湖北省孝感市汉川市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

2025-2026学年度上学期期末质量监测八年级数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己所在县（市、区）、学校、姓名、考号填写在试卷上指定的位置，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效．3．本试卷满分120分，考试时间120分钟．一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分）1.下列图形中，不是轴对称图形的是（）A B. C. D.2.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.1，2，3 B.4，5，9 C.5，8，15 D.6，8，93.碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸．我国某物理研究组已研制出直径为0.00000000052米的碳纳米管，将0.00000000052用科学记数法表示是（）A. B. C. D.4.将分解因式正确的是（）A. B. C. D.5.如何确定质地均匀的三角形薄板的重心（）A.画出三角形三条角平分线的交点 B.画出三角形三条高线的交点C.画出三角形三条垂直平分线的交点 D.画出三角形三条中线的交点6.下列运算正确是（）A. B.C. D.7.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（）A8 B.7 C.6 D.58.综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使．图1~图3是其作图过程．（1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点．（2）以点为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点，作射线．（3）以点为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点，与射线交于点，连接．在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（）A. B. C. D.9.计算结果是（）A. B. C. D.10.如图，中，，将折叠，使点落在点处，为折痕．下列结论中错误的结论是（）A. B.垂直平分C.是等边三角形 D.二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将结果直接填写在答题卡相应位置上）11.等腰三角形中一边长是，另一边长是，则它的周长为_______．12.如图，，若，，则的长为___________．13.若分式有意义，则的值可以是_______．（取一个符合条件即可）14.南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将此表称为“杨辉三角”．如图所示，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记，则的值是______．15.如图，等边中，于点，，点分别在边上，且，在上有一动点，连接，．则（1）______；（2）的最小值为______．三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共9小题，满分75分．解答写在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.分解因式：（1）（2）．17.解方程：．18.某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度．他们是这样做的：①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直行处有一棵树C，继续前行到达点D处；③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时，停止行走；④测得的长为．根据测量数据求河的宽度．19.如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，直线上各点的纵坐标都为．（1）在网格中画出与关于直线对称的，并写出点的坐标；（2）点为轴上一点，若，则点的坐标为____．20.先化简，其中．21.如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）判断△OBC的形状，并说明理由．22.实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．【模拟练习】（1）如图，通过不同的方法计算图形的面积，直接写出一个数学等式；【解决问题】（2）如果，求的值；【类比探究】（3）如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积．23.【问题呈现】已知为等边三角形，点为射线上一动点（点不与点，点重合）．（1）连接，以为边向右侧作等边，连接．①如图1，当点在边上时，求证：；【类比探究】②如图2，若点在边的延长线上，随着动点的运动位置不同，求证：．【拓展应用】（2）如图3，在等边中，，点是边上一定点且，若点为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接．直接写出的最小值．24.某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．（1）甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？（2）若该商场购进甲商品数量比购进乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？2025-2026学年度上学期期末质量监测八年级数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己所在县（市、区）、学校、姓名、考号填写在试卷上指定的位置，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效．3．本试卷满分120分，考试时间120分钟．一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分）1.下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．2.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.1，2，3 B.4，5，9 C.5，8，15 D.6，8，9【答案】D【解析】【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和第三边，任意两边之差第三边．【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意；B、，不能组成三角形，不符合题意．C、，不能组成三角形，不符合题意；D、，能组成三角形，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和最大的数就可以．3.碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸．我国某物理研究组已研制出直径为0.00000000052米的碳纳米管，将0.00000000052用科学记数法表示是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．【详解】解：将0.00000000052用科学记数法表示是，故选：C．4.将分解因式正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，即，熟练掌握十字相乘法方法是解答本题的关键．利用十字相乘法分解即可．【详解】解：．故选A．5.如何确定质地均匀的三角形薄板的重心（）A.画出三角形三条角平分线的交点 B.画出三角形三条高线的交点C.画出三角形三条垂直平分线的交点 D.画出三角形三条中线的交点【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角形重心的定义；对于质地均匀的三角形薄板，其重心与几何重心一致，而三角形的几何重心是三条中线的交点．【详解】解：∵三角形的重心是三条中线的交点，且均匀薄板的重心即为几何重心，∴应画出三角形三条中线的交点．故选：D．6.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法和幂的乘方，根据相关运算法则逐一计算即可．【详解】解：A、与指数不同，不能直接相加，原计算错误，不符合题意；B、，原计算错误，不符合题意；C、，原计算错误，不符合题意；D、，原计算正确，符合题意；故选：D．7.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（）A.8 B.7 C.6 D.5【答案】C【解析】【分析】先根据角平分线的性质可得，再根据求解即可得．【详解】解：是平分线，且，，，，，即，解得，故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．8.综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使．图1~图3是其作图过程．（1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点．（2）以点为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点，作射线．（3）以点圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点，与射线交于点，连接．在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题考查了尺规作图，全等三角形的判定的知识，解题的关键是掌握以上知识．作一个角等于已知角，根据题意得到，，，进而证明出即可．【详解】解：由作图可得，，∴，∴在嘉嘉作法中，可直接判定的依据是，故选：B．9.计算的结果是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查分式除法，熟练掌握分式除法的计算方法是解题的关键．根据分式的除法计算即可．【详解】解：故选：A．10.如图，中，，将折叠，使点落在点处，为折痕．下列结论中错误的结论是（）A. B.垂直平分C.是等边三角形 D.【答案】D【解析】【分析】由折叠的性质可得，则可得到，求出，，则可证明是等边三角形，再证明，得到，则可证明垂直平分，可证明，则可证明，据此可得答案．【详解】解：∵将折叠，使点落在点处，为折痕，∴，故A结论正确，不符合题意；∴，∵在中，，∴，，∴是等边三角形，，故C结论正确，不符合题意；又∵，∴，∴，又∵，∴垂直平分，故B结论正确，不符合题意；在中，，∴，∴，故D结论错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟知折叠的性质是解题的关键．二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将结果直接填写在答题卡相应位置上）11.等腰三角形中一边长是，另一边长是，则它的周长为_______．【答案】20【解析】【分析】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形，正确分两种情况讨论是解题关键．分两种情况：①腰长为和②腰长为，利用三角形的三边关系和等腰三角形的定义求解即可得．【详解】解：由题意，分以下两种情况：①当腰长为时，此时，不满足三角形的三边关系，舍去；②当腰长为时，此时，满足三角形的三边关系，则这个等腰三角形的周长为，故答案为：20．12.如图，，若，，则的长为___________．【答案】3【解析】【分析】根据全等三角形的性质，，即可列式作答．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查了全等三角形的性质；全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等；正确掌握相关性质内容是解题的关键．13.若分式有意义，则的值可以是_______．（取一个符合条件即可）【答案】2（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关．根据分式有意义的条件是分母不为零列式求解即可．【详解】解：要使分式有意义，则分母，即，因此可以取（答案不唯一），故答案为：2（答案不唯一）．14.南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将此表称为“杨辉三角”．如图所示，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记，则的值是______．【答案】36【解析】【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察可知这列数满足，据此规律求解即可．【详解】解：，，，……，以此类推可知，，∴，，，，故答案为：36．15.如图，等边中，于点，，点分别在边上，且，在上有一动点，连接，．则（1）______；（2）的最小值为______．【答案】①.②.5【解析】【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键．（1）由等边三角形性质可得，根据线段的和差关系求出的长即可得到答案；（2）在上截取，连接，可证明是等边三角形，得到；证明，得到，则可得到当Q、E、F三点共线时，有最小值，最小值为的长，据此可得答案．【详解】解：（1）∵是等边三角形，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，故答案为：；（2）如图所示，在上截取，连接，∵是等边三角形，∴，，∴，∴是等边三角形，∴；∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴当Q、E、F三点共线时，有最小值，最小值为的长，∴的最小值为5．故答案为：5．三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共9小题，满分75分．解答写在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.分解因式：（1）（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．（1）用平方差公式分解即可，（2）先提公因式，再用完全平方公式分解．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．17.解方程：．【答案】【解析】【分析】本题考查解分式方程，通过找最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解，并检验根是否满足分母不为零．【详解】解：方程两边同乘

，得

，移项，得

，合并同类项，得

，系数化为1，得

，检验：当

时，

且

，所以

是原方程的解．18.某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度．他们是这样做的：①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直行处有一棵树C，继续前行到达点D处；③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时，停止行走；④测得的长为．根据测量数据求河的宽度．【答案】【解析】【分析】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．利用“角边角”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可得．【详解】解：由题意知，，在和中，，∴，，∵，∴，答：河宽为．19.如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，直线上各点的纵坐标都为．（1）在网格中画出与关于直线对称的，并写出点的坐标；（2）点为轴上一点，若，则点的坐标为____．【答案】（1）见解析，（2）或【解析】【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，熟知相关知识是解题的关键．（1）根据轴对称的特点找到点的位置，描出点，并顺次连接点，再写出对应点的坐标即可；（2）先求出的面积，进而得到的面积，根据三角形的面积公式求出的长即可得到答案．【小问1详解】解：如图所示，即为所求，则点的坐标为；【小问2详解】解：由题意得，，∴，∵点为轴上一点，∴，∵∴，∴点P的坐标为或．20.先化简，其中．【答案】，【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的运算法则把所给分式化简，再把代入计算即可．【详解】解：，当时，原式．21.如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）判断△OBC的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，见解析【解析】【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△DCB；（2）由全等三角形的性质可得∠ACB＝∠DBC，可证OB＝OC，可得结论．【详解】（1）∵∠A＝∠D＝90°，∴在Rt△ABC和Rt△DCB中，，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形，理由：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB＝∠DBC，∴OB＝OC，∴△OBC是等腰三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．22.实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．【模拟练习】（1）如图，通过不同的方法计算图形的面积，直接写出一个数学等式；【解决问题】（2）如果，求的值；【类比探究】（3）如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积．【答案】（1）；（2）；（3）8【解析】【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键．（1）图中最大的正方形的面积等于其边长的平方，图中最大的正方形的面积等于两个边长分别为a和b的正方形的面积加上两个长和宽分别为a和b的长方形的面积，据此用两种方法分别表示出图中最大的正方形的面积即可得到答案；（2）由（1）的结论可得，据此代值计算即可；（3）设，，则，，由（1）可得，据此求出得值即可得到答案．【详解】解：（1）图中最大的正方形的边长为，其面积为，图中最大的正方形的面积等于两个边长分别为a和b的正方形的面积加上两个长和宽分别为a和b的长方形的面积，则其面积为，∴；（2）由（1）得，∴，∵，∴；（3）设，，则，∵，∴，由（1）可得，∴，∴这个长方形的面积为8．23.问题呈现】已知为等边三角形，点为射线上一动点（点不与点，点重合）．（1）连接，以为边向右侧作等边，连接．①如图1，当点在边上时，求证：；【类比探究】②如图2，若点在边的延长线上，随着动点的运动位置不同，求证：．【拓展应用】（2）如图3，在等边中，，点是边上一定点且，若点为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接．直接写出的最小值．【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）8．【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键．（1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可；（2）证明，得出，结合，则；（3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值．【详解】（1）①证明：和是等边三角形，，，．，，即．在和中，，．②证明：和是等边三角形，，，．，，即．在和中，，．，，．（2）解：在射线上截取，连接，∵和是等边三角形，∴，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，在和中，，，，，∵，∴，是等边三角形，，∴，，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，在和中，，∴，∴，∴，由三角形三边关系可得，，即当点E与点