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12017年秋季凸优化期中考试试题1.（10分）分别证明如下两个集合为凸锥(convexcone)，写出并证明其对偶锥(dualcone)的具体形式。XT=X;X≥0}.xTAx+bTx+c≤0}.(a)证明:如果A半正定,则Ω是凸集。(b)证明:令g∈Rn非零。如果存在λ∈R使得A+λggT半正定,则集合Ω与超平面gTx+h=0的交集是3.（30分）(a)给定c∈Rn,讨论下列问题的最优解：n,分情况讨论下列问题的最优解：cTx;s.t.xTAx≤1.}.将下列问题写成写成二次锥规划：minsup(1/2)xTPx+qTx;s.t.Ax≤b.(d)令Ai∈Sm,A(x)=A0+x1A1+···+xnAn,λmax(A(x))是矩阵A(x)的最大特征值。证明问题λmax(A(x))可以写成半定规划(semidefiniteprogramming)。4.（20分）(a)证明：f(x)=1x/2)2在定义域domf=R上为凹(concave)函数。(b)证明：f(x;u;v)=−log(uv−xTx)在定义域domf={(x;u;v)|uv>xTx;u;v>0;u;v∈R;x∈Rn}上是(c)证明：f(X)=trace(X−1)在定义域domf=S上是凸函数。(d)写出函数f(x)=−log(t2−xTx)在定义域domf={(x;t)∈Rn×R|ⅡxⅡfunction)。5.（30分）(a)写出下面问题的对偶问题及其最优性条件：minx∈Rnmaxi=1;...;m(ax+bi)σ2(c)写出下面问题的对偶问题及其最优性条件：

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