工程问题“再建模”：分数除法的综合应用与思维进阶-六年级数学上册典型例题深度教学设计（苏教版）

工程问题“再建模”：分数除法的综合应用与思维进阶——六年级数学上册典型例题深度教学设计（苏教版）一、教学内容分析  本课内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域第三学段“数量关系”主题。从知识图谱看，它处于分数除法单元知识链的末端与高点，是分数除法意义、计算、以及“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”等一系列应用问题的集大成者。其认知要求已从单一技能应用跃升至复杂情境下的综合建模与问题解决。课标强调通过“问题情境—建立模型—求解验证”的过程，让学生体验数学建模的基本思想。本节课正是这一思想的绝佳载体：将“工程问题”抽象为“工作总量÷工作效率和=合作时间”的核心模型，并运用分数进行表达与运算。这一过程蕴含了深刻的数学化思想——将现实世界中的合作效率问题转化为纯粹的数学关系。其素养指向明确：在模型建构与应用中发展学生的应用意识与创新意识，在分析数量关系时锤炼推理能力，在对比不同解题策略中培养批判性思维。教学重难点预判在于引导学生跨越具体数量与抽象单位“1”之间的认知鸿沟，实现从算术思维到代数思维的初步过渡。  基于“以学定教”原则，学情研判如下：学生已牢固掌握分数除法的计算法则，并能解决简单的分数除法应用题，这是本节课的重要基础。然而，他们的思维往往固着于具体数量的运算，对于将整个工程视为单位“1”这一高度抽象的核心假设理解困难，这是最大的认知障碍。此外，在涉及多人、多项、效率变化等复杂条件时，学生容易迷失于纷繁的信息中，难以抓住“工作效率和”这一关键不变量。因此，教学过程必须设计精准的“脚手架”。我将通过“前测”问题（如：一项工程，甲队单独做需10天，乙队单独做需15天，两队合作几天完成？）动态诊断学生的起点，观察他们是倾向于尝试具体赋值还是能直接走向抽象建模。针对不同层次的学生，教学调适策略包括：为理解困难者提供直观线段图、列举具体工作量（如假设总量为具体数值）作为认知拐杖；为学有余力者设置效率变化、中途停工等变式问题，引导其探究模型边界与普适性，实现差异化的思维攀升。二、教学目标  知识目标：学生能理解并阐述工程问题的基本数量关系，特别是将工作总量抽象为单位“1”的核心思想；能准确从文字情境中识别工作效率（或单独完成时间），并运用“工作总量÷工作效率和=合作时间”的模型，列式解决基础的工程合作问题。  能力目标：学生经历从具体情境中剥离数量关系、建立数学模型的全过程，能够独立或合作完成“阅读审题—抽象建模—列式求解—回顾检验”的问题解决流程；在面对变式情境时，能灵活调整模型（如处理多人合作、先后加入、休息等条件），展现出良好的数学建模与推理能力。  情感态度与价值观目标：在解决实际工程问题的过程中，学生能感受到数学与生活、社会建设的紧密联系，体会数学的工具价值；在小组合作探究中，愿意倾听他人见解，共享思维成果，共同面对挑战。  科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的模型建构思维与抽象思维。通过将多样的工程情境归一化为同一数学模型，引导学生感悟数学的简洁与力量；通过对比算术解法与设单位“1”的代数思路，初步体会代数思维的优越性。  评价与元认知目标：引导学生建立解决工程类问题的自我监控清单（如：是否明确了总量“1”？是否找准了各方效率？单位是否统一？），学会在解题后主动回顾反思，检验结果的合理性，并尝试评价不同解法的优劣。三、教学重点与难点  教学重点：工程问题核心数量关系的理解与数学模型“工作总量÷工作效率和=合作时间”的建立。确立依据在于，此模型是贯通本课所有例题与变式的“大概念”，是学生将分数除法知识应用于复杂现实情境的枢纽。从能力立意看，掌握模型建构的方法远比记忆某类题的解法公式更重要，它直接关系到学生应用意识和创新意识的发展。  教学难点：将具体生活情境抽象为数学模型，特别是理解并接受“把工作总量看作单位‘1’”这一关键假设，以及在此假设下，如何根据单独完成的时间来表述工作效率。预设依据源于学情分析：学生习惯于处理具体数量，此处的抽象跨越了其认知舒适区。常见错误表现为，学生试图寻找具体的工作总量数值，或误将工作时间直接相加。突破方向在于，通过类比、图示和从具体到抽象的渐进式引导，让学生亲身体验假设单位“1”带来的解题便利。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（内含问题情境动画、动态线段图演示、分层练习题）；实物投影仪。1.2学习材料：分层设计的学习任务单（含前测、探究记录、巩固练习）；小组合作讨论卡。2.学生准备2.1知识预备：复习分数除法的意义及计算；完成一项简单的预习题（涉及求一个数的几分之一）。2.2物品准备：直尺、铅笔。3.环境布置3.1座位安排：四人小组围坐，便于合作探究。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设，制造冲突：“同学们，学校假期要对多功能厅进行翻新。如果这项工程交给工程队A单独完成，需要10天；交给工程队B单独完成，需要15天。现在学校想尽快完成，决定让两队合作。你们能帮校长算算，大约需要几天吗？”（学生初步猜测，可能出现各种答案，如直接取平均数12.5天等，制造认知冲突）。“大家的直觉都不一样，那到底该怎么科学地计算呢？这里面隐藏着我们今天要揭开的数学奥秘。”  1.1关联旧知，明确路径：“这和我们之前学的分数除法问题很像，但又有些不同。不同在哪呢？——关键在于，我们不知道这项工程具体的‘工作量’是多少，比如要刷多少平米的墙，要铺多少块地砖。面对这个‘未知的量’，我们该怎么办？”（停顿，引发思考）“这节课，我们将化身‘数学建模师’，学会用一个巧妙的‘假设’来破解这类难题。我们的探索路线是：从具体例子入手，发现规律→建立通用模型→用模型征服各种复杂的工程问题。”第二、新授环节任务一：激活旧知，从具体走向抽象1.教师活动：首先，我会将导入问题具体化：“如果我们假设翻新工程的总工作量是150平方米（10和15的公倍数），大家现在能算了吗？请在学习单上试一试。”巡视并请不同方法的学生板演：①150÷(150÷10+150÷15)=6（天）。然后引导：“看，有了具体总量，问题就转化成了我们熟悉的工作效率问题。现在，请大家仔细观察这个算式150÷(150÷10+150÷15)，有没有办法将它写得‘更数学’、更简洁一些？”我将一步步引导学生将150÷10写成150×$\frac{1}{10}$，进而将算式整理为150÷[150×($\frac{1}{10}$+$\frac{1}{15}$)]。接着提出关键一问：“现在，请大家盯紧这个整理后的算式，如果我们大胆地把这个‘150’用一个简单的符号来代替，比如就用‘1’来表示这项工程的总量，猜猜看，算式会变成什么样？”（板书引导：1÷($\frac{1}{10}$+$\frac{1}{15}$)）。“这个‘1’可不是数字1，它代表了我们假设的——？”2.学生活动：学生根据具体总量150进行计算，验证合作时间。观察、演算教师引导下的算式变形过程。思考并回答教师的提问，理解“1”代表工作总量单位“1”。部分学生会感到惊奇：“咦，这样算出来结果也是6！”3.即时评价标准：1.能否正确计算出具体工作量下的合作时间。2.能否跟随教师引导，理解算式的代数变形过程。3.能否说出算式中“1”所代表的特殊含义（抽象的工作总量）。4.形成知识、思维、方法清单：1.5.★核心假设：当工作总量未知时，可以将其抽象看作单位“1”。这是解决工程问题的第一把钥匙。“大家记住，这个‘1’代表一项工程、一份任务的全部，它是一个整体。”2.6.★效率表示：已知单独完成时间a天，则其工作效率为$\frac{1}{a}$。这是从“具体工作量÷时间”到“单位”1“÷时间”的自然推广。3.7.▲方法感悟：从具体数值计算到抽象符号表示，是数学建模的常用起点。“从‘150’到‘1’，看似数字变小了，但我们的思维却完成了一次了不起的飞跃！”任务二：探究核心，建立基本模型1.教师活动：基于任务一的成果，我将清晰板书基本模型：合作时间=1÷(工作效率和)或1÷($\frac{1}{甲时}$+$\frac{1}{乙时}$)。“现在，我们用这个模型重新审视校长的难题。谁能上来列式？”请学生列式并计算：1÷($\frac{1}{10}$+$\frac{1}{15}$)=1÷($\frac{1}{6}$)=6（天）。追问：“$\frac{1}{10}$+$\frac{1}{15}$=$\frac{1}{6}$，这个$\frac{1}{6}$表示什么？”（两队合作，一天能完成总工程的六分之一）。“看，模型让我们绕开了寻找具体总量的麻烦，直击问题核心。这个模型是不是放之四海而皆准呢？我们来挑战一个变式。”2.学生活动：一名学生板演列式与计算，其余学生同步练习。回答教师追问，理解“效率和”的意义。准备迎接变式挑战。3.即时评价标准：1.能否准确套用模型列出算式。2.计算过程是否准确，特别是通分与倒数计算。3.能否解释结果（$\frac{1}{6}$）的现实意义。4.形成知识、思维、方法清单：1.5.★基本模型：合作时间=工作总量“1”÷工作效率和。这是工程问题的核心公式。“大家把这句话记在心里，它就像一条高速公路，能直达答案。”2.6.★关键步骤：正确将单独完成时间转化为工作效率，并求和。“找准每个人的‘工作效率’，是列式的关键一步，千万别把时间直接加起来哦！”3.7.易错警示：效率和是$\frac{1}{甲时}$+$\frac{1}{乙时}$，而不是$\frac{1}{甲时+乙时}$。可以通过举例反问来强化：“如果甲做10天，乙也做10天，合作效率难道是$\frac{1}{20}$吗？那岂不是合作比单独做还慢？”任务三：分层应用，固化模型理解1.教师活动：出示分层探究题。基础题：教材例题改编。综合题：“如果甲队先单独做2天后，剩下的由乙队单独完成，需要几天？”（引导：先求剩余工作量“1$\frac{2}{10}$”）。挑战题：“如果这项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成，丙队单独做20天完成。三队合作2天后，甲队因故离开，剩下的由乙、丙两队合作完成，还需要几天？”我将巡视各组，对基础组重点指导模型列式；对综合组引导其分析“工作量”的变化；与挑战组探讨如何将复杂过程分解为几个基本模型阶段。2.学生活动：学生根据自身情况，选择至少完成基础题和综合题。小组内讨论，分享思路。挑战题由学有余力的学生尝试，并可能上台分享其“分段建模”的思路。3.即时评价标准：1.（基础）能否独立、正确列出基本模型算式。2.（综合）能否识别出工作总量的变化，并正确计算剩余工作量。3.（挑战）能否清晰地将复杂过程分解，并列出连贯的算式。4.形成知识、思维、方法清单：1.5.▲模型变式1中途单独做：总工作量“1”已完成部分=剩余工作量。“面对‘先做后做’的问题，核心是盯紧‘剩下的活还有多少’。”2.6.▲模型变式2多人合作与中途变化：将整个过程按参与对象的变化分成阶段，每一阶段视为一个“小工程问题”。“复杂问题不用怕，像切蛋糕一样，把它分成几块，一块一块解决。”3.7.核心能力：从复杂情境中剥离出不变的数量关系（效率），并识别变化的条件（工作量、参与方）。“数学眼光就是能透过变化看到不变的本质。”任务四：对比沟通，链接已有认知1.教师活动：“我们回头看看，用假设总量为‘1’的方法，和之前假设为具体数量（如150）的方法，本质上一样吗？哪种你更喜欢？为什么？”组织小组简短讨论。随后，我将展示一道“已知合作时间与一方效率，求另一方单独完成时间”的逆向题目，如：“两队合作6天完成，甲队单独做需10天，乙队单独需几天？”引导学生利用模型逆向思维：$\frac{1}{6}$$\frac{1}{10}$=$\frac{1}{15}$。2.学生活动：小组讨论两种方法的异同与优劣，普遍能发现抽象为“1”更简洁通用。尝试解决逆向问题，理解模型的可逆性。3.即时评价标准：1.能否说出两种方法的联系（都是“总量÷效率和”）。2.能否体会到抽象方法的优越性。3.能否逆向应用模型解决问题。4.形成知识、思维、方法清单：1.5.★模型本质：无论假设总量为具体数还是“1”，核心关系“总量÷效率和=时间”不变。抽象为“1”是普适性最强的策略。“这个‘1’真是个奇妙的‘万能钥匙’。”2.6.★模型的可逆性：已知合作时间与工作效率和，可以求单独完成时间。这体现了除法与乘法的互逆关系在模型中的应用。3.7.思想升华：数学追求简洁与通用。好的模型能让我们以不变应万变。任务五：总结梳理，形成问题解决策略1.教师活动：引导学生共同总结解决工程问题的一般步骤。我会用板书形成清晰的流程图：1.审题，设总工作量为“1”。2.确定（或求）各方工作效率。3.根据问题，分析是求合作时间、剩余时间，还是逆向求效率。4.依据基本模型或变式列式解答。5.检验答案是否合理。“请同桌之间，用这些步骤互相解释一下刚才做过的任何一道题。”2.学生活动：跟随教师总结，复述关键步骤。同桌互讲，巩固流程。3.即时评价标准：1.能否流畅说出解决问题的关键步骤。2.在互讲中，表述是否清晰、有条理。4.形成知识、思维、方法清单：1.5.★问题解决流程（元认知策略）：审（设“1”）→定（效率）→析（关系）→列（模型）→验（合理）。这是学生自我监控的清单。“以后遇到工程问题，就在心里默念这五步，你就能成为解题高手。”第三、当堂巩固训练  本环节设计分层、变式练习，时间约10分钟。  基础层（全员必做）：1.修一条路，甲队单独修要12天，乙队单独修要18天。两队合作，几天修完？2.一批零件，师傅单独加工要8小时，徒弟单独加工要12小时。师徒合作，几小时可以完成？  综合层（大多数学生完成）：3.录入一份稿件，甲打字员单独打需4小时，乙打字员单独打需5小时。两人合作1小时后，剩下的由甲单独完成，还需几小时？4.一个水池，单开甲管10小时注满，单开乙管15小时注满。两管齐开，几小时能注满水池的一半？  挑战层（学有余力选做）：5.一项工程，甲、乙合作6天完成，乙、丙合作10天完成，甲、丙合作12天完成。问甲、乙、丙三人合作，几天完成？  反馈机制：学生独立完成后，首先在小组内交换批改基础题，并讨论纠错。教师利用实物投影展示综合层题目的不同解法（特别是第4题“一半”的处理），请学生讲解思路。挑战题请尝试完成的学生分享，教师点评其“整体思想”（将三人两两效率和看作整体求解）的精妙之处。第四、课堂小结  引导学生进行结构化总结与反思。“同学们，这节课我们共同经历了什么？”（学生可能回答：学了工程问题，学会了设“1”……）“是的，我们不仅仅是学了一类题，更是掌握了一种数学建模的思想。谁能用简单的图示或关键词，勾勒出我们今天构建的‘知识大厦’？”请学生尝试绘制简易思维导图（核心：单位“1”→工作效率→基本模型→变式应用）。  “在解决问题的过程中，你认为最关键的思维突破点在哪里？”引导学生反思“接受抽象的单位‘1’”这一关键步骤。“回顾我们的五步解题法，你觉得哪一步自己掌握得最好？哪一步还需要加强练习？”  作业布置：  必做（基础+综合）：完成练习册对应章节的基础应用题及一道综合变式题。  选做（探究/创造）：1.（探究）请你创作一道包含“合作、中途离开、剩余工程”等元素的工程问题，并写出详细解答过程。2.（生活链接）调查一下你家附近某项市政工程的预计工期，尝试用今天所学的思想，分析其工期安排的合理性（可做简化假设）。六、作业设计基础性作业（巩固核心）1.直接应用模型：完成教材课后练习中关于基础工程问题的3道题目。2.概念辨析：判断对错并说明理由：“一项工程，甲队5天完成，乙队6天完成，两队合作效率是$\frac{1}{11}$。”（）3.简单变式：一份稿件，小王单独打需10小时，小李单独打需15小时。两人合作2小时，可以完成这份稿件的几分之几？拓展性作业（情境应用）4.情境化问题：学校食堂准备一批面粉，如果全部用来做馒头，可供全校师生吃6天；如果全部用来做面条，可供吃9天。如果食堂决定一天内同时提供馒头和面条，且消耗面粉的速度与单独制作时相同，这批面粉可供这样同时供应几天？5.微型项目：请你为班级“图书角整理”活动设计一个工作方案。假设小明单独整理需要40分钟，小华单独整理需要60分钟。请设计两种不同的合作方案（如：同时开始合作整理；或一人先开始，另一人中途加入），并分别计算所需的整理时间。简要说明你更推荐哪种方案及理由。探究性/创造性作业（开放创新）6.开放探究：查阅资料或自行思考，生活中有哪些问题可以抽象为“工程问题”模型？请至少举出一个不同于课堂所讲的例子，并简要说明如何建模。（提示：如水池注水放水、商场扶梯运送乘客等）7.跨学科联系（与科学/劳技）：假设完成一个手工制作需要多道工序，每道工序由不同的人负责且有固定耗时。请设计一个包含三道工序的简单手工任务，并计算如果三人流水线合作（即一人完成即刻传给下一人），与三人各自独立完成整个作品相比，总耗时有何变化？这体现了什么原理？七、本节知识清单及拓展★1.工程问题的核心假设：当工作总量未知时，可将其抽象为整体，用单位“1”来表示。这是化未知为已知、进行数学建模的基石。★2.工作效率的分数表示：如果已知一个人（或队伍）单独完成全部工程需要a天，那么他（它）每天的工作效率就是$\frac{1}{a}$。这表示每天完成总工程量的a分之一。★3.基本合作模型：多人合作完成全部工程所需时间（合作时间）=工作总量“1”÷工作效率和。即：合作时间=1÷($\frac{1}{甲时}$+$\frac{1}{乙时}$+…)。这是解决所有工程问题的核心公式。★4.“效率和”的意义：几个人工作效率相加的和，表示他们合作一天所能完成的工作量占总量的几分之几。例如，$\frac{1}{6}$表示合作一天能完成总工程的六分之一。▲5.模型变式：涉及部分工作量：当问题不是求完成全部时间，而是求完成一部分或剩余部分时，只需将公式中的总量“1”替换为对应的部分工作量分数即可。如完成一半：$\frac{1}{2}$÷效率和。▲6.模型变式：先后参与/中途离开：将工程按参与人员的变化分段处理，每一段视为一个独立的子工程问题。核心是清晰计算每一段开始时“剩余的工作量”。★7.关键易错点辨析：工作效率是$\frac{1}{时间}$，效率和是这些分数相加，绝非$\frac{1}{时间之和}$。可通过赋予具体总量举例验证。▲8.逆向运用模型：已知合作完成的总时间，可以反求其中一方的单独完成时间。因为：甲的效率=效率和乙的效率，即$\frac{1}{甲时}$=$\frac{1}{合时}$$\frac{1}{乙时}$。★9.解决问题的通用流程（元认知）：一设（设总量为“1”）、二找（找各方效率）、三析（分析是求时间、部分量还是效率）、四列（依据模型列式）、五验（检查结果合理性）。▲10.数学思想提炼：本课核心体现了“模型思想”与“抽象思想”。将实际工程问题抽象为数学模型，并用该模型统一解决千变万化的问题，展现了数学的威力。▲11.生活实例拓展：工程问题模型不仅限于修路、挖渠，也适用于“注排水问题”、“行程中的相遇问题（将总路程视为‘1’）”、“消费与生产”等具有“完成总量、效率、时间”三量关系的情境。★12.单位“1”的再认识：这里的“1”是一个相对单位，代表一个完整的整体。它在分数乘除法应用中具有统领性地位，本课是其在复杂情境中的一次深刻应用。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析：从当堂巩固训练的完成情况看，约85%的学生能独立正确解决基础层问题，表明知识目标与基本能力目标达成度良好。在解决综合层问题时，约65%的学生能自主分析并正确列式，显示出对模型变式有一定理解。挑战题仅有少数学生解出，但他们的分享激发了全班的思维火花，创新意识目标得以渗透。情感目标在小组合作与解决“帮助校长”等生活化问题中自然达成，学生参与度高。  （二）核心环节有效性评估：1.导入环节：真实情境与认知冲突迅速抓住了学生注意力，“如何算”的核心问题贯穿全课，驱动性强。2.任务一（具体到抽象）：这个“脚手架”搭建得最为关键。从具体数值计算到抽象为“1”的引导过程，有效化解了多数学生的认知障碍。巡视时听到有学生嘀咕“原来可以这样假设！”，说明突破点选择准确。3.分层任务设计：差异化的探究任务满足了不同层次学生的需求。基础组学生在完成基本模型应用后获得了信心，挑战组学生的复杂分段思路得到了展示和锤炼，体现了学生本位。  （三）学生表现深度剖析：在课堂中，我观察到学生主要分化为三种思维