2025-2026学年安徽省安庆市岳西县五校联考九年级上册12月月考数学试卷 附答案

/安徽省安庆市岳西县五校联考2025−2026学年九年级上学期12月月考数学试题一、单选题1．下列函数中，一定是二次函数的是（

）A． B． C． D．2．点在二次函数图象上，的最大值是（

）．A．3 B． C． D．3．已知二次函数的顶点，与轴的一个交点在和之间不含端点，如图所示，有以下结论：；；；方程有两个相等的实数根其中结论正确的是（

）A． B． C． D．4．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（  ）A． B． C． D．5．已知点都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（

）A． B．C． D．6．如图，点，在矩形的边，上，矩形矩形．①若四边形是正方形，则点是线段的黄金分割点．②若，则矩形矩形．上述命题，（）A．①②都正确 B．①②都错误C．①正确②错误 D．①错误②正确7．如图，在平行四边形中，，分别是边，上的点，连接，，它们相交于点，延长交的延长线于点，则图中的相似三角形共有（

）A．对 B．对 C．对 D．对8．如图，在中，点、分别在边、上，则下列条件中：；②；；，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（

）A．个 B．个 C．个 D．个9．如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（）A． B．C． D．10．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（

）A． B． C．或 D．或二、填空题11．二次函数的图象如图所示，若，．则、的大小关系为．(填“”、“”或“”)12．如图，在四边形中，，，，设的长为x，四边形的面积为y，则y与x之间的函数关系式为．13．如图，在中，，，点P从点A出发，沿着边向点C以的速度运动，点Q从点C出发，沿着边向点B以的速度运动．如果P与Q同时出发，那么经过秒和相似．14．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为．三、解答题15．已知函数（其中）．（1）当m为何值时，y是x的二次函数？（2）当m为何值时，y是x的一次函数？16．抛物线经过点A(3,0)和点B（0,3）,且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C.（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积.17．平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．（1）画出，使它与关于轴对称：（2）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，且与的相似比为；（3）设点为内一点，则依上述变换后点在内的对应点的坐标是________．18．已知抛物线．（1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；（2）取何值时，？19．某公司在年初上市了一款新款手机，该款手机自上市以来产生的利润（万元），与销售时间（月份）之间满足二次函数的关系，其部分图象如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题．

（1）求与之间的函数解析式．（2）求几月份该公司所获得的利润恰好为万元．（3）年月份该公司所获得的利润是多少万元？20．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数图象于点B，C．连接．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）当时，求的面积．21．设二次函数（a，b是常数）（1）当时，函数y的图象经过点，求该函数的表达式．（2）当时，求函数y的最小值．（3）若该函数的图象经过点，点，比较，的大小．22．如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．

（1）求小明的身高；（2）小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23．某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：销售量n（件）n=50﹣x销售单价m（元/件）当1≤x≤20时，m=20+x当21≤x≤30时，m=10+（1）请计算第15天该商品单价?；（2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；（3）这30天中第几天获得的利润最大；最大利润是多少．

答案1．【正确答案】B【分析】本题考查一元二次函数的识别．根据一元二次函数的定义逐项判断即可．【详解】解：A：是一次函数，不符合题意；B：是二次函数，符合题意；C：含有分式，不是二次函数，不符合题意；D：当时，不是二次函数，不符合题意．故选B．2．【正确答案】C【分析】此题考查了求二次函数的最值，把代入得出，再得出的表达式，将其化为顶点式，即可求出最值．【详解】解：把代入得：，∴，∵，∴当时，取最大值，最大值为，故选C．3．【正确答案】D【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的图象与性质进行排除选项．【详解】解：由图象可知：开口向下，即，顶点，则该二次函数的对称轴为直线，即，抛物线与x轴有两个交点，则有，故①正确；∵对称轴为直线，且与轴的一个交点在和之间不含端点，∴根据二次函数的对称性可知：二次函数与x轴的另一个交点坐标在和之间不含端点，∴由函数图象可知：当时，则，故②正确；当时，则有，故③正确；由方程可变形为，即可看作方程的解是直线与二次函数交点的横坐标，由题意可知：该方程的解有两个相等的实数根，故④正确；故选D．4．【正确答案】B【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，求出的坐标，顶点式，求得二次函数的解析式即可．【详解】解：如图，∵对应的两条抛物线关于轴对称，，∴，∵轴，，∴关于对称轴对称，∴，∴，∵，∴，，∴，设右轮廓所在抛物线的解析式为，把，代入，得：，∴右轮廓所在抛物线的解析式为；故选B．5．【正确答案】D【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质成为解题的关键．根据反比例函数图象的性质的增减性解答即可．【详解】解：∵在反比例函数中，，∴该函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大，∵，∴．∴．故选D．6．【正确答案】A【分析】本题考查命题与定理，矩形的性质，相似多边形的判定和性质．①正确，证明即可；②正确，设，则，利用相似多边形的性质求出，可得结论．【详解】解：①∵四边形是正方形，∴，∵四边形是矩形，∴，∵矩形矩形，∴，∴，∴，∴点F是线段的黄金分割点，故①正确；②∵，∴可以假设，则，∵矩形矩形，∴，∴，∴，∴，∵，，∴矩形与矩形全等，∴矩形与矩形相似，故②说法正确，故选A．7．【正确答案】C【分析】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定是解题的关键；由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求解．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴图中相似三角形有4对；故选C．8．【正确答案】C【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理可进行求解．【详解】解：∵，∴当添加时，则根据“两角对应相等的两个三角形相似”判定，故①符合题意；当添加可判定，故②符合题意；当添加时，可根据“两组对应边成比例，且它们的夹角也相等的两个三角形相似”判定；故③符合题意；当添加，即，不能判定这两个三角形相似，故④不符合题意；故选C．9．【正确答案】B【分析】本题考查了三角形的中位线定理、三角形中线的性质以及相似三角形的判定和性质等知识；根据三角形的中位线定理结合三角形中线的性质可得，可得，再根据相似三角形的性质进一步判断即可.【详解】解：∵的中线交于点F，∴，∴，，故D选项结论正确；∴，，∴，，，故A、C选项结论正确，B选项结论错误；故选B.10．【正确答案】D【分析】根据位似比的性质可知，用点的坐标分别乘以即可求解．【详解】解：点，相似比为，∴点的对应点的坐标是，即，或者，即，故选．11．【正确答案】<【分析】由图象可知，当时，，当时，，然后用作差法比较即可.【详解】当时，，当时，，，即，故答案为12．【正确答案】【分析】过作与点，设，则，根据等角的余角相等得到，易证得，所以，，得到，在中，根据勾股定理得到，所以有，即；根据四边形的面积三角形的面积三角形的面积，即可得到．【详解】解：过作于点，如图，设，则，，，∴，，而，，∴，，，，在中，由勾股定理得，，即，又四边形的面积三角形的面积三角形的面积，．故答案为．13．【正确答案】或【分析】设经过x秒和相似，先求出，，再利用相似三角形性质对应边成比例列式求解即可得到答案，因为对应边不明确，答案要分两种情况①当与是对应边时，②当与是对应边时，分别列方程求解即可．【详解】解：设经过x秒，两三角形相似，则，，①当与是对应边时，，即，解得：秒；②当与是对应边时，，即，解得：秒；综上所述：经过秒或秒，两个三角形相似.14．【正确答案】【分析】本题考查了位似变换，利用位似图形面积比为相似比的平方即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵四边形和是以点为位似中心的位似图形，，∴，∴四边形与四边形的面积比为.15．【正确答案】（1）2（2）或或【分析】（1）根据二次函数的定义得到得且，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值；（2）根据一次函数的定义分类讨论：当且时，y是x的一次函数；当且时，y是x的一次函数；当且时，y是x的一次函数，然后分别解方程或不等式即可．【详解】（1）解：根据题意，得且，解得，即当时，y是x的二次函数；（2）①当且时，即时，y是x的一次函数；②当且时，y是x的一次函数，解得；③当且时，y是x的一次函数，解得；即当为或或时，y是x的一次函数．16．【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用割补法求△ABC的面积.【详解】（1）抛物线经过、由上两式解得抛物线的解析式为：；（2）由（1）抛物线对称轴为直线把代入，得则点坐标为，设线段所在直线为：解得解析式为：线段所在直线经过点、抛物线的对称轴于直线交于点设点的坐标为将点代入，解得点坐标为，过点作于点17．【正确答案】（1）图见详解（2）图见详解（3）【分析】本题主要考查轴对称图形与坐标及位似，熟练掌握轴对称的性质及位似的性质是解题的关键；（1）先得出点A、B、C关于x轴的对称点，然后问题可求解；（2）根据位似的性质可进行作图；（3）根据位似的性质可进行求解．【详解】（1）解：所作如图所示：（2）解：所作如图所示；（3）解：由（2）可知：点为内一点，则依上述变换后点在内的对应点的坐标是；故答案为．18．【正确答案】（1）顶点坐标为，对称轴是直线（2）或【分析】本题考查了用配方法将二次函数的一般式化为顶点式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．（1）根据配方法可以将抛物线化为顶点式，然后即可写出该抛物线的顶点坐标和对称轴；（2）令求出的值，然后根据二次函数的性质，即可写出取何值时，．【详解】（1）解：，该抛物线的顶点坐标为，对称轴是直线；（2）解：，该函数图象开口向下，当时，，得，，当或时，．19．【正确答案】（1）（2）月份（3）万元【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．（1）先确定二次函数的顶点坐标为，设顶点式，再将点代入即可求解；（2）代入，求解即可；（3）将代入，求解即可．【详解】（1）解：由图可知二次函数图象过点，，则二次函数的对称轴为直线，结合二次函数图象过点，则二次函数的顶点坐标为，设与的函数解析式为．将点代入，得，解得：，与之间的函数解析式为；（2）解：把代入，得，解得：，（不符合题意，舍去），月份该公司所获得的利润恰好为万元；（3）解：将代入，得，年月份该公司所获得的利润是万元．20．【正确答案】（1），（2）【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题及三角形的面积，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．（1）将点A坐标分别代入反比例函数及一次函数的解析式即可解决问题．（2）根据求出点B和点C的坐标，再结合三角形的面积公式即可解决问题．【详解】（1）解：由题知，将点A坐标代入得，，所以反比例函数的解析式为．将点A坐标代入得，，所以一次函数的解析式为．（2）因为，且轴于点D，则将代入得，，所以点B的坐标为．同理可得，点C的坐标为．又因为点A坐标为，所以．21．【正确答案】（1）或（2）（3）【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数的解析式，比较函数值的大小，将函数正确整理变形是解题的关键．（1）将，点代入函数解析式中即可求解；（2）将代入整理后，得，令，然后根据函数的性质回答即可；（3）将两点的坐标代入函数解析式，整理后比较大小即可．【详解】（1）解：当时，，把点代入解析式，得，解得，或，或；（2）当时，，，令，则，，当，即时，函数的最小值为，函数的最小值为；（3）分别将点，点代入函数解析式整理