山东省济南市章丘区2025~2026学年上册九年级数学学科学情调研试题【附解析】

/山东省济南市章丘区2025−2026学年上学期九年级数学学科学情调研试题一、单选题1．如图所示几何体的左视图正确的是（）．A． B． C． D．2．已知，则的值为（

）A． B． C． D．3．今年为庆祝共青团成立100周年，教体局举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了支球队参加比赛．根据题意可列方程是（

）A． B． C． D．4．在小孔成像问题中，如图所示，若O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物AB长的（

）A．3倍 B． C． D．不知AB的长度，无法判断5．现有3张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这3张卡片背面朝上，洗匀放好，小明先从中随机抽取1张，记下描述的变化后放回，洗匀，再从中随机抽取1张，则这两次抽取的卡片正面图案描述的变化恰好都是物理变化的概率是（

）A． B． C． D．6．如图，在中，，点D，E，F分别是三边的中点，，，则四边形的面积是（

）A． B． C． D．7．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．8．一次函数与反比例函数（，为常数且均不等于）在同一坐标系内的图象可能是（

）A． B．C． D．9．如图，在等腰中，斜边的长为4，D为的中点，E为边上的动点，．交于点F，P为的中点，连接，，则的最小值是（）A．3 B． C． D．10．如图，已知顶点为的抛物线经过点，下列结论：①；②；③若点，在抛物线上，则；④关于x的一元二次方程的两根为和，其中正确的有（

）A．①② B．②④ C．①②③ D．①②④二、填空题11．“二维码”是一种用于编码和解码信息的图象，其基本原理是通过将信息转化成特定的编码方式并以图象的形式表现出来．小刚为了估计边长为的正方形二维码内部黑白部分的面积，他在正方形区域内随机掷点．经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为．12．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是．13．把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线为．14．如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上且BC：CA＝1：2，双曲线y＝（x＞0）经过点C，则k＝．

15．如图，在正方形中，，对角线，相交于点O，点E从点B出发，在边上由B向A移动，同时点F从点A出发，以相同的速度在边上由A向D移动，连接，．下列结论：①；②四边形的面积为1；③；④四边形周长的最小值为．其中正确的结论有（填序号）．三、解答题16．计算：17．解下列方程：（1）；（2）．18．如图，在菱形中，点，在上，且，连接，，求证：．19．如图：在中，平分交于点，．（1）求证：．（2）若，，求的长．20．某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（结果精确到）（1）求点G到支撑脚的垂直距离．（2）如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为，求背垫旋转的度数．（参考数据：，，，）．21．年中国科技发展进入创新爆发期，创新指数首次跻身全球前十，在航空航天、清洁能源、高端制造等多领域斩获多项世界级突破．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．该校某调查小组对活动中模具设计水平进行调查，随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：：，：，：，：．下面给出了部分信息：其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．根据以上信息解决下列问题：（1）本次抽取的学生中成绩在组的有____________人，抽取学生成绩的中位数是____________分；（2）请估计全校名学生的模具设计成绩不低于80分的人数；（3）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率．22．2025年，明水古城依托其深厚的文化底蕴，旅游经济持续向好．据统计，2023年明水古城全年接待游客量为100万人次，预计到2025年全年，接待游客量将达到144万人次．（1）求2023年到2025年这两年明水古城游客量的年平均增长率．（2）古城某特产店销售一款“平遥推光漆器”纪念品，已知该纪念品平均每天可售出20件，每件盈利40元．在2025年“十一”黄金周期间，该店决定降价促销．如果每件降价1元，平均每天可多售出2件．在每件纪念品盈利不少于25元的前提下，要使该纪念品每天盈利1200元，每件纪念品应降价多少元？23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于，两点，与轴、轴分别交于点，，已知点的坐标为，点的坐标为．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）当时，直接写出的取值范围；（3）反比例函数的图象上是否存在一点．使得，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图，是线段上方抛物线上的一个动点，过点作交于点，为轴上一动点，当线段的长度取得最大值时，求点的坐标；（3）在平面内，将抛物线沿射线方向平移，当平移后的新抛物线经过点时停止平移，此时得到新抛物线，在平移后的新抛物线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标．25．综合与探究：如图，在中，，，．（1）问题发现：如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与的位置关系是______，与的数量关系是______；（2）类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的位置关系、数量关系与（1）中结论是否一致？若与交于点，与交于点，请结合图说明理由；（3）拓展延伸：如图，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长．

答案1．【正确答案】A【分析】找到从几何体的左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．【详解】解：从几何体的左面看所得到的图形是：故选A．2．【正确答案】B【分析】利用比例的性质即可得到答案．【详解】解：∵，∴===，故选B．3．【正确答案】C【分析】设一共邀请了x支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加（x-1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程．【详解】解：设一共邀请了x支球队参加比赛，由题意得，．故选C．4．【正确答案】C【分析】根据相似三角形的对应边的比等于对应高的比，列出比例式即可求解．【详解】解：根据题意得：CD∥AB，∴△ODC△OBA，∴．故选C．5．【正确答案】A【分析】本题考查了画树状图法求概率，将正面图案是铁器生锈、陶瓷烧制、冰雪融化的卡片分别用A，B，C表示．根据题意画出树状图，进而根据概率公式，即可求解．【详解】将正面图案是铁器生锈、陶瓷烧制、冰雪融化的卡片分别用A，B，C表示．根据题意，画树状图如下．由树状图，可知共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面图案描述的变化恰好都是物理变化的结果有1种，（两次抽取的卡片正面图案描述的变化恰好都是物理变化），故选A．6．【正确答案】B【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，根据矩形的性质与判定求线段长，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．先证明四边形是矩形，再根据矩形面积公式求解即可．【详解】解：∵在中，点D，E，F分别是三边的中点，∴，，∴四边形是平行四边形，又，∴四边形是矩形，∵，，∴，，∴四边形的面积是()，故选B．7．【正确答案】D【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得抛物线开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越小，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案．【详解】解：，可知，抛物线的开口向下，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，∴离对称轴越远函数值越小，∵，，是抛物线上的三点，且，∴，故选D．8．【正确答案】D【分析】本题主要考查了反比例函数的图象及一次函数的图象，熟知反比例函数及一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．根据反比例函数及一次函数图象与系数的关系，对所给选项依次进行判断即可．【详解】解：A．由一次函数的图象可知，，；由反比例函数的图象可知，，所以选项不符合题意；B．由一次函数的图象可知，，；由反比例函数的图象可知，，所以选项不符合题意；C．由一次函数的图象可知，，；由反比例函数的图象可知，，所以选项不符合题意；D．由一次函数的图象可知，，；由反比例函数的图象可知，，所以选项符合题意；故选D．9．【正确答案】C【分析】连接，、，作线段的垂直平分线，作A关于垂直平分线的对称点，根据题意可得：点P在的垂直平分线上运动，得出的最小值为，结合图形利用垂直及平行的关系得出，且，在中，利用勾股定理求解即可得．本题主要考查了以等腰直角三角形为背景的轴对称最短路径问题．熟练掌握等腰直角三角形性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理解直角三角形，轴对称的性质，垂直及平行的判定和性质等，找出点的运动路径，作出相应辅助线，是解题关键．【详解】连接，、．是等腰直角三角形，且在中，为的中点，．同理．．点在的垂直平分线上运动．作A关于垂直平分线的对称点，连接．的最小值为．，为中点，．在中，．故选C．10．【正确答案】D【分析】根据抛物线与轴有两个交点，可判断①，根据顶点坐标求得最值，即可判断②，根据二次函数的性质，当时，随的增大而减小，，即可判断③，根据对称性得出点关于直线的对称点在抛物线上，即可判断④．【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点，∴，∴，故①符合题意；抛物线的顶点坐标为，即时，函数有最小值，，所以②符合题意；抛物线的对称轴为直线，而点，在抛物线上，点关于直线对称的点为，当时，随的增大而减小，，所以③不符合题意；抛物线经过点，而抛物线的对称轴为直线，点关于直线的对称点在抛物线上，关于的一元二次方程的两根为和，所以④符合题意．故选D．11．【正确答案】【分析】本题考查的知识点是用频率估计概率、几何概率，解题关键是理解频率与概率的关系，明确黑色部分面积与正方形面积之比等于概率．先计算正方形面积，再由黑色部分面积与正方形面积之比等于概率即可求解．【详解】解：由题意得，点落入黑色部分的概率为，边长为的正方形面积为，黑色部分的总面积．12．【正确答案】且【分析】由一元二次方程的定义，，有实数根，则，建立不等式求解．【详解】解：由题意得，且，解得且．13．【正确答案】【分析】直接根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“左加右减”的原则可知：将抛物线向左平移1个单位，所得抛物线的解析式为：，由“上加下减”的原则可知：将抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为.14．【正确答案】2【分析】根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论．【详解】解：连接OC，

∵点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，∴S△OAB＝×6＝3，∵BC：CA＝1：2，∴S△OBC＝3×＝1，∵双曲线y＝（x＞0）经过点C，∴S△OBC＝|k|＝1，∴|k|＝2，∵双曲线y＝（x＞0）在第一象限，∴k＝2，故答案为2．15．【正确答案】①②③【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．首先利用正方形的性质得到相关边和角的关系，证明三角形全等，得到，即可得到①；根据，得到，结合，计算即可得到②；连接，得到，求出，，得到，得到③；根据全等得到四边形周长为，根据垂线段最短可知，当时，四边形周长最小，得到，得到四边形周长最小值为，判断④即可．【详解】解：由题意得，∵四边形是正方形∴，，，，∴，∴，，∴，∴．∴，故①正确；∵，∴，∴四边形的面积为：，故②正确；如图，连接，∵，∴，，∴，∴，，∴，∴，故③正确；∵，∴，，∴四边形周长为，根据垂线段最短可知，当时，四边形周长最小，∵，，∴，∵，∴，四边形周长最小值为，故④不正确，综上可知：①②③正确．16．【正确答案】4【分析】根据零次幂、特殊角的正弦值、二次根式和去绝对值即可求解．【详解】解：．17．【正确答案】（1），（2），【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的因式分解法和配方法是解题的关键．（1）方程运用因式分解法求解即可；（2）方程运用配方法求解即可．【详解】（1）解：，，或，所以，；（2）解：，，，，，所以，18．【正确答案】见详解【分析】此题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，根据菱形的性质得，则，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：∵四边形是菱形，∴，∴，在与中，，∴，∴．19．【正确答案】（1）见详解（2）8【分析】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键．（1）根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明即可．（2）由相似三角形的性质得，求出，则，而，则．【详解】（1）证明：∵平分交于点D，∴，∵，∴，∴，∵，∴．（2）解：∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴的长是8．20．【正确答案】（1）（2）背垫旋转的度数为【分析】此题考查三角函数的实际应用，（1）过点G作于点H，利用正弦公式求出即可；（2）过点G作，交的延长线于点M，由题意得，得到，在中，根据余弦求出，由此得到，进而得到背垫旋转的度数【详解】（1）解：过点G作于点H，在中，，∴，∴∴点G到支撑脚的垂直距离约为．（2）过点G作，交的延长线于点M，由题意得∵，∴，在中，∴，∴，∴背垫旋转的度数为21．【正确答案】（1）；（2）估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数约人（3）【分析】本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键；（1）由直方图及中位数定义即可求得；（2）根据样本中不低于分的占比来估计总体；（3）画树状图求解即可.【详解】解：（1）由直方图可知在组人数：人；∵，∴中位数为：；（2）（人）；∴估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数约人．（3）列表如下：甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）共有种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：（甲，丙），（丙，甲），共种，∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为．22．【正确答案】（1）这两年古城游客量的年平均增长率（2）每个纪念品应降价10元【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设2023年到2025年这两年明水古城游客量的年平均增长率为，根据2023年明水古城全年接待游客量为100万人次，预计到2025年全年，接待游客量将达到144万人次，列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．（2）设每件纪念品应降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，利用盈利每件的销售利润日销售量，列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】（1）解：设这两年明水古城游客量的年平均增长率为，则，∴，解得：，（舍去），∴这两年古城游客量的年平均增长率；（2）设每件纪念品应降价元，则销售量为件，由题意得，，整理得：，解得，，当时，每件纪念品盈利30元，符合题意；当时，每件纪念品盈利20元，不符合题意；∴每件纪念品应降价10元．23．【正确答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数解析式为（2）或（3）或【分析】（1）由点A坐标求出反比例函数解析式，再求出点C坐标，进而求出直线解析式；（2）根据函数图象的交点坐标即可得到结论；（3）由联想等腰直角三角形，构造等腰直角三角形，进而利用三垂直全等求出点T坐标，再求出直线解析式，联立方程组求解即可．【详解】（1）解：把代入，得，∴反比例函数的解析式为，∵在反比例函数图象上，∴，∴，∵一次函数（）的图象过，，∴，解得：，∴一次函数解析式为；（2）解：∵点A的坐标为，点C的坐标为，∴当时，x的取值范围为或．（3）解：①当点在第四象限时，如图，构造等腰直角三角形，且，过作轴，再分别过作的垂线段，垂足分别为，则，∴，∵，∴，∴，，∴，由点和点坐标同上可得直线解析式为，联立，解得或（与点重合，舍去），∴；②当点在第二象限时，如图，构造等腰直角三角形且，同①理可得直线解析式为，联立得，解得或（与点重合，舍去），∴，综上，或24．【正确答案】（1）（2）当，最大，且最大值为，（3）点M的坐标为或【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）过点P作轴，交于点H，交x轴与点N，先确定直线的解析式为：，设，则，则，利用配方法得到，结合，根据抛物线性质解答即可；（3）根据题意，确定这是一个向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度的平移变换，设平移后抛物线的解析式为，，确定解析式，取的中点，连接，交抛物线于点，此时；过点作，交抛物线于点，此时．【详