2025-2026学年山东省威海市经济技术开发区九年级上册12月联考数学试卷 附答案

/山东省威海市经济技术开发区2025−2026学年九年级上学期12月联考数学试题一、单选题1．如图，在中，是切线，切点是B，直线交于点D，A，点E为上的一点，连接，．若，则的度数为（

）A． B． C． D．2．如图，抛物线的表达式是（）A．y＝x2－x＋2 B．y＝x2＋x＋2 C．y＝－x2－x＋2 D．y＝－x2＋x＋23．二次函数的一次项系数是（

）A． B．6 C． D．4．由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（

）A． B． C． D．5．小明去爬山，在山脚A看山顶D的仰角，小明在坡比为的山坡上走1300米到达B处，此时小明看山顶的仰角，则山高为（）米A． B． C． D．6．一个圆柱的三视图如图所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱的体积为（）

A． B． C． D．7．如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（

）A． B． C． D．8．如图，是的直径，是弦的中点，于点，若，，则的长为（

）A． B．1.5 C． D．29．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为为格点．为大正方形的内切圆，交于点，则（

）A． B． C． D．10．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为（

）A．1 B．2 C． D．11．如图，，是的两条切线，A，B是切点，若，的半径为6，则图中的长为（

）

A． B． C． D．12．如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则的值为（

）A． B． C． D．二、填空题13．将抛物线向右平移个单位长度后经过点．14．用几个小正方体指一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则需要的小正方体个数最少为．15．平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=ax2上的两点A、B满足OA=OB，且tan∠OAB=，则称线段AB为该抛物线的通径．那么抛物线y=x2的通径长为．16．已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，则此二次函数的解析式为．17．如图，点是正比例函数与反比例函数在第一象限内的交点，交轴于点，的面积为4，则的值是．18．如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是．三、解答题19．某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米．（米）01234…（米）2.04.05.25.65.2…请解决以下问题：（1）在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．（2）请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为______米（精确到0.1）；（3）公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．20．抛物线经过点；点是抛物线上的点．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若，比较的大小；（3）若直线与抛物线交于两点，（两点不重合），当时，求的取值范围．21．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且CD=BD．（1）判断直线CD与圆O的位置关系，并说明理由；（2）已知AB=40，求的半径．22．如图，四边形是边长为4的正方形，以边为直径作，点E在边上，连接交于点F，连接并延长交于点G．

（1）求证：；（2）若，求劣弧的长．(结果保留)23．折叠黄金矩形背景资料古希腊人认为黄金矩形具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，是美的构成典型．黄金矩形是指长宽比满足黄金比例的矩形，其短边与长边之比确切值为，近似值为．用矩形纸片折叠一个黄金矩形操作步骤第一步：在一张足够长的矩形纸片的一端，按照图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：如图2，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸片展平；第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到如图3所示的处：第四步：展平纸片，由点折出得到矩形（图4），它就是黄金矩形．问题解决任务1找出图4中的另一个黄金矩形：___________．任务2证明矩形是黄金矩形．任务3如图，在直角坐标系中，矩形是黄金矩形．分别以边向外作正方形，以为边向上作正方形．判断是否在同一个反比例函数图象上，并予以验证．24．现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数，，，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．（1）随机的取一张卡片，直接写出抽取的卡片上的数为负数的概率；（2）先随机抽取一张卡片，其上的数记为点的横坐标，然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数记为点的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点在双曲线上的概率．

答案1．【正确答案】B【分析】考查切线的性质、直角三角形锐角互余、圆周角定理及推论，如图所示，连接，首先由切线得到，然后求出，最后利用圆周角定理求解即可．【详解】如图所示，连接，是的切线，切点是在中，圆周角与圆心角所对的弧是，．故选B．2．【正确答案】D【分析】根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数则可．【详解】解：根据题意，设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，抛物线过（-1，0），（0，2），（2，0），所以，解得a=-1，b=1，c=2，这个二次函数的表达式为y=-x2+x+2．故选D3．【正确答案】B【分析】本题考查了二次函数的一次项系数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据定义即可得到答案．【详解】解：该函数的一次项系数为6故选B．4．【正确答案】D【分析】本题考查几何体的三视图，左视图为从左侧看得到的平面图，据此判断即可．【详解】解：左视图为故选D5．【正确答案】B【分析】根据，可得，从而得到米，米，设米，则米，由，可得米，再由，可得，从而得到，求出x，即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵米，∴米，米，设米，则米，∵，∴米，又∵，∴，即：，解得，∴米，∴米．即山高为米．故选B6．【正确答案】B【分析】先由三视图得出圆柱的底面直径和高，然后根据圆柱的体积=底面积×高计算即可.【详解】解：由三视图可知圆柱的底面直径为，高为，底面半径为，，故选B．7．【正确答案】C【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接，，切线得到，求出，平行，得到，进而得到为等边三角形，推出为等边三角形，即可得出结果．【详解】连接，，则：，∵与相切于点A，∴，∵，∴，∵，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∴为等边三角形，∴，故选C．8．【正确答案】A【分析】根据圆周角定理求出∠GOD=90°，由等腰直角三角形OGD得到DG=2，利用垂径定理证明E为CG的中点，从而得到EF为△CDG的中位线即可得解．【详解】解：如图，延长CE交⊙O于点G，连接OG、OD、GD，则∠GOD=2∠DCE=2×45°=90°，∵AB是⊙O的直径，AB=4，∴OG=OD=2，∴GD=2，∵AB为⊙O的直径，CE⊥AB，∴CE=EG，∵F是CD的中点∴CF=FD，∴EF是△CGD的中位线，∴EF=GD=×2=．故选A．9．【正确答案】B【分析】由圆周角定理得到∠AED=∠ABD，再由勾股定理求出BC的长，即可求出cos∠AED的值．【详解】解：由题意可得，∠AED=∠ABD在Rt△ABC中，AC=1，AB=2，由勾股定理可得：BC=所以cos∠AED=cos∠ABD=故选B．10．【正确答案】C【分析】本题考查解直角三角形，构造出合适的直角三角形是解题的关键．连接网格中适当的格点，构造出直角三角形即可解决问题．【详解】解：如图，连接，设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理得：，，，，，在中，，故选C．11．【正确答案】B【分析】可求，从而可求，由即可求解．【详解】解：，是的两条切线，A，B是切点，，，，，，弧长，故选B．12．【正确答案】D【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、反比例函系数的几何意义，作轴于，由矩形的面积得出的面积为，解直角三角形得出，证明，求出，最后根据反比例函系数的几何意义计算即可得出答案．【详解】解：如图，作轴于，∵矩形的面积是6，∴的面积为，∵，，∴，∵对角线，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，故选D．13．【正确答案】1【分析】本题考查了抛物线的平移规律及点在抛物线上的性质，设向右平移a个单位，根据二次函数平移规律，得到新抛物线解析式，代入点建立方程求解a的值，并舍去不符合题意的解．【详解】解：抛物线向右平移a个单位后，解析式为．将点代入，得，即．整理得，解得或，即或．由于题目要求向右平移，a的值应为正数，故舍去．14．【正确答案】8【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．【详解】解：由俯视图可得最底层有个小正方体，由主视图可得第一列和第三列都有个正方体，那么最少需要个正方体．15．【正确答案】2【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而可以求得通径的长．【详解】设点A的坐标为（−2a，a），点A在x轴的负半轴，则a＝×(−2a)2，解得，a＝0（舍去）或a＝，∴点A的横坐标是−1，点B的横坐标是1，∴AB＝1−（−1）＝2，故答案为2．16．【正确答案】【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，根据二次函数的顶点坐标为，设二次函数的解析式为，把代入解析式即可得出a的值，进而可得出函数的解析式．【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，∴设二次函数的解析式为：，∵二次函数的图象经过点，∴，解得：，∴二次函数的解析式为.17．【正确答案】4【分析】过作于，根据一次函数的性质得到，则为等腰直角三角形，所以，于是，然后根据反比例函数系数的几何意义即可得到的值．【详解】解：过作于，如图，正比例函数的解析式为，，，为等腰直角三角形，，，，．故答案为4．18．【正确答案】【分析】利用勾股定理求出AO、BO的长，再由=AB×2=AO⋅BC，得出BC，sin∠AOB可得答案．【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，过点B作BC⊥OA于点C．由勾股定理，得AO=，BO=，∵=AB×OE=AO×BC，∴BC==，∴sin∠AOB==．19．【正确答案】（1）见详解（2）7.0（3）游船没有被喷泉淋到的危险【分析】（1）建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可；（2）观察图象并根据二次函数图象的性质求出最高点的坐标，设二次函数的顶点式，求解即可；（3）把代入关系式，计算出y的值与4.5比较即可．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：由图象可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米；根据图象设二次函数的解析式为，将代入得，∴抛物线的解析式为，当时，，解得或（舍去），所以喷泉的落水点距水枪的水平距离约为6.7米；（3）解：当时，，∴游船没有被喷泉淋到的危险．20．【正确答案】（1）抛物线的顶点坐标为（-2，-4）；（2）当时，；当时，；当时，；（3）当MN≤5时，m的取值范围时-4<m≤2.25．【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式，然后化为顶点式即可；（2）将点P（2，c）代入抛物线y=+4x得c=12，当时，点P（2，12）与点Q（-6，12）关于对称轴x=-2对称，结合图象即可得出结果；（3）设直线MN与抛物线对称轴交于点P，过点N作NE⊥x轴于点E，利用抛物线的基本性质及图象得出N的纵坐标的最大值为2.25，即m的最大值为2.25，即可得出结果．【详解】（1）解：∵抛物线y=a+bx经过点A（-4，0），B（1，5），∴将两点代入抛物线可得：，解得：，∴抛物线解析式为y=+4x=，∴抛物线的顶点坐标为（-2，-4）；（2）将点P（2，c）代入抛物线y=+4x得c=12，当时，点P（2，12）与点Q（-6，12）关于对称轴x=-2对称，∴，由于抛物线开口向上，∴当时，；当时，；当时，；（3）如图所示，设直线MN与抛物线对称轴交于点P，过点N作NE⊥x轴于点E，∵直线y=m与抛物线y=+4x交于点M，N，∴M，N关于抛物线对称轴x=-2对称，∴当MN≤5时，NP≤2.5，∴N的横坐标最大为2.5-2=0.5，把代入抛物线得：y=2.25，∴N的纵坐标的最大值为2.25，即m的最大值为2.25，∵抛物线的顶点坐标为（-2，-4），且顶点为最低点，M，N不重合，∴m>-4，∴当MN≤5时，m的取值范围时-4<m≤2.25．21．【正确答案】（1）直线CD与圆O相切，理由见详解；（2）【分析】（1）连接证明可得从而可得答案；（2）由设则再求解再表示再利用列方程解方程，可得答案．【详解】解：（1）直线CD与圆O相切，理由如下：如图，连接为的半径，是的切线．（2）设则（负根舍去）的半径为：22．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】（1）根据四边形是正方形，为直径，得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）连接，根据三角形的内角和得到，根据圆周角定理得到，根据弧长公式即可得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，为的直径，∴，∴，，∴，在与中，，∴；（2）解：连接，

∵，，∴，∴，∵四边形是边长为4的正方形∴∴的长度为．23