2023年全国乙卷数学理科试题含答案

第25页/共25页2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）理科数学一、选择题1.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得，则.故选：B.2.设集合，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.【详解】由题意可得，则，选项A正确；，则，选项B错误；，则或，选项C错误；或，则或，选项D错误；故选：A.3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A.24 B.26 C.28 D.30【答案】D【解析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.【详解】如图所示，在长方体中，，，点为所在棱上靠近点的三等分点，为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体去掉长方体之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：.故选：D.4.已知是偶函数，则（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为为偶函数，则，又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得.故选：D5.设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.【详解】因为区域表示以圆心，外圆半径，内圆半径的圆环，则直线的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角，结合对称性可得所求概率.故选：C.6.已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.【详解】因为在区间单调递增，所以，且，则，，当时，取得最小值，则，，则，，不妨取，则，则，故选：D.7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A.30种 B.60种 C.120种 D.240种【答案】C【解析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.【详解】首先确定相同得读物，共有种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，根据分步乘法公式则共有种，故选：C.8.已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.【详解】在中，，而，取中点，连接，有，如图，，，由的面积为，得，解得，于是，所以圆锥的体积.故选：B9.已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取的中点，连接，因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有，又是等边三角形，则，从而为二面角的平面角，即，显然平面，于是平面，又平面，因此平面平面，显然平面平面，直线平面，则直线在平面内的射影为直线，从而为直线与平面所成的角，令，则，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得，即，显然是锐角，，所以直线与平面所成的角的正切为.故选：C10.已知等差数列的公差为，集合，若，则（）A.－1 B. C.0 D.【答案】B【解析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】依题意，等差数列中，，显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，则在中，或，于是有，即有，解得，所以，.故选：B11.设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设，则的中点，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项A：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：D.12.已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.【详解】如图所示，，则由题意可知:，由勾股定理可得当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，则：，则当时，有最大值.当点位于直线同侧时，设，则：，，则当时，有最大值.综上可得，的最大值为.故选：A.【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.二、填空题13.已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______.【答案】【解析】由题意首先求得抛物线标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可.【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，准线方程为，点到的准线的距离为.故答案为：.14.若x，y满足约束条件，则的最大值为______.【答案】8【解析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.【详解】作出可行域如下图所示：，移项得，联立有，解得，设，显然平移直线使其经过点，此时截距最小，则最大，代入得，故答案为：8.15.已知为等比数列，，，则______.【答案】【解析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得.【详解】设的公比为，则，显然，则，即，则，因为，则，则，则，则，故答案为：.16.设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______.【答案】【解析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，则，即在区间上恒成立，故，而，故，故即，故，结合题意可得实数的取值范围是.故答案为：.三、解答题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下：试验序号12345678910伸缩率545533551522575544541568596548伸缩率536527543530560533522550576536记，记的样本平均数为，样本方差为．（1）求，；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）【答案】（1），；（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【解析】（1）直接利用平均数公式即可计算出，再得到所有的值，最后计算出方差即可；（2）根据公式计算出的值，和比较大小即可.【小问1详解】，，，的值分别为:，故【小问2详解】由（1）知:，，故有,所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18.在中，已知，，.（1）求；（2）若D为BC上一点，且，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.【小问1详解】由余弦定理可得：，则，，.【小问2详解】由三角形面积公式可得，则.19.如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面BEF；（3）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.（2）法一：由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，设，所以由求出点坐标，再求出平面与平面BEF的法向量，由即可证明；（3）法一：由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【小问1详解】连接，设，则，，，则，解得，则为的中点，由分别为的中点，于是，即，则四边形为平行四边形，，又平面平面，所以平面.【小问2详解】法一：由（1）可知，则，得，因此，则，有，又，平面，则有平面，又平面，所以平面平面.法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，，在中，，在中，，设，所以由可得：，可得：，所以，则，所以，，设平面的法向量为，则，得，令，则，所以，设平面的法向量为，则，得，令，则，所以，，所以平面平面BEF；【小问3详解】法一：过点作交于点，设，由，得，且，又由（2）知，，则为二面角的平面角，因为分别为的中点，因此为的重心，即有，又，即有，，解得，同理得，于是，即有，则，从而，，在中，，于是，，所以二面角的正弦值为.法二：平面的法向量为，平面的法向量为，所以，因为，所以，故二面角的正弦值为.20.已知椭圆的离心率是，点在上．（1）求的方程；（2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．【答案】（1）（2）证明见详解【解析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；（2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可.【小问1详解】由题意可得，解得，所以椭圆方程为.【小问2详解】由题意可知：直线的斜率存在，设，联立方程，消去y得：，则，解得，可得，因为，则直线，令，解得，即,同理可得，则，所以线段的中点是定点.【点睛】求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．21.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.（3）若在存在极值，求a取值范围.【答案】（1）；（2）存在满足题意，理由见解析.（3）.【解析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可；(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围.【小问1详解】当时，，则，据此可得，函数在处的切线方程为，即.【小问2详解】令，函数的定义域满足，即函数的定义域为，定义域关于直线对称，由题意可得，由对称性可知，取可得，即，则，解得，经检验满足题意，故.即存在满足题意.【小问3详解】由函数的解析式可得，由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;令，则，令，在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，当时，，在区间上单调递减，此时，在区间上无零点，不合题意;当，时，由于，所以在区间上单调递增，所以，在区间上单调递增，，所以在区间上无零点，不符合题意；当时，由可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故的最小值为，令，则，函数在定义域内单调递增，，据此可得恒成立，则，由一次函数与对数函数的性质可得，当时，，且注意到，根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.当时，，单调减，当时，，单调递增，所以.令，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以，所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数得取值范围是.【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.四、选做题【选修4-4】（10分）22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线：（为参数，）.（1）写出的直角坐标方程；（2）若直线既与没有公共点，也与没有公共点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意的取值范围；（2）根据曲线的方程，结合图形通过平移直线分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.【小问1详解】因为，即，可得，整理得，表示以为圆心，半径为1的圆，又因为，且，则，则，故.【小问2详解】因为（为参数，），整理得，表示圆心为，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线过，则，解得；若直线，即与相切，则，解得，若直线与均没有公共点，则或，即实数的取值范围.【点睛】【选修4-5】（10分）23.已知.（1）求不等式的解集；（2）在直角坐标系中，求不等式组所确定的平面区域的面积.【答案】（1）；（2）8.【解析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答.（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.【小问1详解】依题意，，不等式化为：或或，解，得无解；解，得，解，得，因此，所以原不等式解集为：【小问2详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影，由，解得，由,解得，又，所以的面积.

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学一、选择题1.（）A.1 B.2 C. D.5【答案】C【解析】由题意首先化简，然后计算其模即可.【详解】由题意可得，则.故选：C.2.设全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得的值，然后计算即可.【详解】由题意可得，则.故选：A.3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A.24 B.26 C.28 D.30【答案】D【解析由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.【详解】如图所示，在长方体中，，，点为所在棱上靠近点的三等分点，为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体去掉长方体之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：.故选：D.4.在中，内角的对边分别是，若，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值.【详解】由题意结合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，据此可得，则.故选：C.5.已知是偶函数，则（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为为偶函数，则，又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得故选：D.6.正方形的边长是2，是的中点，则（）A. B.3 C. D.5【答案】B【解析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.【详解】方法一：以为基底向量，可知，则，所以；方法二：如图，以坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，所以；方法三：由题意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故选：B.7.设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（）A B. C. D.【答案】C【解析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.【详解】因为区域表示以圆心，外圆半径，内圆半径的圆环，则直线的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角，结合对称性可得所求概率.故选：C.8.函数存在3个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.【详解】，则，若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，令，解得或，且当时，，当，，故的极大值为，极小值为，若要存在3个零点，则，即，解得，故选：B.9.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答.【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：乙甲123456123456共有36个不同结果，它们等可能，其中甲乙抽到相同结果有，共6个，因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率.故选：A10.已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.【详解】因为在区间单调递增，所以，且，则，，当时，取得最小值，则，，则，，不妨取，则，则，故选：D.11.已知实数满足，则的最大值是（）A. B.4 C. D.7【答案】C【解析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.【详解】法一：令，则，代入原式化简得，因为存在实数，则，即，化简得，解得，故的最大值是，法二：，整理得，令，，其中，则，，所以，则，即时，取得最大值，法三：由可得，设，则圆心到直线的距离，解得故选：C.12.设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设，则的中点，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项A：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：D.二、填空题13.已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______.【答案】【解析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可.【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，准线方程为，点到的准线的距离为.故答案为：.14.若，则________．【答案】【解析】根据同角三角关系求，进而可得结果.【详解】因为，则，又因为，则，且，解得或（舍去），所以故答案为：.15.若x，y满足约束条件，则的最大值为______.【答案】8【解析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.【详解】作出可行域如下图所示：，移项得，联立有，解得，设，显然平移直线使其经过点，此时截距最小，则最大，代入得，故答案为：8.16.已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________．【答案】2【解析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.【详解】如图，将三棱锥转化为正三棱柱，设的外接圆圆心为，半径为，则，可得，设三棱锥的外接球球心为，连接，则，因为，即，解得.故答案为：2.【点睛】多面体与球切、接问题的求解方法（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；（2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解；（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．三、解答题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下：试验序号12345678910伸缩率545533551522575544541568596548伸缩率536527543530560533522550576536记，记的样本平均数为，样本方差为．（1）求，；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）【答案】（1），；（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【解析】（1）直接利用平均数公式即可计算出，再得到所有的值，最后计算出方差即可；（2）根据公式计算出的值，和比较大小即可.【小问1详解】，，，的值分别为:，故【小问2详解】由（1）知:，，故有,所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18.记为等差数列的前项和，已知．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.【小问1详解】设等差数列的公差为，由题意可得，即，解得，所以，【小问2详解】因为，令，解得，且，当时，则，可得；当时，则，可得；综上所述：.19.如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．（1）求证：//平面；（2）若，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.（2）作出并证明为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积.【小问1详解】连接，设，则，，，则，解得，则为的中点，由分别为的中点，于是，即，则四边形为平行四边形，，又平面平面，所以平面.【小问2详解】过作垂直的延长线交于点，因为是中点，所以，在中，，所以，因为，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即三棱锥的高为，因为，所以，所以，又，所以.20.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程．（2）若函数在单调递增，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；（2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围.【小问1详解】当时，，则，据此可得，所以函数在处的切线方程为，即.【小问2详解】由函数的解析式可得，满足题意时在区间上恒成立.令，则，令，原问题等价于在区间上恒成立，则，当时，由于，故，在区间上单调递减，此时，不合题意;令，则，当，时，由于，所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增，所以，在区间上单调递增，，满足题意.当时，由可得，当时，在区间上单调递减，即单调递减，注意到，故当时，，单调递减，由于，故当时，，不合题意.综上可知：实数得取值范围是.【点睛】（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立．②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集．21.已知椭圆的离心率是，点在上．（1）求的方程；（2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．【答案】（1）（2）证明见详解【解析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；（2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可.【小问1详解】由题意可得，解得，所以椭圆方程为.【小问2详解】由题意可知：直线的斜率存在，设，联立方程，消去y得：，则，解得，可得，因为，则直线，令，解得，即,同理可得，则，所以线段的中点是定点.【点睛】求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．【选修4-4】（10分）22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线：（为参数，）.（1）写出的直角坐标方程；（2）若直线既与没有公共点，也与没有公共点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意的取值范围；（2）根据曲线的方程，结合图形通过平移直线分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.【小问1详解】因为，即，可得，整理得，表示以为圆心，半径为1的圆，又因为，且，则，则，故.【小问2详解】因为（为参数，），整理得，表示圆心为，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线过，则，解得；若直线，即与相切，则，解得，若直线与均没有公共点，则或，即实数的取值范围.【选修4-5】（10分）23.已知.（1）求不等式的解集；（2）在直角坐标系中，求不等式组所确定的平面区域的面积.【答案】（1）；（2）8.【解析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答.（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.【小问1详解】依题意，，不等式化为：或或，解，得无解；解，得，解，得，因此，所以原不等式的解集为：【小问2详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影，由，解得，由,解得，又，所以的面积.2023年天津市普通高等学校招生全国统一考试数学一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果；【详解】由，而，所以.故选：A2.已知，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立；由，则，即，显然成立，必要性成立；所以是的必要不充分条件.故选：B3.设，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【详解】由在R上递增，则，由在上递增，则.所以.故选：D4.已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；当时、，即A、C中上函数值为正，排除；故选：D5.已知数列的前n项和为，若，则（）A.16 B.32 C.54 D.162【答案】C【解析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得的值.【详解】当时，，所以，即，当时，，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，则.故选：C.6.已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：A选项中，B选项中，C选项中，D选项中，排除选项CD，对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，故选：B.7.鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”.鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据以上信息，如下判断正确的为（）A.花瓣长度和花萼长度不存在相关关系B.花瓣长度和花萼长度负相关C.花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是【答案】C【解析】根据散点图的特点及经验回归方程可判断ABC选项，根据相关系数的定义可以判断D选项.【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，把代入可得，C选项正确；由于是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是，D选项错误故选：C8.在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.先证平面，则可得到，再证.由三角形相似得到，，再由即可求出体积比.【详解】如图，分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.因为平面，平面，所以平面平面.又因为平面平面，，平面，所以平面，且.在中，因为，所以，所以，在中，因为，所以，所以.故选：B9.已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.【详解】如图，因为，不妨设渐近线方程为，即，所以，所以.设,则，所以，所以.因为,所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，解得，所以双曲线的方程为故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.已知是虚数单位，化简的结果为_________．【答案】##【解析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，然后计算其运算结果即可.【详解】由题意可得.故答案为：.11.在的展开式中，项的系数为_________．【答案】【解析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可.【详解】展开式的通项公式，令可得，，则项的系数为.故答案为：60.12.已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则_________．【答案】【解析】根据圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．【详解】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．当时，同理可得．故答案为：．13.把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为_________．【答案】①.②.##【解析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；根据古典概型概率公式可求出第二个空．【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为，所以甲盒中黑球个数为，白球个数为；乙盒中黑球个数为，白球个数为；丙盒中黑球个数为，白球个数为；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以，；记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件，黑球总共有个，白球共有个，所以，．故答案为：；．14.在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________．【答案】①.②.【解析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.【详解】空1：因为为的中点，则，可得，两式相加，可得到，即，则；空2：因为，则，可得，得到，即，即.于是.记，则，在中，根据余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，当且仅当取得等号，则时，有最大值故答案为：；.15.设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为_________．【答案】【解析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围．【详解】（1）当时，，即，若时，，此时成立；若时，或，若方程有一根为，则，即且；若方程有一根为，则，解得：且；若时，，此时成立．（2）当时，，即，若时，，显然不成立；若时，或，若方程有一根为，则，即；若方程有一根为，则，解得：；若时，，显然不成立；综上，当时，零点为，；当时，零点为，；当时，只有一个零点；当时，零点为，；当时，只有一个零点；当时，零点为，；当时，零点为．所以，当函数有两个零点时，且．故答案为：．【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在中，角所对的边分别是．已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出．【小问1详解】由正弦定理可得，，即，解得：；【小问2详解】由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．【小问3详解】由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都为锐角，因此，，．17.如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，（1）求证：//平面；（2）求平面与平面所成夹角的余弦值；（3）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的