广东省湛江市高三年级2026年高考测试数学(一)(湛江一模)(含答案)

湛江市2026年普通高考测试(一)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|lgx<1},B={x|x>2},则AUB=A.(2,十∞)B.(2,10)C.(0,10)D.(0,十∞)2.设复数z₁,z₂在复平面内对应的点关于实轴对称，且z₁=1+i,则A.14.若,是函数f(x)=sin(wx+φ)(w>0)的两个相邻的零点，则w=5.某次展览会有4个核心主题，已知每个主题下有2个案例，现需从8个案例中随机抽取4个案例进行重点演示，则抽出的4个案例中，恰好包含某一个主题下的2个案例，而另外2个案例来自两个不同主题的抽取方案的种数为A.120B.96C.48数学试题第1页(共4页)7.如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4,其中A₁E=3EDj,CD8.已知不等式2x-mlnx+1≥21nx+n(m,n∈R,且m≠-2)对任意正实数x恒成立，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.一组互不相等的数据从小到大排列为x₁,x₂,…,x₆,去掉x1后，则下列选项正确的是A.极差变大B.平均数变大C.中位数变小D.80%分位数变大10.已知g(x)为f(x)的导函数，两个函数的定义域均为R,f(A.f(1)=0B.f(4)=0C.g(0)=0CC线l₁:ay=bx,l₂:ay=—bx互相垂直，点P是双曲线C右支上任意一点，则下列说法正确的是B.存在点P,使得△PF₁F₂为等腰直角三角形C.当k∈(一1,1)时，直线l:y=kx+1与双曲线C一定有两个交点D.的最大值为2√2+312.已知,则tan2α=·13.已知直线l₁;x+y+3=0和直线l₂:y=-1,则抛物线lj,l₂的距离之和的最小值为·上一动点P到直线数学试题第2页(共4页)14.某智力问答游戏的规则如下：游戏共有A,B两类问题(每类问题的数量无限多，且下规则抽取一道问题进行解答：若解答的是A类问题，则抽取一道B类问题进行解答，若解答的是B类问题，则等可能地抽取一道A类或B类问题进行解答.如此循道问题是相互独立的.若甲最先解答一道A类问题，则他通过解答B类问题结束游戏的概率是四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题13分)(1)当BD=2AD时，求sinB的值；(2)求△ABC的面积S.16.(本小题15分)某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节.在育苗环节，每粒种子的成活率为p.在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q.若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功.每粒种子种植是否成功互不影响.(1)若一粒种子种植成功的概率为,在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为ζ,求E(ζ);(2)播撒6粒种子，设种植成功的数量为X,求X=5的概率P,并求P的最大值.17.(本小题15分)DC=2AB=2.过点A作平面α与棱PB,PC,PD交于点E,F,G,其中,且点G为PD的中点.(3)求平面α与平面ABCD夹角的余弦值.18.(本小题17分)已知椭圆T:(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,其离心率为,且P上的点到其中一个焦点的距离的最小值为2—√3,过点G(1,0)的直线交椭圆于C,D两点，直线CB,DB分别交直线l:x=4于点M,N.(1)求椭圆T的方程；19.(本小题17分)已知,设y=f(x)与y=x-n—1(n∈N*)的图象位于第一象限的交点(1)求f(x)的最大值；(2)证明(3)证明数学试题第4页(共4页)湛江市2026年普通高考测试(一)数学参考答案及评分参考一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【解析】由题意得A={x|0<x<10},所以AUB={x|x>0},故选D.【解析】由题意得z2=1—i,故选A.【解析】因为a,b为单位向量，且|a—b|=√2,平方得a·b=0,所以|a+b|=√2,故选B.【解析】由题意,故,所以,因为w>0,所以w=3,故选A.【解析】先取出同一主题的两个案例有C!种取法，再从剩下的主题中取出2个主题，有C3种方法，最后再从中各取一个案例有C₂C₂种，由分步计数原理得，取法种数为C|C3C₂C2=48,故【解析】因为an+1=√a²+1,所以a²+1=a²+1,故{a²}为等差数列，所以a²=n.【解析】以点D为原点，DA,DC,DD₁分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.可得B(4,4,0),E(1,0,4),F(2,4,4),C(0,4,0),则可得平面BEF的一个法向量为m=(4,-1,2).点C到平面BEF的距离d=,故选C.数学参考答案及评分参考第1页(共8页)数学参考答案及评分参考第2页(共8页)【解析】原不等式等价于2x+1-n≥(m+2)Inx.若m<-2,则曲线g(x)=(m+2)Inx必然有一部分位于直线y=2x+1-n的上方，与原不等式恒成立相矛盾，所以m>-2(也可令x→0,g(x)→+∞>1-n进行排除).所以上述不等式等价,设函数f(x)=lnx,直线.经过分析可知，f(x)单调递增，且直线l始终位于曲线f(x)的上方.直线l经过点,则可得该点位于函数f(x)=1nx的“外部”,即可得由此当直线l与f(x)相切于点时等号成立，此时m=2,n=二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【解析】由题意得极差变小，平均数变大.原数据和新数据的中位数分别为,x4,故中位数变大.原数据和新数据的80%分位数分别为,故80%分位数变大，故选BD.【解析】由题意得f(—2x-1)=-f(2x—1),故f(x)关于(-1,0)中心对称，所以f(-1)=0,因为f(x)是偶函数，所以f(1)=0,选项A正确；因为f(一x)=f(x),且f(x-1)=故选项B不确定；对f(一x)=f(x)两边求导得一g(-x)=g(x),故g(x)为奇函数，故g(0)=0,选项C正确；因为f(x)关于(一1,0)中心对称，所以g(x)关于x=-1对称，由于周期T=4,所以g(2n)=0,故选项D不确定，故选AC.【解析】因为渐近线l₁:ay=bx,l₂:ay=-bx互相垂直，所以两条直线的斜率分别为1和—1,从而可得a=b,即可得双曲线C的离心率为√2,选项A正确；若△PF₁F₂为等腰直角三角形，则误；因为直线l:y=kx+1恒过定点(0,1),当k=±1时，直线l//l₁或L//l2,当k∈(-1,1)时，直线l与直线l₁,l2都相交，结合双曲线C与渐近线的关系，即可得此时直线l与双曲线C的两由离心率为√2可得c=√2a,代入上式即可得的最大值为2√2+3,选项D正确，故选ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【解析】点P到l₂的距离等于点P到焦点F(0,1)的距离，点P到直线l₁,l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l₁的距离，即【解析】设pA→B表示先解答A类最终通过解答B类问题结束游戏的概率，pB→B表示先解答B类最终通过解答B类问题结束游戏的概率，通过题意可得，计算可得,则可得甲先通过解答A类问题再通过解答B类问题结束游戏的概率为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在△ABD中，由正弦定理,艮,……………4分……………………6分在△ABD和△ADC中，由余弦定理得………………8分即………………………10分②一①,得2xy=4,数学参考答案及评分参考第3页(共8页)数学参考答案及评分参考第4页(共8页)16.解：(1)记育苗成功为事件A,移栽成活为事件B.由题意得P(A)=p,P(B|A)=q,因为所以……………4分设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为ζ,根据题意可得,由此可得………6分(2)解法一：一粒种子种植成功概率为pq,“X=5”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”,所以P(X=5)=C(pq)⁵(1—pq)=6(pq)⁵—6(pq)⁶9令pq=t,设函数f(t)=6t⁵—6t⁶(t∈(0,1)),10分∴f(t)的最大值为综上，X=5的概率P=6(pq)⁵—6(pq)⁶,其最大值为………………15分解法二：为了保证X=5,则6粒种子中育苗成功的数量需大于或等于5.设育苗成功的数量等于5为事件C,育苗成功的数量等于6为事件D,则可得P(C)=Cp⁵(1-p),P(D)=p⁶,则有P(X=5)=P(C)×q⁵+P(D)×C₆q⁵(1-q),从而可得P(X=5)=6(pq)⁵—6(pq)⁶.………9分令pq=t,设函数f(t)=6t⁵—6t⁶(t∈(0,1)),10分∴f(t)的最大值为综上，X=5的概率P=6(pq)⁵—6(pq)⁶,其最大值为.………………15分根据条件可得AB//DC,且……………………3分∴四边形ABMG为平行四边形……………………4分(2)解：∵AG//平面PBC,平面AEFG∩平面PBC=EF,∴AG//EF……∴EF//BM……………………又∵可得A(0,0,0),,G(0,1,1)…………11分设平面AEG的法向量为m=(x,y,z),则即令x=1,可得m=(1,1,-1)…………………12分易得平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1)…………………13分故平面α与平面ABCD夹角的余弦值为…………15分数学参考答案及评分参考第5页(共8页)故平面α与平面ABCD夹角的余弦值为……………15分数学参考答案及评分参考第6页(共8页)标系.则可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),设平面PBC的法向量为n=(x₁,y₁,z1),则即令x₁=2,可得n=(2,-1,1)………………………3分∵AGC平面PBC,∴AG//平面PBC.…………………5分令x₂=1,可得m=(1,1,—1).…………………6分∵直线AFC平面AEG,∴AF·m=0,即2λ+2λ—(2-2λ)=0………………9分(3)解：由(2)得平面AEG的法向量为m=(1,1,—1)…………11分易得平面ABCD的一个法向量为p=(0,0,1)…………………13分又||PF₁I—|PF₂|l≤2c,即—2c≤|PF结合以上两式可得a—c≤|PF₁I≤a+c,a—c≤|PF₂|≤a+c,当且仅当P,F₁,F₂三点共线时取等号，∴点P到其中一个焦点的距离的最小值为a—c,故a—c=2—√3.………2分又…………………3分解得a=2,c=√3,故b=√a²—c²=1,4∴椭圆T的方程…………………5分(2)依题意可设直线CD的方程为x=ty+1,6分代入I的方程消去x得(t²+4)y²+2ty-3=0,△=16t²+48>0,∴存在两个不相等的实数根.……………………7分故直线CB的方程,令x=4,可得……………9分又AD=(x₂+2,y₂),,……………………10分(3)是.设H(x,y)为以MN为直径的圆上一点，则有MH·NH=0,由对称性可知，若存在定点，则定点必须在x轴上