有理数乘除运算：从规则建构到灵活应用-北师大版七年级数学上册单元起始课教学设计

有理数乘除运算：从规则建构到灵活应用——北师大版七年级数学上册单元起始课教学设计一、教学内容分析从《义务教育数学课程标准（2022年版）》的视角审视，本节课“有理数的乘除运算”在“数与代数”领域占据承上启下的关键节点。知识技能图谱上，它上承小学非负数的四则运算与有理数的加减运算，下启有理数的乘方、混合运算乃至后续的代数式运算。核心概念在于理解并掌握有理数乘法与除法的运算法则，关键技能则是能够准确、熟练地进行运算，并能将其应用于简单实际问题。其认知要求已从算术层面的“熟练计算”提升至代数层面的“理解规则背后的数学原理”，即从“如何算”走向“为何这样算”。过程方法路径上，课标强调通过具体情境中“模型”的归纳，发展学生的抽象能力、推理能力和模型思想。这要求我们将课本上的运算规则，转化为学生可参与的探究活动，如从“温度连续变化”、“数轴上点的运动”等现实或几何模型中，引导学生自主发现符号法则。素养价值渗透方面，有理数运算规则的统一性与简洁性，是数学理性精神与形式美的绝佳体现。教学中应引导学生感悟从特殊到一般、从具体到抽象的数学思考过程，培养严谨求实的科学态度，并在解决诸如负债、方向、效率等实际问题中，体会数学的工具价值，实现数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的协同发展。基于“以学定教”原则，进行如下学情研判：学生的已有基础与障碍主要表现为：已掌握有理数的概念、数轴、绝对值及加减运算，对运算的“确定性”有初步感知；其生活经验中蕴藏着丰富的正负意义原型（如盈亏、进退），这是理解乘法中符号意义的宝贵起点。然而，从“加减”到“乘除”是运算意义上的一次飞跃，学生易产生两大认知障碍：一是难以跨越“乘法是加法的简便运算”这一非负数领域的固有认知，对“负数乘负数得正”缺乏直观理解；二是除法作为乘法的逆运算，在有理数范围内符号规则的迁移与应用易混淆。过程评估设计将贯穿课堂：通过导入环节的提问探查前概念，在新授环节的探究活动中观察学生的归纳与表达，在巩固训练中通过巡视捕捉典型思路与错误。教学调适策略上，针对抽象思维较强的学生，鼓励其尝试用字母抽象概括一般法则；对于依赖直观的学生，则提供更多的现实情境和数轴模型进行支撑；对于易混淆符号规则的学生，将通过设计对比性练习与编制记忆口诀（如“同号得正，异号得负，并把绝对值相乘/除”）进行针对性强化。二、教学目标知识目标：学生能够准确阐述有理数乘法与除法的运算法则，理解其规定的合理性；能辨析乘法与除法在运算过程中的联系与区别，并能在包含小数、分数的情境中熟练、准确地进行计算，初步建构起有理数运算的统一规则认知框架。能力目标：学生能够从实际情境或几何模型中抽象出乘法运算的数学本质，经历“观察特例—归纳猜想—验证解释”的完整探究过程，发展归纳推理能力；能够将除法问题转化为乘法问题，灵活运用运算律简化计算过程，提升数学运算的策略性与灵活性。情感态度与价值观目标：学生在小组合作探究中，乐于分享自己的发现，并尊重、倾听他人的观点，体验数学探究的乐趣与合作的价值。通过理解运算法则背后的逻辑，感受数学规定的严谨性与合理性，初步养成言必有据的理性精神。科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的模型思想与符号意识。引导学生将现实世界中的“方向性变化”、“连续增长或减少”等现象，用有理数乘法模型进行刻画；同时，能够用抽象的数学符号（正负号）来概括和表达一类运算的普遍规律，实现从具体算术思维向初步代数思维的过渡。评价与元认知目标：学生能够运用教师提供的“运算步骤自查清单”（如：先定符号，再算绝对值；除法先化乘等）对自己的计算过程进行反思与修正；在课堂小结环节，能够尝试用思维导图等方式梳理乘、除法运算的知识要点与易错点，初步形成结构化归纳的学习习惯。三、教学重点与难点教学重点是有理数乘法与除法的运算法则（特别是符号法则）的理解与掌握。其确立依据在于：从课标视角看，这是“数与式”板块中运算体系的基石，是贯穿整个代数学习历程的“大概念”——运算的确定性、封闭性与结构性。从学业评价看，有理数运算是所有复杂计算的基础，是中考的必考内容，且常作为工具渗透于方程、函数、几何等多个领域，其掌握的熟练度与准确度直接关系到后续学习的顺畅度。教学难点是“负数乘负数得正”这一规则的理解，以及除法转化为乘法的灵活运用。预设依据源于学情：首先，“负负得正”缺乏如“连续欠债”般直观的生活模型，与学生已有认知冲突较大，抽象性强。其次，在除法运算中，学生易出现符号判定与绝对值运算步骤的分离或顺序颠倒，例如在计算多个有理数乘除混合运算时，对“确定积的符号”与“将除法统一成乘法”两个环节的处理容易混淆。突破方向在于，通过设计层层递进的数学情境（如数轴上的反向、翻倍运动），引导学生在操作与观察中“发现”规律，而非机械记忆；并通过对比练习，强化对“除以一个数等于乘以其倒数”这一转化本质的理解。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（内含动态数轴演示、情境动画）；用于情境演示的简易温度计道具（或图片）；实物投影仪。1.2学习材料：分层设计的学生探究任务单（内含引导性问题与记录表格）；当堂分层巩固练习卷；课堂小结思维导图模板（半成品）。2.学生准备2.1知识准备：复习有理数的概念、绝对值及加减法运算法则。2.2学具准备：直尺、铅笔。3.环境布置3.1座位安排：四人小组合作式座位，便于讨论与互助。3.2板书记划：左侧主板书用于呈现核心运算法则的推导过程与最终结论；右侧副板书用于记录学生探究中的关键发现或典型错误案例。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与旧知唤醒：“同学们，我们已经学会了有理数的加减法，解决了‘有多少’和‘变化量’的问题。现在，请大家思考一个生活场景：某水库的水位每天下降3厘米，连续下降4天后，水位总变化量是多少？谁能用我们学过的知识列式？”（预设学生列式：(3)+(3)+(3)+(3)）。“大家列得很好，这是加法。那我们有没有更简洁的表示方法呢？对，这就是乘法：(3)×4。那么，如果水位每天上升3厘米，4天呢？即3×4。这里似乎很顺利。但，如果情况变复杂了呢？”1.1.提出核心驱动问题：“假如不是水位连续变化4天，而是我们要‘回到过去’看看变化：如果水位每天下降3厘米，那么4天前的水位比现在高还是低？高多少？这该如何用数学式子表示？”（引导学生思考：以现在为基准，每天下降3厘米，那么4天前，水位应该是更高，变化量似乎是“正”的，但时间又是“过去”（可视为负方向），这就会引出(3)×(4)的模型）。再问：“还有，我们知道除法是乘法的逆运算。那么，已知总变化量和天数，求每天的变化，比如总变化是12厘米，用了4天，每天变化就是(12)÷4；如果总变化是12厘米，是4天前到现在的变化，那每天变化呢？可能就会遇到(12)÷(4)。大家觉得，在引入了负数之后，乘法和除法运算的规则，会不会也相应地‘升级’呢？”1.2.明晰学习路径：“今天这节课，我们就化身‘数学规则探秘家’，一起通过观察、归纳，来揭秘有理数乘法和除法的运算规则。我们的路线是：先从大家熟悉的例子出发，发现规律；然后挑战像‘负数乘负数’这样的新情况，看看数学本身是否有一种内在的和谐与统一；最后，我们会把乘法和除法联系起来，掌握一套强大而简洁的运算工具。”第二、新授环节任务一：从“连续变化”中初探乘法意义教师活动：首先，利用课件动态展示导入环节的水位变化情境，将“每天下降3厘米”记为3，“4天后”记为+4，总变化列为(3)×(+4)。引导学生回顾小学乘法意义，理解此式可视为4个(3)相加，结果为12。板书实例：(3)×4=(3)+(3)+(3)+(3)=12。接着，提出问题链：“如果每天下降3厘米（3），那么2天后（+2）呢？1天后（+1）呢？结果符号有何规律？”引导学生得出“正数乘负数，积为负，绝对值相乘”。然后，反转情境：“如果每天上升3厘米（+3），连续下降4天（4）呢？”即(+3)×(4)。引导学生理解为“4次取走3”，或利用加法验证（虽繁琐），初步感知“负数乘正数，积也为负”。“我们发现了，‘异号’相乘似乎总得到负数，并把绝对值相乘。那是不是所有情况都符合呢？”学生活动：观察情境动画，理解负数乘正数的实际意义。通过计算几个特例（如(2)×3，5×(1)），在任务单上填写结果并观察规律。进行小组讨论，尝试用语言描述“正数乘负数”和“负数乘正数”的运算规律。部分学生可能尝试用数轴进行解释。即时评价标准：1.能否准确将情境转化为数学算式。2.在小组讨论中，能否基于具体算例提出关于符号规律的猜想。3.描述规律时，语言是否清晰，是否同时关注了“符号”和“绝对值”两个方面。形成知识、思维、方法清单：★有理数乘法法则（一）：异号两数相乘，结果为负，绝对值相乘。这本质上是将小学乘法的“重复相加”模型推广到含有负数的情形。▲模型思想：用有理数乘法可以有效地统一描述具有方向性的连续变化过程。★探究路径：从实际背景出发，通过计算具体例子（特例），观察并归纳共性规律，这是发现数学规则的重要方法。任务二：挑战认知——“负负得正”的发现与解释教师活动：提出核心挑战：“最神奇的情况来了：(3)×(4)等于什么？用‘连续加’好像解释不通了，因为‘4次’不好理解。我们换个角度想想。”引导学生回到导入环节的“回到过去”问题：现在每天下降3cm（3），那么4天前（4）的水位更高。用数轴动态演示：以现在为原点，向右为正，未来时间向右，过去时间向左。每天下降3cm，可看作点向左移动3单位。问：“要表示4天前的位置，是不是相当于点从原点开始，向反方向（过去），移动了4个‘向左3单位’的动作？这会导致什么结果？”（引导学生思考方向的反转）。或引导学生观察以下算式的规律：3×4=12；3×(4)=12；(3)×4=12；(3)×(4)=？“大家看，随着因数符号的变化，积的符号似乎有规律地变化着。按照这个规律，猜一猜(3)×(4)应该是多少？”鼓励学生大胆猜想。学生活动：观看数轴动态演示，理解“时间反方向”与“变化反方向”叠加可能导致结果符号反转。观察教师给出的算式序列，寻找积的符号变化模式（正正得正，正负得负，负正得负，那么负负…？）。在小组内热烈讨论，提出“负负得正”的猜想，并尝试用自己能理解的方式（如相反数的相反数等）进行解释。即时评价标准：1.能否从数轴演示或算式中发现规律的延续性。2.提出的猜想是否清晰明确（如“我猜负负得正”）。3.解释尝试是否体现了逻辑思考，哪怕不完美。形成知识、思维、方法清单：★有理数乘法法则（二）：同号两数相乘，结果为正，绝对值相乘。结合任务一，形成完整法则：“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。”▲“负负得正”的理解：这是数学为了保证运算体系的和谐（如分配律a(b+c)=ab+ac在有理数范围内依然成立）而做出的自然、合理的规定。可从规律延续性或运算律的角度理解其必然性。★数形结合：利用数轴这一直观工具，为抽象的符号规则提供几何解释，是突破难点的关键策略。任务三：归纳法则与“0”的特性教师活动：邀请各小组派代表分享他们最终归纳出的完整乘法法则。教师板书学生语言，并引导其精炼成标准数学表述。然后提问：“任何数与0相乘，结果是什么？请举例说明，比如5×0,(3)×0,0×0。”引导学生运用法则或实际意义（0个任何数相加）得出结论。“所以，我们的乘法法则还要加上重要的一条：任何数同0相乘，都得0。”在完整法则旁，用醒目的符号标注。学生活动：小组合作，整合前两个任务的发现，尝试用最准确、简洁的语言文字或符号公式表述有理数乘法法则。派代表发言。共同探讨0在乘法中的特殊性，并举例如以验证。即时评价标准：1.归纳的法则是否完整、准确，涵盖了同号、异号和0的情况。2.表达是否条理清晰。3.对“零乘任何数为零”的理解是否到位。形成知识、思维、方法清单：★有理数乘法完整法则：（1）符号法则：同号得正，异号得负。（2）绝对值运算：将绝对值相乘。（3）零的特性：任何数与0相乘，积为0。★数学的简洁与统一：看似复杂的各种情况，最终被三条简洁的规则统一概括，展现了数学的高度概括力。▲分类讨论思想：在研究有理数乘法时，我们自然地对因数的符号（正、负、零）进行了分类，这是一种重要的数学思维方法。任务四：从“倒数”关系到除法法则的转化教师活动：提问：“我们知道，除法是乘法的逆运算。那么，请思考：因为(3)×4=12，所以(12)÷4=?以及(12)÷(3)=?”让学生计算并观察结果。引导学生发现，除法结果的符号规律似乎与乘法相同。进而提出核心转化策略：“在有理数范围内，我们有一个非常有力的工具：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。”板书：a÷b=a×(1/b)(b≠0)。“这样一来，所有的除法问题，都可以转化为我们已经掌握的乘法问题！大家试试看，用这个转化方法，计算6÷(2)和(6)÷(2)。”学生活动：根据乘除互逆关系填空，初步感受除法符号法则。重点学习并理解“转化”策略：将除法算式改写为乘法算式（即被除数乘以除数的倒数）。运用此方法计算教师给出的例题，并验证结果是否与直接根据符号规律猜想的一致。即时评价标准：1.能否正确理解“倒数”的概念在转化中的作用。2.能否熟练地将除法算式转化为乘法算式，特别是处理负数的倒数。3.计算过程是否规范。形成知识、思维、方法清单：★有理数除法法则（核心）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。★运算的转化与化归思想：这是本节课最核心的数学思想方法之一。将未知的、新的运算（有理数除法）转化为已知的、已掌握的运算（有理数乘法），从而解决问题。▲有理数除法符号法则（衍生）：由乘法法则可得：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。此法则可由转化法则直接推出。任务五：法则应用与初步简化运算教师活动：出示例题：计算(48)÷(8)；(1.25)×4/5。首先引导学生按步骤操作：先确定符号，再计算绝对值。强调书写规范。接着，提出稍复杂情况：“计算(6)÷3×(1/2)。这里有乘有除，怎么办？”引导学生讨论运算顺序，并最优策略：“在只有乘除运算的算式中，我们可以先将除法统一化为乘法，这样就能方便地确定整个式子的符号，也便于运用乘法运算律进行简算。”演示转化过程：(6)×(1/3)×(1/2)。“看，现在式子变成了几个数相乘？我们可以先确定积的符号，再计算绝对值。”学生活动：模仿例题步骤，进行规范计算。面对乘除混合算式，理解并实践“先统一成乘法”的策略。尝试计算转化后的连乘算式，体会其优越性（尤其是符号的一次性确定）。在小组内互查计算过程。即时评价标准：1.计算步骤是否清晰、规范，特别是符号的先行判定。2.能否主动运用“除法化乘法”的策略处理混合运算。3.计算结果的准确性。形成知识、思维、方法清单：★运算步骤规范化：有理数乘除运算建议步骤：①判断类型（纯乘、纯除、乘除混合）；②若是乘除混合，先统一为乘法；③确定结果的符号（数负因数的个数）；④计算绝对值的积。★策略优化意识：“除法化乘法”不仅是一个规则，更是一种简化运算流程、减少错误的高效策略。▲确定连乘积符号的方法：几个不等于0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：奇数个负因数，积为负；偶数个负因数，积为正。第三、当堂巩固训练本环节设计分层练习，以满足不同学生的学习需求。练习以任务单形式下发。A层（基础巩固）：直接运用法则计算。如：(1)(9)×10(2)1.5×(4)(3)(3/4)×(2/3)(4)(15)÷(5)(5)0÷(4.7)。（目标：全体学生必须掌握，巩固法则的直接应用。）B层（综合应用）：在稍复杂情境中运用。如：(1)计算：(10)×(0.1)÷(5)。(2)某冷冻厂冷库温度是2℃，现有一批食品需在26℃下冷藏，若每小时降温4℃，几小时后能达到所需温度？（目标：大多数学生能够完成，强调运算顺序和实际建模。）C层（思维挑战）：涉及规律探究或灵活变形。如：(1)已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，|m|=3，求(a+b)/mcd+m的值。(2)计算：(1)×2×(3)×4×…×(19)×20，判断积的符号，并说明理由。（目标：学有余力的学生选做，培养综合运用与推理能力。）反馈机制：学生独立完成A层后，小组内交换批改，教师巡视收集共性疑问。B层和C层题目，先由学生独立思考尝试，然后教师邀请不同解法的学生上台展示或口述思路，利用实物投影呈现典型解答与错误案例，进行集中讲评。重点分析错误成因，如符号遗漏、除法转化错误、运算顺序混淆等。“我们来看看这位同学的解法，他先统一成了乘法，非常清晰！这里负因数有两个，所以结果符号是正的，非常好。”第四、课堂小结引导学生进行自主结构化总结。“请大家拿出思维导图模板，用5分钟时间，回忆并梳理本节课我们探索了哪些核心规则？经历了怎样的探索过程？你认为最需要提醒自己注意的地方是什么？”学生独立或与同桌轻声交流完成。随后，教师邀请几位学生分享他们的总结框架，并利用副板书形成班级共同的知识脉络图，大致包括：1.核心法则（乘法、除法及其转化关系）；2.关键步骤（定号、转化、计算）；3.思想方法（模型、转化、分类讨论）。“看来大家已经把今天的知识织成了一张网。记住，有理数的乘除运算，核心在于‘规则’与‘转化’。”作业布置：1.必做作业（基础+综合）：教材对应小节练习题中，侧重于法则直接应用和简单混合运算的题目。2.选做作业（探究应用）：1.（生活应用）查阅资料，了解“负负得正”在物理学（如力的方向与位移）、经济学（盈亏损益）中的一个实例，并尝试用数学式子简要说明。2.（思维拓展）计算并总结：(1)^n的规律（n为正整数）。你能解释这个规律吗？六、作业设计基础性作业（全体必做）：1.计算下列各题：(1)(7)×8(2)12×(5)(3)(2.5)×(4)(4)(6/7)÷(3/14)(5)0÷(13/5)(6)(36)÷(9)×2。2.填空：(1)两数相乘，同号得____，异号得____，并把绝对值____。(2)乘积是1的两个数互为____。(3)除以一个不等于0的数，等于乘这个数的____。拓展性作业（鼓励大多数学生完成）：3.某气象站测得，某地的温度每天中午12点记录一次。若连续三天，每天同一时间都比前一天下降2℃，已知第三天中午的温度是5℃，那么第一天中午的温度是多少？请列式计算。4.计算：(8)×(1/4)÷(2)×5。请展示你的完整步骤，并思考：除了按顺序计算，有没有更简便的算法？探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：5.“运算规则设计师”：请你尝试设计一个简单的游戏或故事，帮助小学六年级的弟弟妹妹理解“为什么(2)×(3)=6”？要求有情节、有图示或算式说明。6.规律探索：计算下列各组算式，观察结果，你发现了什么规律？(1)2÷1/2=;2×2=。(2)(3)÷1/3=;(3)×3=。(3)1/4÷4=;1/4×1/4=。请用字母a（a≠0）和n（n≠0）表示你发现的规律，并写出推导过程。七、本节知识清单及拓展★1.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。这是运算的基石，理解“同号”、“异号”是定性，“绝对值相乘”是定量。★2.“负负得正”的合理性：这不仅是规定，更是数学体系自洽（如分配律(a+b)c=ac+bc普遍成立）和规律延续性的要求。可以从算式的规律排列或数轴的运动模型中获得直观感知。▲3.倒数：乘积是1的两个数互为倒数。求一个数（0除外）的倒数，就是求1除以这个数。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。注意：0没有倒数。★4.有理数除法法则（核心转化式）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。这是处理所有有理数除法的根本大法，体现了化未知为已知的转化思想。★5.有理数除法符号法则（推论）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。此法则可直接用于判断简单除法的结果符号。★6.乘除混合运算策略：在只有乘除运算的算式中，最优策略是先将所有除法运算转化为乘法运算，使整个算式变为连乘形式。这样便于统一确定结果的符号。★7.连乘积符号判定定理：几个不等于0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。该定理在统一成乘法后应用。▲8.运算步骤规范化建议：一看（类型、符号），二化（除法化乘法），三定（积的符号），四算（绝对值运算），五查。养成良好习惯是提高运算准确率的保障。★9.数形结合理解乘法：利用数轴，将乘数视为“伸缩”与“反向”的复合操作。例如，乘以正数表示沿原方向伸缩，乘以负数表示先反向再伸缩。这是直观理解符号法则的利器。▲10.与加减运算的对比：加减运算注重“合并”与“抵消”，其核心是绝对值相加减的条件（同号、异号）。乘除运算的核心是“比例”与“缩放”，符号法则是独立的、更简洁的“同号得正，异号得负”。切勿混淆。★11.“0”的特殊地位：在乘法中，0乘任何数为0，这使得0成为乘法的“吸收元”。在除法中，0不能作除数（无意义），但0可以作为被除数，结果恒为0。▲12.有理数运算的封闭性：有理数进行加、减、乘、除（除数不为0）运算，结果仍然是有理数。这保证了有理数集构成一个“域”，是代数结构的基础认知起点。八、教学反思本教学设计以“建构规则”与“应用转化”为双主线，力图在学科知识、思维方法与核心素养间建立有机联系。从假设的课堂实施角度看，教学目标达成度的关键证据将体现在：学生能否用自己的语言解释（至少是复述）运算法则；在巩固练习中，A层题目的正确率是否达到90%以上；以及在解决B层情境问题时，能否自主建立正确的运算模型。各教学环节的有效性方面，导入环节的生活情境与认知冲突应能成功激发多数学生的探究欲。新授环节的五个任务构成了一个相对完整的认知阶梯：任务一、二解决了乘法法则的“发现”问题，任务三完成“归纳”，任务四实现“迁移与转化”，任务五进行“应用与优化”。其中，任务二中“负负得正”的探究是难点也是亮点，预计动态数轴演示与算式规律观察两种路径能覆盖不同思维类型的学生，但仍有部分学生可能仅停留在“记住结论”层面，深层理解需在后续应用中反复强化。对不同层次学生课堂表现的深度剖