2025-2026学年河北省石家庄市第四十三中学上册期中考试九年级数学试卷 附答案

/河北省石家庄市第四十三中学2025−2026学年上学期期中考试九年级数学试题一、单选题1．样本数据2、、3、4的平均数是3，则的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（）A． B． C． D．3．如图，四边形内接于，若，则的度数是（

）A． B． C． D．4．如图，在一个花架简易图中，，，，则的长度为（

）A． B． C． D．无法确定5．对于反比例函数，下列说法正确的是（

）A．图象位于第一、第三象限 B．经过点C．图象关于原点成中心对称 D．当时，随的增大而减小6．已知方程的两根分别是、，则的值为（

）A． B． C．7 D．87．霍邱一商场计划销售某种毛绒玩偶，这种毛绒玩偶每个进价为50元．经调查发现，当售价为120元时，平均每天能售出80个；而当售价每降低1元时，平均每天就能多销售5个．设这种毛绒玩偶每个降价x元时，每天获得的利润为y元，则y与x之间的函数表达式是（

）A． B．C． D．8．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（

）A． B． C． D．9．对于抛物线，下列说法正确的是（

）A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大10．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是（

）A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸11．如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是(

)A．4个 B．3个 C．2个 D．1个12．直线与抛物线在同一平面直角坐标系内，直线与抛物线有两个交点，设两个交点间的距离为d，则下列说法正确的是（

）甲：当时，．乙：当时，．丙：符合条件的m的取值范围是．A．甲、乙、丙三人都对 B．只有甲对C．只有乙对 D．只有丙对二、填空题13．如图，反比例函数的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为．14．如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为m（结果保留根号）．15．如图，点A、B、C均在上，直径，，则图中阴影部分的面积为．三、解答题16．如图，在等腰三角形ABC中，，．点M、N分别从点B、C出发，分别用、的速度在、边上运动到点A、B停止，以为斜边以如图所示方式在其右上方作等腰直角三角形，设运动时间为t（）（）．（1）当值时，点O落在的边上；（2）面积的最大值为．17．（1）解方程：（2）计算：18．某校开展了“学习新思想，做好接班人”主题阅读活动月．请根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）被抽查的学生人数是人，表中m＝；（2）被抽查的学生阅读文章篇数的中位数是，众数是；（3）若该校共有1600名学生，请估计该校学生在主题阅读活动月内文章阅读的篇数为4篇的有多少人？阅读篇数34567及以上人数2025m151019．如图，在中，，点D在上，于点E．（1）求证：；（2）且，求的长．20．我市高铁片区计划新建一个矩形停车场，布局如图所示．已知停车场外围的长为20米，宽为15米，阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的车道，若喷漆面积为204平方米．（1）设车道的宽度是x，则停车位的横向长度是（用含x的代数式表示）；（2）求出车道的宽x是多少米？21．石外集团生物实践小组搜集了学校种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度y（）随时间x（时）变化的图象．如图所示，点A表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点D表示24时温度降到．（1）求线段及双曲线段的函数表达式．（2）求该大棚在时内，温度不低于的时间长度．（3）此地日出时间为，日落时间为．为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于．小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟小时，能满足上述要求．22．如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点在书架底部，顶点靠在书架右侧，顶点靠在档案盒上，若书架内侧长为，，档案盒长度．（参考数据：，，）（1）求点到书架底部距离的长度；（2）求长度；（3）求出该书架中最多能放几个这样的档案盒．23．如图所示，已知是的直径，A、D是上的两点，连接，线段与直径相交于点．（1）若，求的值．（2）当时．①直接写出和的数量关系；②若，，求线段的长；③若，，则．24．如图1至图2，是经过某款蒸锅中心D和锅盖中心C所作纵截面的示意图，它由两段抛物线构成．蒸锅截线与锅盖截线交于点A，B，测得锅口直径，锅深，锅盖高．以直线为x轴，直线为y轴建立平面直角坐标系．尝试：（1）求蒸锅截线表达式和锅盖截线表达式；（2）若锅中心D到水面距离为，求水面直径的长度；探索：如图2，矩形为笼屉纵截面图（相邻笼屉用不同颜分），F，G在蒸锅截线上，笼屉直径轴，且，每层笼屉高为．在使用过程中，要求锅盖与锅能正常合上（3）若，则锅与锅盖之间最多能放置几层笼屉？说明理由；（4）若E，H恰好在锅盖截线上，设所有放置的笼屉，下底面面积之和为S，直接写出：当时S最大，S的最大值是．

答案1．【正确答案】C【分析】根据平均数的公式计算出的值即可．本题考查了算术平均数，正确理解算术平均数的意义是解题的关键．【详解】解：2、、3、4的平均数是3，，，故选C．2．【正确答案】D【分析】作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解．【详解】解：作PM⊥x轴于点M，∵P（3，4），∴PM=4，OM=3，由勾股定理得：OP=5，∴，故选D3．【正确答案】D【分析】本题考查了圆的内接四边形，根据圆的内接四边形对角互补，即可作答．【详解】解：四边形内接于，若，，故选D．4．【正确答案】A【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据，可得：，根据，可以求出．【详解】解：，，，，．故选A．5．【正确答案】C【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，逐项进行判断即可．【详解】解：A．，图象位于第（二）第四象限，说法不正确，不符合题意；B．，说法不正确，不符合题意；C．图象关于原点成中心对称，说法正确，符合题意；D．当时，y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意．故选C．6．【正确答案】D【分析】利用根与系数的关系，可得出，，再将其代入中，即可求出结论．本题考查了根与系数的关系以及代数式求值，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．【详解】解：方程的两根分别是、，，，故选D.7．【正确答案】A【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键．根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可．【详解】设降价元，则售价为元，∵进价为50元，∴每个利润为元．又∵每降价1元，多售5个，∴降价元，多售个，销售量为个．∵利润=每个利润销售量∴．故选A．8．【正确答案】D【分析】本题考查了位似变换和位似图形性质，位似图形必须是相似形，熟练掌握运用位似图形的性质及相似三角形的判定和性质是解题关键．根据位似的性质得到，得出，利用相似三角形的性质可得，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得．【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，，，，，故选D．9．【正确答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质即可解答．【详解】解：∵抛物线的解析式为，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意；因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意．故选B．10．【正确答案】D【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由可求出，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，解方程直接可得的值，即为圆的直径．【详解】解：如图，连接，，，且寸，寸，设圆的半径的长为，则，，，在直角三角形中，根据勾股定理得：，化简得：，即，寸，故选D．11．【正确答案】A【分析】①：根据二次函数的对称轴，，即可判断出；②：结合图象发现，当时，函数值大于1，代入即可判断；③：结合图象发现，当时，函数值小于0，代入即可判断；④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．【详解】解：∵二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，∴，，∴，∴，故①正确；从图中可以看出，当时，函数值大于1，因此将代入得，，即，故②正确；∵，∴，从图中可以看出，当时，函数值小于0，∴，∴，故③正确；∵二次函数的顶点坐标为，∴设二次函数的解析式为，将代入得，，解得，∴二次函数的解析式为，∴当时，；∴根据二次函数的对称性，得到，故④正确；综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，故选A．12．【正确答案】D【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先将二次函数解析式化为，再分别求出直线，与抛物线的交点坐标，即可判断甲、乙说法错误；根据抛物线的顶点为，开口向下，即可判断丙说法正确．【详解】解：∵，令，解得：，，∴当时，直线与抛物线两个交点坐标为，，此时两个交点间距离为：，∵抛物线的开口向下，∴当越小时，这两个交点间距离越大，∴当时，，故甲的说法错误；令，解得：，，∴当时，直线与抛物线两个交点坐标为，，此时两个交点间距离为：，故乙说法错误；∵抛物线的顶点坐标为，开口向下，∴当时，直线与抛物线有2个交点，即符合条件的m的取值范围是，故丙说法正确；综上分析可知，只有丙说法正确，故选D．13．【正确答案】4、【分析】由反比例函数的系数k的几何意义可知：OA•AD=2，然后可求得OA•AB的值，从而可求得矩形OABC的面积．【详解】∵反比例函数的图象经过点D，∴OA•AD=2．∵D是AB的中点，∴AB=2AD．∴矩形的面积=OA•AB=2AD•OA=2×2=4．故答案为4．考点：反比例函数系数k的几何意义．14．【正确答案】/【分析】本题考查解直角三角形—仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解答此题的关键．根据题意得，然后利用三角函数求解即可．【详解】解：依题意，．在中，，在中，，∴．15．【正确答案】/【分析】本题考查了圆周角定理和扇形面积公式；解题的关键是利用圆周角定理将已知的圆周角转换为圆心角，再代入扇形面积公式计算；先根据为公共弧，得，再根据扇形面积公式进行列式计算，即可作答．【详解】解：∵为公共弧，直径，，∴，半径，∴故答案为．16．【正确答案】或；9【分析】此题主要考查了解直角三角形，二次函数的最值，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握二次函数的最值，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，灵活利用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键．依题意得，，，过点A作于点D，解得，再分两种情况讨论如下：①当点O在AB边上时，在中，根据得，进而得，根据得，由此解得；②当点O在BC边上时，在中，根据，，进而得，根据得，由此解得，综上所述即可得出答案；过点M作于点H，解得，，进而得，在中，由勾股定理得，由此得的面积，由二次函数性质可知有以下两种情况：①当时，则当，S的值为最大，此时最大值为，②当时，则时，S的值为最大，此时最大值为，综上所述即可得出答案．【详解】解：存在t的值，使点O落在的边上，依题意得：，，，是等腰直角三角形，MN为斜边，，，过点A作于点D，如图1①所示：，在等腰三角形ABC中，，，，，，在中，，，依题意有以下两种情况：①当点O在AB边上时，如图1②所示：在中，，，，，，，，解得：；②当点O在BC边上时，如图1③所示：在中，，，（），，，，，解得：，综上所述：t的值为或，故或；过点M作于点H，如图2①所示：，在中，，（），由勾股定理得：（），，在中，由勾股定理得：，是等腰直角三角形，，，由勾股定理得：，，的面积，整理得：，该二次函数的对称轴为，开口向上，顶点坐标为，如图2②所示：又，由二次函数性质可知有以下两种情况：①当时，则，S的值为最大，此时最大值为：，②当时，则时，S的值为最大，此时最大值为：，综上所述：当时，的面积为最大值，最大值为故17．【正确答案】（1），；（2）【分析】移项，配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可；根据特殊角的三角函数值分别代入，再求出即可．本题考查了解一元二次方程和特殊角的三角函数值的应用，能正确配方是解小题的关键，能熟记特殊角的三角函数值是解小题的关键．【详解】解：，，，，，，；18．【正确答案】（1）100，30；（2）5篇，5篇；（3）400人【分析】（1）先由6篇的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他篇数的人数求得m的值；（2）根据中位数和众数的定义求解；（3）用总人数乘以样本中4篇的人数所占比例即可得．【详解】解：（1）被调查的总人数为15÷15%=100人，m=100-（20+25+15+10）=30，故100，30；（2）由于共有100个数据，其中位数为第50、51个数据的平均数，而第50、51个数据均为5篇，所以中位数为5篇，出现次数最多的是5篇，所以众数为5篇，故5篇，5篇；（3）估计该校学生在这一周内文章阅读的篇数为4篇的人数为人．19．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键．（1）由得到，于是得到；（2）利用相似三角形的性质求得的长．【详解】（1）证明：∵，，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴．20．【正确答案】（1）（2）车道的宽x是3米【分析】利用停车位的横向长度=停车场外围的长-车道的宽度，即可用含x的代数式表示出停车位的横向长度；根据停车位的面积为204平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出停车位的横向长度；找准等量关系，正确列出一元二次方程．【详解】（1）解：设车道的宽度是x，则停车位的横向长度是；故；（2）解：根据题意得：，整理得：，解得：，不符合题意，舍去）；答：车道的宽x是3米．21．【正确答案】（1），（2）大棚在时内，温度不低于的时间为12小时（3）1【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的表达式是解题的关键．（1）依据题意，根据待定系数法计算可以得解；（2）分别求出线段及双曲线段温度为的时间，相减即可求解；（3）求出符合光照和温度的时间，进而根据要求即可解答．【详解】（1）解：设线段的函数表达式为，根据题意，可得，解得，故线段的函数表达式为，设双曲线段的函数表达式为，将代入，得，解得，∴，当时，，解得，故双曲线段的函数表达式为．（2）由（1）可知线段的函数表达式为，当时，得，解得，可知双曲线段的函数表达式为，当时，得，解得，，大棚在时内，温度不低于的时间为12小时．（3）由（2）可知大棚温度不低于的时间段为，设推迟启动t小时，则推迟后大棚温度不低于的时间段为，根据题意，可知日照时间为，大棚温度不低于且有日照的时间至少为9小时，则，解得，故至少推迟1小时，能满足题目要求．故1．22．【正确答案】（1）（2）（3）12个【分析】（1）（2）在RtCDE中，利用三角函数可求得CE、DE的长；（3）设每个档案盒厚度为x，利用三角函数转化到书架长度上，构造关于x的一元一次方程，求出x的值，就能得到能摆放的档案盒个数．【详解】（1）解：∵AB＝CD＝35cm，∴在RtCDE中，CE＝CD·sin53°＝35×0.8＝28cm．（2）解：在RtCDE中，ED＝CD·cos53°＝35×0.6＝21cm．（3）解：如图，∠DFG＝∠CDE＝53°，已知BG＝60cm，ED＝21cm，设每个档案盒厚度为xcm，则DG＝DF·sin53°＝0.8x，有7x＋21＋0.8x＝60解得x＝5．60÷5＝12（个）．23．【正确答案】（1）（2）①；②；③45【分析】利用圆周角定理得到，再利用特殊角的三角函数值解答即可；①利用弧与圆心角