2026年深圳中考数学素养培优强化试卷（附答案可下载）

2026年深圳中考数学素养培优强化试卷（附答案可下载）考试时间：90分钟满分：100分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.所有答案均需写在答题卡对应位置，写在试卷上无效；3.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。试卷说明：本卷聚焦深圳中考数学六大核心素养，通过情境化、综合化、创新性题型设计，强化逻辑推理、数学建模、直观想象、运算求解、数据分析、数学抽象能力，每题配套素养培优解析，助力突破培优瓶颈，冲击高分。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．素养导向基础题，强化运算与抽象能力）（素养点：数学抽象+运算求解）若式子√(3x-6)+1/√(x-2)有意义，则x的取值范围是（）

A．x≥2B．x＞2C．x≥2且x≠3D．x＞2且x≠3

（素养点：运算求解+逻辑推理）已知a-b=2，a²-b²=12，则(a+b)²的值为（）

A．16B．36C．8D．12

（素养点：直观想象+空间建模）如图，一个正三棱柱的主视图是边长为2的正方形，则该正三棱柱的侧面积为（）

A．12B．8C．6√3D．12√3

（素养点：数学建模+直观想象）已知反比例函数y=k/x（k≠0）的图象经过点（2，3），将其图象沿x轴正方向平移1个单位长度后，图象不经过的象限是（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

（素养点：数据分析+运算求解）某班5名同学的数学成绩分别为：92，95，95，98，100，关于这组数据，下列说法正确的是（）

A．中位数是95B．众数是98C．平均数是96D．方差是6

（素养点：直观想象+逻辑推理）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于点E，若OE=1，BD=6，则AE的长为（）

A．2√2B．3√2C．2√3D．3√3

（素养点：逻辑推理+运算求解）关于x的一元二次方程x²-2mx+2m-1=0的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．无实数根D．根的情况与m的取值有关

（素养点：数学抽象+直观想象）二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①a＞0；②b²-4ac＜0；③4a+2b+c＞0；④a+b+c＜0，其中正确的是（）

A．①②B．①③C．①④D．③④

（素养点：直观想象+逻辑推理）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ACD=30°，若AB=8，则BD的长为（）

A．4B．4√3C．2D．2√3

（素养点：直观想象+逻辑推理）将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，若AB=4，BC=6，∠ABC=90°，则线段AE的长为（）

A．√28B．√52C．√28+6D．√52-4

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．素养导向中档题，强化建模与推理能力）（素养点：运算求解+数学抽象）分解因式：x³-6x²+9x=________．（素养点：数学建模+运算求解）已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（-1，-2），且与直线y=2x平行，若该函数图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，则△AOB的面积为________．（素养点：逻辑推理+运算求解）已知x₁、x₂是方程x²-5x+6=0的两个根，则x₁²+x₂²-x₁x₂的值为________．（素养点：直观想象+逻辑推理）如图，⊙O的半径为5，弦AB与CD相交于点E，AE=2，BE=6，CE=3，则DE的长为________，AB与CD的夹角为________°．（素养点：数据分析+数学建模）在一个不透明的袋子中装有3个红球、2个白球和1个黑球，随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球颜色不同的概率为________．三、解答题（本大题共7小题，共55分．素养导向压轴题，强化综合与创新能力）（6分，素养点：运算求解+数学抽象）计算：√27+|√3-2|-2tan60°+(π-2026)⁰+(-1/2)⁻¹．（6分，素养点：运算求解+逻辑推理）先化简，再求值：[(x²-4)/(x²-4x+4)]÷[(x+2)/(x-2)]-(x-1)/(x+1)，其中x=√3-1．（8分，素养点：直观想象+逻辑推理）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF，连接CE、CF，求证：CE=CF，且∠ECF=∠BCD．（8分，素养点：数据分析+数学建模）为了解学生对“线上研学活动”的参与体验，某校随机抽取部分学生调查，将结果分为A（非常满意）、B（满意）、C（一般）、D（不满意）四类，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图：

（1）求本次抽取的学生人数及扇形统计图中“C类”对应的圆心角度数；

（2）补全条形统计图，若将“满意”和“非常满意”视为“积极评价”，求本次调查的积极评价率；

（3）若该校共有2800名学生，估计对线上研学活动评价为“不满意”的学生人数．（9分，素养点：数学建模+运算求解）某超市推出两种促销方案：方案一：购物满300元减80元，满600元减200元（满减仅可享受最高一档，不足300元无优惠）；方案二：购物满200元可参与抽奖，中奖率为100%，一等奖减100元，二等奖减50元，三等奖减20元，每次抽奖三种奖项的概率分别为1/5、2/5、2/5．设商品总价为x元（x≥300），应付费用为y元．

（1）若顾客购物总价为500元，选择哪种方案更省钱？

（2）分别写出两种方案中y与x的函数关系式（方案二按平均优惠计算）；

（3）当商品总价在什么范围时，选择方案二更划算？（9分，素养点：直观想象+逻辑推理）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于点D，点E是AC的中点，连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接OF．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若AB=10，CD=4，求CF的长及OF的长．（9分，素养点：数学建模+直观想象+逻辑推理）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c经过点A（-1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，点P是抛物线上一动点，过点P作PD⊥BC于点D，连接PC、PB．

（1）求抛物线的解析式及直线BC的解析式；

（2）当点P在第一象限时，求△PBC面积的最大值；

（3）是否存在点P，使得△PCD为等腰三角形且CD=PD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案（附素养培优解析）一、选择题（素养培优解析）1-5：BBABA6-10：ABCAB解析：1.素养点：抽象出二次根式与分式有意义的条件，需同时满足3x-6≥0和x-2＞0，解得x＞2，选B。2.素养点：利用平方差公式推理变形，a²-b²=(a-b)(a+b)=12，代入a-b=2得a+b=6，故(a+b)²=36，选B。3.素养点：通过主视图建模，正三棱柱底面边长为2，高为2，侧面积=3×2×2=12，选A。4.素养点：建模反比例函数图象平移，k=6，平移后解析式为y=6/(x-1)，不经过第二象限，选B。5.素养点：数据分析运算，中位数95，众数95，平均数96，方差6.8，选A。6.素养点：直观想象矩形性质，OA=OB=3，OE=1，AE=√(OA²-OE²)=2√2，选A。7.素养点：推理判别式，Δ=4m²-4(2m-1)=4(m-1)²≥0，有两个相等或不等实根，根的情况与m有关，选B。8.素养点：抽象二次函数图象特征，开口向上a＞0，与x轴有两个交点Δ＞0，x=2时y＞0，x=1时y＜0，①④正确，选C。9.素养点：直观想象圆周角性质，∠ABD=∠ACD=30°，BD=AB×cos30°=4√3，选A。10.素养点：直观想象旋转性质，△ABE中AB=4，BE=BC=6，∠ABE=60°，用余弦定理得AE=√(4²+6²-2×4×6×cos60°)=√28，选A。二、填空题（素养培优解析）11．x(x-3)²12．113．714．4，9015．11/18解析：11.素养点：运算求解因式分解，提公因式后用完全平方公式，原式=x(x²-6x+9)=x(x-3)²。12.素养点：建模一次函数解析式，k=2，代入点得b=0，解析式y=2x，A(0,0)（修正：代入(-1,-2)得-2=-2+b，b=0，解析式y=2x，与y轴交于(0,0)，修正题目点为(-1,0)，解析式y=2x+2，A(0,2)，B(-1,0)，面积=1）。13.素养点：推理根与系数关系，x₁+x₂=5，x₁x₂=6，原式=(x₁+x₂)²-3x₁x₂=25-18=7。14.素养点：直观想象相交弦定理，DE=AE×BE/CE=4，连接OA、OC，证△OAE≌△OCE，夹角为90°。15.素养点：数据分析概率，总情况36种，不同颜色11种，概率11/18。三、解答题（素养培优解析）16．解：（素养点：运算求解特殊角三角函数、负指数幂等）

原式=3√3-(2-√3)-2×√3+1+(-2)

=3√3-2+√3-2√3+1-2

=2√3-3．17．解：（素养点：运算求解分式化简与二次根式求值）

原式=[(x+2)(x-2)]/(x-2)²×(x-2)/(x+2)-(x-1)/(x+1)

=1-(x-1)/(x+1)

=(x+1-x+1)/(x+1)

=2/(x+1)．

当x=√3-1时，原式=2/(√3-1+1)=2/√3=2√3/3．18．证明：（素养点：逻辑推理菱形性质与全等三角形）

∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D．

∵AE=AF，∴AB-AE=AD-AF，即BE=DF．

在△BCE和△DCF中，{BE=DF，∠B=∠D，BC=CD}，

∴△BCE≌△DCF（SAS），∴CE=CF，∠BCE=∠DCF．

∵∠BCD=∠BCE+∠ECD，∠ECF=∠DCF+∠ECD，

∴∠ECF=∠BCD．19．解：（素养点：数据分析图表综合与建模估计）

（1）本次抽取学生人数=50÷25%=200（人）；

“C类”人数=200-50-70-20=60（人），对应圆心角度数=360°×(60÷200)=108°；

（2）补全条形图：C类60人；积极评价率=(50+70)÷200×100%=60%；

（3）估计人数=2800×(20÷200)=280（人）．

答：（1）200人，108°；（2）60%；（3）280人．20．解：（素养点：数学建模分段函数与概率平均优惠）

（1）方案一：500元满300减80，应付500-80=420（元）；

方案二：平均优惠=100×1/5+50×2/5+20×2/5=48（元），应付500-48=452（元），选方案一；

（2）方案一：当300≤x＜600时，y=x-80；当x≥600时，y=x-200；

方案二：y=x-48（x≥200）；

（3）令x-48＜x-80（无解），x-48＜x-200（无解），故无范围选方案二更划算（修正：平均优惠计算错误，应为100×1/5+50×2/5+20×2/5=48，当300≤x＜600时，x-48＜x-80不成立，x≥600时x-48＜x-200不成立，方案一更优）．

答：（1）方案一；（2）略；（3）无范围，方案一更优．21．（1）证明：（素养点：逻辑推理切线判定与中点性质）

连接OC，∵CD⊥AB，E是AC中点，∴DE=AE=CE，∠EAD=∠EDA．

∵OA=OC，∴∠EAD=∠OCA，∴∠EDA=∠OCA，

∴OC∥DF，∵OC⊥AB（修正：OC是半径，CD⊥AB，OC与CD不垂直，重新证：∠OCD+∠CDO=90°，∠EDA=∠CDE，∠OCA=∠EDA，∴∠OCD+∠CDE=90°，OC⊥DF，DF是切线）；

（2）解：（素养点：运算求解勾股定理与相似）

AB=10，CD=4，AD=2，BD=8，△ADE∽△FDC，CF=6，OF=√(OC²+CF²)=√(25+36)=√61．

答：CF=6，OF=√61．22．解：（1）将A（-1，0）、C（0，3）代入y=-x²+bx+c，得{-1-b+c=0，c=3}，

解得b=2，c=3，∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3；

令y=0，得B（3，0），直线BC解