A【分析】本题考查了弧长计算公式，解题的关键是熟记弧长公式：（n是弧所对的圆心角度数），代入计算即可．【详解】解：．故选A．4．【正确答案】C【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟知图形旋转前后对应线段相等是解题的关键．由旋转的性质可得，根据等边对等角和三角形内角和定理即可求出答案．【详解】解；由旋转的性质可得，∵点D在线段的延长线上，∴，故选C．5．【正确答案】B【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，从而可求得度数．【详解】解：由题意可知，所对的圆心角度数为：那么故选B．6．【正确答案】A【分析】本题考查了圆的性质，三角形的外心和内心，根据圆的性质、三角形的外心和内心的性质逐一判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】解：（）不在同一条直线上的三个点确定一个圆，该选项说法错误；（）平分不是直径的弦的直径垂直于弦，该选项说法错误；（）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，该选项说法错误；（）等弧所对的圆周角相等，该选项说法正确；（）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，该选项说法错误；（）三角形的内心是角平分线的交点，总是在三角形的内部，该选项说法正确；综上，正确的说法有个，故选．7．【正确答案】C【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，连接，证明，再利用相似三角形的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：如图，连接，设，∵点是的中点，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，解得，∴，故选．8．【正确答案】D【分析】本题考查了切线长定理、圆周角定理、圆的切线性质等知识点，连接，可得，，；据此即可求解．【详解】解：连接，如图所示：由切线的性质以及切线长定理得：，，，∵，∴∴；的周长故选D9．【正确答案】B【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，轴对称最短路线问题等，将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线交于点，连接交于点，连接，延长交于点，连接，可得，即得，即得到最小值为的长度，再利用已知条件和圆周角定理求得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：如图所示，将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线交于点，连接交于点，连接，延长交于点，连接，∵为直径，，∴是的垂直平分线，∴，∴，∴最小值为的长度，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵为直径，∴，，∴，∴，∴的最小值为，故选．10．【正确答案】D【分析】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．利用AB与⊙O相切，△BAP是直角三角形，把直角三角形的直角边表示出来，从而用x表示出三角形的面积，根据函数解析式确定函数的图象：【详解】∵AB与⊙O相切，∴∠BAP=90°，∵OP=x，AP=2－x，∠BPA=60°，∴AB=，∴△APB的面积，（0≤x≤2）．∴△PAB的面积y关于x的函数图象是经过（2，0）的抛物线在0≤x≤2的部分．故选D．11．【正确答案】/125度【分析】利用内心的性质得出，，进而利用三角形内角和定理得出，进而求出答案．【详解】解：∵O是的内心，∴，，∵，∴，∴，∴．故答案为．12．【正确答案】4【分析】根据圆锥侧面展开图可知圆锥底面圆的周长即为侧面展开图的弧长，然后由题意可进行求解．【详解】解：设母线长为R，由题意得：，∴，解得：，∴这个圆锥的母线长为4cm，故答案为4．13．【正确答案】2【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是将的最小值问题转化成的最小值问题，再根据垂线段最短的性质进行分析，最后利用勾股定理求得答案．【详解】如图，连接，，根据切线的性质定理，得，要使最小，只需最小当轴于P时，最短此时P点的坐标是，，在中，，，则最小值是．14．【正确答案】①②④【分析】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理以及垂径定理等，根据直径是圆中最长的弦，可知当弦最长时，为的直径，由圆周角定理得出，再根据等边三角形的性质及圆周角定理得出，即可判断①；当是等腰三角形时，分三种情况：，，，确定点的位置后，根据等边三角形的性质即可判断②；当时，由垂径定理得出是的垂直平分线，点或者在的左侧，或者在的右侧，结合点在不同位置时的角度，即可判断③；当时，点或者在点的左侧，或者在点的右侧，求出点在不同位置时，中有无直角，即可判断④，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】解：①如图，当弦最长时，为的直径，∵是的直径，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∴，即是等腰三角形，故本选项正确，符合题意；②当是等腰三角形时，分三种情况：如果，那么点在的垂直平分线上，则点或者在图中的位置，或者与点重合，如图，所以，故②正确；如果，那么点与点重合，所以，故②正确；如果，那么点与点重合，所以，故②正确；故本选项正确，符合题意；③当时，平分，则是的垂直平分线，点或者在图中的位置，或者与点重合，如果点在图中的位置，；如果点在点的位置，；故本选项错误，不符合题意；④当时，点或者在的位置，或者在的位置，如图，如果点在的位置，，∴是直角三角形；如果点在的位置，∵，∴，∴，∴是直角三角形；故本选项正确，符合题意；综上，正确选项有①②④.15．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】（1）绕点顺时针旋转，使得点在轴正半轴上，可得旋转角，根据旋转的性质即可画出；（2）根据旋转可知，线段所扫过的图形为圆心角为，半径为的扇形，根据扇形面积公式，可得答案．【详解】（1）如图，即为所求（2）由旋转可得∵∴线段所扫过的面积为故答案为16．【正确答案】该门洞的半径为．【分析】本题考查了垂径定理的应用，运用圆的性质，垂径定理构造直角三角形，用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，连接，设圆心为点O，洞高为，入口宽为，门洞的半径为，根据题意，得，，

根据勾股定理，得，解得，答：该门洞的半径为．17．【正确答案】（1）；（2）点D到的距离为．【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．（1）由旋转可得，，，证明是等边三角形，即可求解；（2）过点作，交于点，由旋转的性质和等边三角形，得到，，由勾股定理得到，即可求解．【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴，由旋转可得：，，∴，∴为等边三角形，∴，∴；（2）解：过点作，交于点，如图：由旋转可得：，∴，∵为等边三角形，∴，，又∵，∴，，在中，，∴点D到的距离为．18．【正确答案】【分析】延长，二线交于点E，根据圆的内接四边形的性质，利用特殊角的三角函数解答即可．【详解】解：延长，二线交于点E，∵四边形是内接四边形，，，∴，，∵，，∴，，∴．19．【正确答案】（1）见详解（2）的直径长为20【分析】本题考查了切线的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质等，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．（1）利用角平分线的定义、等边对等角等可得出，利用平行线的性质判定可得出，利用平行线的性质可得出，然后利用切线的判定即可得证；（2）作于点I，由垂径定理得，再证明四边形是矩形，得，则，由勾股定理得，求得，即可求的直径．【详解】（1）证明：如图，连接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的半径；∴直线是的切线；（2）解：如图，作于点I，∴，∵，∴四边形是矩形，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的直径长为20．20．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】（）利用等腰三角形的性质、圆周角定理及对顶角的性质可得，由角平分线的定义得，进而根据可得，即得到，即可求证；（）由（）可得，再根据等腰三角形的性质可得，即得，，得到，，再根据勾股定理解答即可求解；本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵是直径，∴，∴，∴，即；（