陕西省西北大学附中2026届高一上数学期末质量跟踪监视试题含解析

陕西省西北大学附中2026届高一上数学期末质量跟踪监视试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下题中，正确的命题个数为（）①函数的定义域为；②已知命题，则命题的否定为:；③已知是定义在[0，1]的函数，那么“函数在[0，1]上单调递减”是“函数在[0，1]上的最小值为f(1)”的必要不充分条件；④被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建造、桥轮合一的摩天轮假设“天津之眼”旋转一周需30分钟，且是匀速转动的，则经过5分钟，转过的角的弧度A.1 B.2C.3 D.42．下列各式不正确的是（）A.sin(α+)=－sinα B.cos(α+)=－sinαC.sin(－α－2)=－sinα D.cos(α－)=sinα3．下列函数在定义域内为奇函数，且有最小值的是A. B.C. D.4．已知过点和的直线与直线平行，则的值为（）A. B.0C.2 D.105．对于函数，下列说法正确的是A.函数图象关于点对称B.函数图象关于直线对称C.将它的图象向左平移个单位，得到的图象D.将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到的图象6．圆与直线相交所得弦长为（）A.1 B.C.2 D.27．命题，一元二次方程有实根，则（）A.，一元二次方程没有实根B.，一元二次方程没有实根C.，一元二次方程有实根D.，一元二次方程有实根8．函数的定义域为（）A B.C. D.9．若偶函数在定义域内满足，且当时，；则的零点的个数为（）A.1 B.2C.9 D.1810．函数f（x）=2ax+1–1（a>0，且a≠1）恒过定点A.（–1，–1） B.（–1，1）C.（0，2a–1） D.（0，1）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知样本9，10，11，，的平均数是10，标准差是，则______，______.12．已知函数，又有定义在R上函数满足：（1），，均恒成立；（2）当时，，则_____，函数在区间中的所有零点之和为_______.13．函数的反函数为___________14．已知函数是定义在上的奇函数，若时，，则时，__________15．已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有的解的和为___________.16．已知，则的值是________，的值是________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，正方形ABCD所在平面与半圆孤所在平面垂直，M是上异于C，D的点（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）若正方形ABCD边长为1，求四棱锥M﹣ABCD体积的最大值18．已知函数是二次函数，，（1）求的解析式；（2）解不等式19．因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共为（）万元，每年的销售收入万元.设使用该设备前年的总盈利额为万元.（1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由.20．设函数.（1）若在区间上的最大值为，求的取值范围；（2）若在区间上有零点，求的最小值.21．设函数（）在处取最大值（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，分别是角的对边．已知，，，求的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】对于①，求出函数的定义域即可判断；对于②，根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可判断；对于③，根据充分条件和必要条件的定义，举出反例即可判断；对于④，计算出经过5分钟，转过的角的弧度即可判断.【详解】解：对于①，由，得，解得且，所以函数的定义域为，故①正确；对于②，命题，的否定为:，故②错误；对于③，若函数在[0，1]上单调递减，则函数在[0，1]上的最小值为f(1)，若函数在[0，1]上的最小值为f(1)，无法得出函数在[0，1]上单调递减，例如，函数在[0，1]上不单调，且函数在[0，1]上的最小值为f(1)，所以“函数在[0，1]上单调递减”是“函数在[0，1]上的最小值为f(1)”的充分不必要条件，故③错误；对于④，根据题意经过5分钟，转过的角的弧度为，故④正确，所以正确的个数为2个.故选：B.2、B【解析】将视为锐角，根据“奇变偶不变，符号看象限”得出答案.【详解】将视为锐角，∵在第三象限，正弦为负值，且是的2倍为偶数，不改变三角函数的名称，∴，A正确；∵在第四象限，余弦为正值，且是的3倍为奇数数，要改变三角函数的名称，∴，B错误；∵，在第四象限，正弦为负值，且0是的0倍为偶数，不改变三角函数的名称，∴，C正确；∵在第四象限，余弦为正值，且是的1倍为奇数，要改变三角函数的名称，∴，D正确.故选：B.3、D【解析】选项A中，函数为奇函数，但无最小值，故满足题意选项B中，函数为偶函数，不合题意选项C中，函数为奇函数，但无最小值，故不合题意选项D中，函数，为奇函数，且有最小值，符合题意选D4、A【解析】因为过点和的直线与直线平行，所以两直线的斜率相等.【详解】解：∵直线的斜率等于，∴过点和的直线的斜率也是，，解得，故选：A.【点睛】本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用.5、B【解析】，所以点不是对称中心，对称中心需要满足整体角等于,,A错．，所以直线是对称轴，对称轴需要满足整体角等于，，B对．将函数向左平移个单位，得到的图像，C错．将它的图像上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到的图像，D错，选B.（1）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为（2）三角函数图像平移：路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝Asin(ωx＋φ)的图象路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sinωx的图象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位长度，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝Asin(ωx＋φ)的图象6、D【解析】利用垂径定理可求弦长.【详解】圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，故弦长为：，故选：D.7、B【解析】根据全称命题的否定为特称命题可得出.【详解】因为全称命题的否定为特称命题，所以，一元二次方程没有实根.故选：B.8、D【解析】由函数解析式可得关于自变量的不等式组，其解集为函数的定义域.【详解】由题设可得：，故，故选：D.9、D【解析】由题，的零点的个数即的交点个数，再根据的对称性和周期性画出图象，数形结合分析即可【详解】由可知偶函数周期为2，故先画出时，的函数图象，再分别利用偶函数关于轴对称、周期为2画出的函数图象，则的零点个数即为的零点个数，即的交点个数，易得在上有个交点，故在定义域内有18个交点.故选：D10、B【解析】令x+1=0，求得x和y的值，从而求得函数f（x）=2ax+1–1（a>0，且a≠1）恒过定点的坐标【详解】令x+1=0，求得x=-1，且y=1，故函数f（x）=2ax+1–1（a＞0且a≠1）恒过定点（-1，1），故选B.【点睛】】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①.20②.96【解析】先由平均数的公式列出x+y=20，然后根据方差的公式列方程，求出x和y的值即可求出xy的值.【详解】根据平均数及方差公式，可得:化简得：，，或则，故答案为：20；96【点睛】本题主要考查了平均数和方等概念，以及解方程组，属于容易题.12、①.1②.42【解析】求出的周期和对称轴，再结合图象即可.【详解】由条件可知函数的图象关于对称轴对称，由可知，，则周期，即，函数在区间中的所有零点之和即为函数与函数图象的交点的横坐标之和，当时，为单调递增函数，，，且区间关于对称，又∵由已知得也是的对称轴，∴只需用研究直线左侧部分即可，由图象可知左侧有7个交点，则右侧也有7个交点，将这14个交点的横坐标从小到大排列，第个数记为，由对称性可知，则，同理，…，，∴.故答案为：，.13、【解析】先求出函数的值域有，再得出，从而求得反函数.【详解】由，可得由，则，所以故答案为：.14、【解析】函数是定义在上的奇函数，当时，当时，则，，故答案为.15、【解析】根据给定条件，分析函数，函数的性质，再在同一坐标系内作出两个函数图象，结合图象计算作答.【详解】当时，，则函数在上单调递减，函数值从减到0，而是R上的偶函数，则函数在上单调递增，函数值从0增到，因，有，则函数的周期是2，且有，即图象关于直线对称，令，则函数在上递增，在上递减，值域为，且图象关于直线对称，在同一坐标系内作出函数和的图象，如图，观察图象得，函数和在上的图象有8个交点，且两两关于直线对称，所以方程在区间上所有解的和为.故答案为：【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.16、①.②.【解析】将化为可得值，通过两角和的正切公式可得的值.【详解】因为，所以；，故答案为：，.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)先证明BC⊥平面CMD,推出DM⊥BC,然后证明DM⊥平面BMC,由线面垂直推出面面垂直;(2)当M位于半圆弧CD的中点处时，四棱锥M﹣ABCD的高最大，体积也最大,相应数值代入棱锥的体积公式即可得解.【详解】（1）证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD，∵BC⊥CD，BC在平面ABCD内，∴BC⊥平面CMD，故DM⊥BC，又DM⊥CM，BC∩CM＝C，∴DM⊥平面BMC，又DM在平面AMD内，∴平面AMD⊥平面BMC；（2）依题意，当M位于半圆弧CD的中点处时，四棱锥M﹣ABCD的高最大，体积也最大，因为正方形边长为1，所以半圆的半径为，此时四棱锥M﹣ABCD的体积为，故四棱锥M﹣ABCD体积的最大值为【点睛】本题考查面面垂直的证明,需转化为证明线面垂直,考查棱锥的体积计算,属于中档题.18、（1）（2）【解析】(1)根据得对称轴为，再结合顶点可求解;(2)由（1）得，然后直接解不等式即可.【小问1详解】由，知此二次函数图象的对称轴为，又因为，所以是的顶点，所以设因，即所以得所以【小问2详解】因为所以化为，即或不等式的解集为19、（1），3年；（2）第二种方案更合适，理由见解析.【解析】（1）利用年的销售收入减去成本，求得的表达式，由，解一元二次不等式求得从第年开始盈利.（2）方案一：利用配方法求得总盈利额的最大值，进而求得总利润；方案二：利用基本不等式求得时年平均利润额达到最大值，进而求得总利润.比较两个方案获利情况，作出合理的处理方案.【详解】（1）由题意得：由得即，解得由，设备企业从第3年开始盈利（2）方案一总盈利额，当时，故方案一共总利润，此时方案二：每年平均利润，当且仅当时等号成立故方案二总利润，此时比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案只需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值，属于中档题.20、（1）；（2）【解析】⑴根据函数图象可得在区间上的最大值必是和其中较大者，求解即可得到的取值范围；⑵设方程的两根是，，由根与系数之间的关系转化为，对其化简原式大于或者等于，构造新函数，利用函数的最值来求解解析：（1）因为图象是开口向上的抛物线，所以在区间上的最大值必是和中较大者，而，所以只要，即，得.（2）设方程的两根是，，且，则，所以，