黑龙江省哈尔滨市松北区2025~2026学年八年级上册期末考试数学试题【附解析】

/黑龙江省哈尔滨市松北区2025−2026学年八年级上学期期末考试数学试卷一、单选题1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（

）A．4，6，10 B．2，5，8 C．3，5，9 D．4，5，62．以下四个运动图案中，属于轴对称图形的是（

）A． B．C． D．3．下列运算正确的是（

）A． B． C． D．4．等腰三角形的顶角是，则此等腰三角形的底角度数为（

）A． B． C．或 D．5．如图所示，，则的度数为（

）A． B． C． D．6．如图，在与中，、相交于点O，下列四组条件中，不能证明的是（

）A．， B．，C．， D．，7．如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点E，连接，则的度数为（

）A． B． C． D．8．某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度，设慢车的速度是，所列方程正确的是（）A． B． C． D．9．如图，是一张顶角为的三角形纸片，，，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（

）A．2 B．4 C．6 D．310．下列说法正确的是（

）A．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合，简称三线合一．B．在三角形中，角所对的边等于最长边的一半．C．有一个角是的等腰三角形是等边三角形．D．两个全等三角形一定关于某条直线成轴对称图形．二、填空题11．将用科学记数法表示为．12．若要分式有意义，则x需满足的条件是．13．在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点是．14．因式分解：15．已知，，则的值为．16．若是一个关于x的完全平方式，则k的值为．17．已知在中，，是边上的高，若，则．18．如图，已知，点，，，，在射线上，点、、，，在射线上，、、、…均为等边三角形，若，则的边长是．19．如图，在中，，，，点D为中点，，P为上一动点，连接，则的最小值为．20．如图，在中，，以为边，作，满足为上一点，连接，连接，①；②；③；④若，则，其中正确的有．三、解答题21．先化简，再求代数式的值，其中．22．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度直尺按下列要求作图．（1）在方格纸中，画出关于x轴对称的（2）点M在x轴上，连接，请以为腰作等腰，且要求点D在第二象限内．23．已知：，，．（1）求的值．（2）写出m，n，p之间的数量关系，并说明理由．24．已知：中，，平分，连接、，延长交于点，.（1）如图1，求证：；（2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有底角为的等腰三角形.25．某学校在手工制作课程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织1个大号中国结比编织1个小号中国结需多用绳6米；若用800米的绳编织大中国结的数量与用680米的绳编织小中国结的数量相同．（1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米；（2）学校决定编织以上两种中国结共15个用以庆祝十一国庆节，这两种中国结所用绳长不超过558米，那么该中学最多需要编织多少个大号中国结？26．如图1，已知为等腰三角形，，作射线，交的延长线于点D，点E为延长线上的一点，若．初步探索：（1）求证：；拓展延伸：（2）如图2，过点C作，垂足为F，过点D作，垂足为H，求证：；灵活运用：（3）如图3在（2）的条件下，连接，，点P在线段上，，过点P作，交于点Q，交于点M，若，，求的长．27．如图1，等腰在平面直角坐标系中，，，若的面积是36．（1）求点A的坐标；（2）点P为射线上的一点，连接，若点P的坐标为，的面积为S，用含有t的式子表示S．（3）在（2）的条件下，如图2，当时，点M为线段上的一点，连接交y轴于点D，连接，连接交于点E，连接，若，求点M的坐标．

答案1．【正确答案】D【分析】此题考查了三角形三边关系，熟记“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边的差小于第三边”是解题的关键．【详解】根据三角形三边关系：可用较小的两边之和大于第三边，求解即可．A．，不能摆成三角形，故该选项不符合题意；B．，不能摆成三角形，故该选项不符合题意；C．，不能摆成三角形，故该选项不符合题意；D．，能摆成三角形，故该选项符合题意；故选D．2．【正确答案】C【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据沿着某条直线折叠，两边的图形能够重合的图形是轴对称图形，进行逐项判断即可.【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；B、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；C、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意；D、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；故C.3．【正确答案】D【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方运算的法则求解即可．【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；B、，选项错误，不符合题意；C、，选项错误，不符合题意；D、，选项正确，符合题意．故选D．4．【正确答案】B【分析】本题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：当的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数；故选B．5．【正确答案】B【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，判定三角形全等是解题的关键；由题意可得，则有，再由三角形外角的性质即可求解．【详解】解：∵，∴，即；∵，∴，∴；∴；故选B．6．【正确答案】B【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理即可得到结论．【详解】解：A、在和中，，∴，该选项不符合题意；B、∵，∴，∴根据，可得已有条件属于，不满足全等判定定理，无法证明，该选项符合题意；C、∵，∴，在和中，，∴，该选项不符合题意；D、在和中，，∴，该选项不符合题意；故选B．7．【正确答案】A【分析】本题考查尺规作图画线段垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，垂直平分线的性质；由三角形内角和定理可得，由题意得：是的垂直平分线，可得，，根据即可求解.【详解】解：∵在中，，，∴,由题意得：是的垂直平分线，∴，∴，∴.故选A.8．【正确答案】B【分析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为1小时列方程即可．【详解】解：设慢车的速度是，则快车的速度为，依题意得，故选B．9．【正确答案】D【分析】本题主要考查图形折叠的性质和含有角的直角三角形的特征，可求得，，，，据此即可求得答案．【详解】解：∵，，∴．根据图形折叠的性质可知，，∴．∴．∴．故选D10．【正确答案】C【分析】本题考查等腰三角形和等边三角形的性质，以及全等三角形的对称性；选项A错误，因为三线合一仅针对等腰三角形的顶角和底边；选项B错误，因为角所对边等于最长边一半仅适用于直角三角形；选项C正确，因为有一个角是的等腰三角形所有角均为60°；选项D错误，因为全等三角形不一定轴对称.【详解】解：A、三线合一仅针对等腰三角形的顶角和底边，即等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的平分线互相重合，简称三线合一，故A不符合题意；B、角所对边等于最长边一半仅适用于直角三角形，即直角三角形中角所对边等于斜边的一半，故B不符合题意；C、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故C符合题意；D、全等三角形不一定轴对称，故D不符合题意.故选C.11．【正确答案】【分析】本题考查科学记数法；根据科学记数法的定义，将小数点向右移动5位得到，因此指数为.【详解】解.12．【正确答案】【分析】本题考查分式有意义的条件；分式有意义的条件是分母不为零.【详解】解：∵分式有意义，∴分母，解得.13．【正确答案】（-3，-2）【分析】根据两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得.【详解】根据两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变，点P（3，-2）关于y轴的对称点的坐标是（-3，-2）.14．【正确答案】【分析】本题考查了分解因式，掌握分解因式的方法是关键；先提公因式a，然后根据平方差公式进行因式分解，即可求解．【详解】解：15．【正确答案】6【分析】根据同底数幂乘法的逆运算，即可求解．【详解】解：∵，，∴．16．【正确答案】9【分析】本题考查完全平方公式；将表达式与完全平方公式对比，根据一次项系数求出常数项的值.【详解】解：∵是一个完全平方式，∴它可以写成，∴比较系数，得，解得.∴.17．【正确答案】或【分析】本题考查三角形的高，三角形内角和定理；根据是边上的高，得到，在中，利用三角形内角和定理求出，再在中，利用三角形内角和定理求出，有锐角和钝角两种情况，需分类讨论.【详解】解：∵是边上的高，∴，又∵，当为锐角时，如图所示，∴在中，，即，在中，，∴，当为钝角时，如图所示，∴在中，，∴即，在中，，∴.18．【正确答案】【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，首先根据等边三角形的性质得，进而得，再根据等腰三角形的性质得，故得的边长为，同理得的边长为，的边长为，以此规律可得，的边长，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键．【详解】∵为等边三角形，∴，∴，又，∴，∴，∴，∴的边长为，同理：的边长为，的边长为，以此规律可得，的边长为.19．【正确答案】【分析】本题考查的是最短路径问题，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质等，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．作A关于的对称点，连接、、、，则，，，，，结合题意易求，则为等边三角形，然后根据，推出当三点共线时，取最小值，即为的长度，最后根据得到等边的面积，即可解答．【详解】解：作A关于的对称点，连接、、、，则，，，，，∴三点共线，∴，∴当三点共线时，取最小值，即为的长度，∵，，∴，∴为等边三角形，∴，∵点D为中点，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴的最小值为．20．【正确答案】①③④【分析】因为，且，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，所以①是正确的；当时，可以推导出，否则不垂直于，故②是错误的；也可以通过线段的等量代换运算推导出③是正确的；设，则，因为，所以，接着用表示出，再计算出，故④是正确的．【详解】解：如图，延长至，使，设与交于点，，，垂直平分，，，，，，，在与中，，，，，故①是正确的；平分，当时，，则，当时，，则无法说明，故②是不正确的；，，，，故③是正确的，设，则，，，，，，，④是正确的；故正确的有①③④．21．【正确答案】，【分析】本题考查分式的化简求值，涉及负整数指数幂和零次幂，先利用分式的运算法则对代数式进行化简，然后代入的值即可．【详解】解：；，∴原式．22．【正确答案】（1）见详解（2）见详解【分析】本题考查网格作图；（1）根据关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数，找到的对应点顺次连接即可；（2）连接，则即为所求，由网格可得，得到，，所以是以为腰、点D在第二象限内的等腰直角三角形.【详解】（1）解：根据关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数，找到的对应点顺次连接即可，如图所示，（2）解：如图所示，连接，则即为所求，由网格可得，∴，，∵，∴，即，∴是以为腰、点D在第二象限内的等腰直角三角形.23．【正确答案】（1）（2），理由见详解【分析】本题考查幂的运算；（1）利用同底数幂的乘法即可求解；（2）由可得，利用即可得结论.【详解】（1）解：∵，，又∵∴.（2）解：数量关系为，理由如下：，，又，，，即，.24．【正确答案】（1）见详解;（2）△ABE,△ACE,△DBE【分析】（1）先根据SSS证明△ABE≌△ACE，证得∠DBE=∠ACD，再根据三角形外角的性质，得出∠DBE=∠DEB，即可证出结论．（2）计算出相关角度，根据等角对等边即可判定【详解】∵AE平分∠BAC

∴∠BAE=∠CAE∵AB=AC

∠BAE=∠CAE

AE=AE

∴△ABE≌△ACE，∴∠DBE=∠ACD

∵∠ADC=2∠ACD

∴∠ADC=2∠DBE∵∠ADC=∠DBE+∠DEB

∴∠DBE=∠DEB∴BD=ED（2）在中，∵，.∴∠ADC=,∠ACD=，由（1）知：∠DBE=∠ACD∴∠DBE=∠ACD=,∴∠DBE=∠DEB=

∴△DBE是底角为的等腰三角形.∵AE平分∠BAC

∠ADC=,∴∠BAE=∠CAEDBE=∠DEB∴△ABE和△ACE是底角为的等腰三角形.25．【正确答案】（1）编织一个小号中国结用绳34米，编织一个大号中国结用绳40米（2）最多需要编织8个大号中国结【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用；（1）设编织一个小号中国结需要用绳x米，根据“用800米的绳编制大中国结的数量与用680米的绳编织小中国结的数量相同”列出分式方程求解即可；（2）设该中学需要编织a个大号中国结，根据“两种中国结所用绳长不超过558米”列出一元一次不等式求解即可.【详解】（1）解：设编织一个小号中国结需要用绳x米，解得：经检验为原方程的解米答：编织一个小号中国结用绳34米，编织一个大号中国结用绳40米.（2）解：设该中学需要编织a个大号中国结∵a为中国结数量，∴a为非负整数，∴a的最大值为8，答：该中学最多需要编织8个大号中国结.26．【正确答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）【分析】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点．（1）由，可得，由可得，结论即可得证；（2）过点C作，先证明可得，进而得到，再证明可得，结论即