2026年数学建模竞赛强化训练模拟题

2026年数学建模竞赛强化训练模拟题一、线性规划问题（3题，每题15分，共45分）题目1：城市物流配送路径优化问题背景：某城市物流公司负责为A市三个区域的客户配送货物。公司现有三个仓库，分别位于A市的不同区域，存储不同种类的商品。配送中心接到多个订单，每个订单需要从指定仓库提取商品并配送到指定客户。公司需要制定最优配送方案，以最小化总配送成本（包括运输成本和时间成本）。数据：-仓库位置及库存信息：-仓库1（W1）：位于市中心，库存量100件，商品种类1。-仓库2（W2）：位于东部，库存量150件，商品种类2。-仓库3（W3）：位于西部，库存量200件，商品种类3。-订单信息：-订单1：客户C1，需商品种类1，数量50件，距离W110公里，距离W215公里，距离W320公里。-订单2：客户C2，需商品种类2，数量80件，距离W112公里，距离W28公里，距离W318公里。-订单3：客户C3，需商品种类3，数量120件，距离W114公里，距离W216公里，距离W36公里。-运输成本（元/件·公里）：2元。-时间成本（元/小时）：10元。问题：1.建立线性规划模型，确定每个仓库向每个客户配送的商品数量，以最小化总成本。2.若仓库2因运输故障无法配送，重新制定配送方案。3.若客户C3的需求增加至200件，重新制定配送方案。答案与解析：1.模型建立：-决策变量：设xij为仓库i向客户j配送的商品数量（i=1,2,3；j=1,2,3）。-目标函数：最小化总成本（运输成本+时间成本）。-运输成本：2Σ(i,j)xijdij。-时间成本：10Σ(i,j)xij/vij（vij为客户j的订单处理时间，假设为1小时）。-总成本：2Σ(i,j)xijdij+10Σ(i,j)xij。-约束条件：-仓库库存限制：Σ(j)xij≤库存量（i=1,2,3）。-客户需求满足：Σ(i)xij=需求量（j=1,2,3）。-非负性：xij≥0。2.仓库2无法配送：-重新定义决策变量，去掉仓库2的相关变量。-新模型的目标函数和约束条件需调整，仅考虑仓库1和仓库3的配送方案。3.客户C3需求增加：-调整客户C3的需求量，重新求解模型。-可能需要调整其他订单的配送方案以满足库存限制。题目2：农产品供应链优化问题背景：某农业公司负责种植、加工和销售三种农产品（A、B、C）。公司有三种种植基地，分别位于不同地区，种植不同种类的农产品。公司需要制定种植、加工和销售计划，以最大化利润。数据：-种植基地信息：-基地1（S1）：位于东北，种植A，产量100吨，成本500元/吨。-基地2（S2）：位于华北，种植B，产量150吨，成本600元/吨。-基地3（S3）：位于华南，种植C，产量200吨，成本700元/吨。-加工厂信息：-加工厂1（P1）：位于东北，加工A，加工费100元/吨。-加工厂2（P2）：位于华北，加工B，加工费150元/吨。-加工厂3（P3）：位于华南，加工C，加工费200元/吨。-销售信息：-销售市场1（M1）：销售A，价格1000元/吨。-销售市场2（M2）：销售B，价格1200元/吨。-销售市场3（M3）：销售C，价格1400元/吨。-运输成本：-S1到P1：50元/吨。-S1到P2：100元/吨。-S2到P1：80元/吨。-S2到P2：60元/吨。-S3到P3：70元/吨。问题：1.建立线性规划模型，确定每个基地的种植量、每个加工厂的加工量以及每个市场的销售量，以最大化总利润。2.若加工厂2因设备故障无法加工B，重新制定计划。3.若销售市场3的需求增加至300吨，重新制定计划。答案与解析：1.模型建立：-决策变量：-xij：基地i种植的产品j的数量（i=1,2,3；j=A,B,C）。-yij：产品j在加工厂i的加工量（i=1,2,3；j=A,B,C）。-zj：产品j在市场k的销售量（k=1,2,3；j=A,B,C）。-目标函数：最大化总利润。-利润=销售收入-种植成本-加工费-运输成本。-总利润=Σ(j,k)zjkpjk-Σ(i,j)xijcij-Σ(i,j)yijpij-Σ(i,j)xijdij。-约束条件：-种植限制：Σ(j)xij≤基地产量（i=1,2,3）。-加工能力限制：yij≤xij（i=1,2,3；j=A,B,C）。-销售需求：Σ(k)zjk=加工量（j=A,B,C）。-非负性：xij,yij,zjk≥0。2.加工厂2无法加工B：-去掉加工厂2的相关变量，重新求解模型。-可能需要调整其他加工厂和市场的分配方案。3.销售市场3需求增加：-调整销售市场3的需求量，重新求解模型。-可能需要增加加工量和种植量以满足需求。题目3：能源调度优化问题背景：某城市有三个能源调度中心，分别位于不同区域，负责向四个区域的居民和企业供能。调度中心从三个能源站获取能源，并经过调度后分配给各个区域。调度中心需要制定最优调度方案，以最小化总调度成本。数据：-能源站信息：-能源站1（E1）：位于东部，供应量200万kWh，成本0.5元/kWh。-能源站2（E2）：位于西部，供应量250万kWh，成本0.6元/kWh。-能源站3（E3）：位于南部，供应量300万kWh，成本0.7元/kWh。-调度中心信息：-调度中心1（D1）：位于市中心，分配量150万kWh。-调度中心2（D2）：位于东部，分配量200万kWh。-调度中心3（D3）：位于西部，分配量250万kWh。-运输成本：-E1到D1：0.1元/kWh。-E1到D2：0.2元/kWh。-E2到D1：0.15元/kWh。-E2到D2：0.1元/kWh。-E3到D1：0.2元/kWh。-E3到D2：0.25元/kWh。-E3到D3：0.1元/kWh。问题：1.建立线性规划模型，确定每个能源站向每个调度中心的供应量，以最小化总调度成本。2.若能源站1因故障无法供应，重新制定调度方案。3.若调度中心3的分配量增加至300万kWh，重新制定调度方案。答案与解析：1.模型建立：-决策变量：设aij为能源站i向调度中心j供应的能源量（i=1,2,3；j=1,2,3）。-目标函数：最小化总调度成本。-总成本=Σ(i,j)aij(成本ij+运输成本ij)。-约束条件：-能源站供应限制：Σ(j)aij≤能源站供应量（i=1,2,3）。-调度中心需求满足：Σ(i)aij=调度中心分配量（j=1,2,3）。-非负性：aij≥0。2.能源站1无法供应：-去掉能源站1的相关变量，重新求解模型。-可能需要调整其他能源站和调度中心的分配方案。3.调度中心3分配量增加：-调整调度中心3的分配量，重新求解模型。-可能需要增加其他调度中心的分配量以满足需求。二、整数规划问题（2题，每题20分，共40分）题目4：图书馆资源配置问题背景：某大学图书馆需要配置一批图书，包括小说、专业书籍和教育类书籍。图书馆有三种图书类型，分别位于不同区域，每种类型的图书数量有限。图书馆需要制定资源配置方案，以满足学生和教师的需求，并最大化图书的使用率。数据：-图书类型信息：-小说：库存100本，需求80本。-专业书籍：库存150本，需求120本。-教育类书籍：库存200本，需求180本。-图书配置成本：-小说：10元/本。-专业书籍：15元/本。-教育类书籍：20元/本。-图书使用率：-小说：80%。-专业书籍：90%。-教育类书籍：85%。问题：1.建立整数规划模型，确定每种图书类型的配置数量，以最大化图书的使用率。2.若图书馆预算限制为3000元，重新制定配置方案。答案与解析：1.模型建立：-决策变量：设xi为每种图书类型的配置数量（i=小说,专业书籍,教育类书籍）。-目标函数：最大化图书的使用率。-使用率=Σ(i)(xi/需求i)使用率i。-约束条件：-库存限制：xi≤库存量（i=小说,专业书籍,教育类书籍）。-预算限制：Σ(i)xi成本i≤预算。-非负性：xi≥0，且为整数。2.预算限制为3000元：-在模型中增加预算限制，重新求解模型。-可能需要调整每种图书类型的配置数量以满足预算。题目5：医院资源分配问题背景：某医院有三个科室，分别为内科、外科和儿科。医院需要分配医生和护士到各个科室，以满足患者的需求，并最大化资源利用效率。医生和护士的数量有限，且每个科室的医生和护士数量有最低要求。数据：-资源信息：-医生：总数量50人，内科需10人，外科需15人，儿科需25人。-护士：总数量100人，内科需20人，外科需30人，儿科需50人。-资源分配成本：-医生：内科5元/人，外科6元/人，儿科7元/人。-护士：内科8元/人，外科9元/人，儿科10元/人。-资源利用效率：-医生：内科80%，外科85%，儿科90%。-护士：内科75%，外科80%，儿科85%。问题：1.建立整数规划模型，确定每个科室的医生和护士分配数量，以最大化资源利用效率。2.若医院预算限制为10000元，重新制定分配方案。答案与解析：1.模型建立：-决策变量：设di为内科、外科、儿科的医生分配数量（i=内科,外科,儿科），ni为护士分配数量。-目标函数：最大化资源利用效率。-利用效率=Σ(i)(di/需求di)效率di+Σ(i)(ni/需求ni)效率ni。-约束条件：-医生数量限制：Σ(i)di≤医生总数量。-护士数量限制：Σ(i)ni≤护士总数量。-科室需求满足：di≥需求di（i=内科,外科,儿科），ni≥需求ni。-非负性：di,ni≥0，且为整数。2.预算限制为10000元：-在模型中增加预算限制，重新求解模型。-可能需要调整每个科室的医生和护士分配数量以满足预算。三、动态规划问题（1题，20分）题目6：多阶段投资决策问题背景：某投资公司计划在未来五年内进行多阶段投资决策。公司有三种投资项目，分别位于不同地区，每种项目的投资回报率和风险不同。公司需要制定最优投资方案，以最大化总回报率，并控制风险在可接受范围内。数据：-投资项目信息：-项目1（P1）：位于东部，投资回报率10%，风险系数0.2。-项目2（P2）：位于西部，投资回报率15%，风险系数0.3。-项目3（P3）：位于南部，投资回报率20%，风险系数0.4。-投资预算：每年1000万元。-风险控制：总风险系数不超过0.5。问题：1.建立动态规划模型，确定每年对每个项目的投资金额，以最大化总回报率。2.若投资预算增加至1200万元，重新制定投资方案。答案与解析：1.模型建立：-状态变量：设fi(s,r)为第i年剩余投资额为s，风险系数为r时的最大回报率。-决策变