有理数的乘法（第一课时）-北师大版数学七年级上册教学设计

有理数的乘法（第一课时）——北师大版数学七年级上册教学设计一、教学内容分析  本节内容选自北师大版数学七年级上册第二章《有理数及其运算》第8节，是学生在掌握了有理数概念及加减运算后，对数系运算规则的又一次重要扩展。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，本课位于“数与代数”领域，核心要求是“掌握有理数的乘法运算”，这不仅是运算技能层面的积累，更是学生从算术思维向代数思维过渡、从非负有理数域向全体有理数域拓展的关键节点。在单元知识链中，乘法法则作为乘除运算的基石，其理解的深度与熟练度直接关系到后续除法、乘方乃至整个代数式的运算学习。课标蕴含的“模型思想”与“推理能力”在本课具象化为：如何从现实情境或已有数学事实中抽象出乘法运算的模型，并基于逻辑（如用运算律保持运算的和谐性）归纳出完整的符号法则。其育人价值在于，通过探索“负负得正”这一反直觉的规则，引导学生体验数学规定的合理性与逻辑自洽性，感受数学的理性精神与严谨之美，从而发展数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养。  从学情研判，学生已具备非负有理数（正数及零）的乘法运算经验和有理数加减法的符号处理基础，但对引入负数后的乘法意义感到陌生，尤其是“负数乘负数得正数”缺乏现实原型，易产生认知冲突与困惑。多数学生的兴趣点在于规则背后的“道理”，而非机械记忆。可能的思维难点在于：一是难以脱离具体情境理解抽象的符号运算；二是容易将加法与乘法的符号法则混淆。基于此，教学调适应遵循“从具体到抽象”的认知路径，设计丰富的现实情境和数学探究活动，让不同思维水平的学生都能找到理解的支点。对于直觉型学生，提供直观模型（如数轴、温度变化）；对于逻辑型学生，引导其从运算律的角度进行演绎推理。通过设置梯度任务、小组协作与即时反馈，动态评估学生对法则生成过程的理解与对运算技能的掌握，并适时提供个性化的指导与支持。二、教学目标  在知识维度，学生将经历有理数乘法法则的归纳过程，不仅能够准确叙述“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”的法则，以及“任何数与0相乘都得0”的规定，更能结合数轴或现实情境解释法则的合理性，特别是理解“负负得正”的内在逻辑，从而构建起完整、有意义的有理数乘法认知结构。  在能力维度，学生将通过观察、比较、归纳等一系列数学活动，发展从特例中抽象一般规律的归纳推理能力；并能在具体算理与抽象法则之间灵活转换，准确、熟练地进行有理数乘法运算，初步形成符号意识和运算能力。  在情感态度与价值观维度，学生将在探究“看似矛盾”的数学规则过程中，体验数学的确定性与和谐美，克服对抽象规则的畏难情绪，激发求知欲与好奇心，并在小组合作学习中养成倾听、质疑、有条理表达的科学交流习惯。  在学科思维维度，本节课重点发展学生的模型思想与归纳推理能力。通过将实际问题“翻译”成数学算式，并从中归纳普适性法则，学生将亲历数学建模的初级过程；通过分析算式特征、发现符号规律，锻炼从特殊到一般的归纳思维。  在评价与元认知维度，引导学生有意识地反思法则归纳的全过程，评估自己是从何种角度（情境意义或数学逻辑）理解法则的，并能在练习后运用法则校验计算结果的合理性，初步养成自我监控的学习策略。三、教学重点与难点  教学重点：有理数乘法法则的归纳与运用。确立依据在于，该法则是本章乃至整个初中阶段代数运算的核心规则之一，是后续学习除法、乘方及整式运算的逻辑基础。从学业评价看，有理数乘法运算是高频基础考点，其掌握的熟练度与准确度直接影响后续复杂运算的成败，是体现数学运算素养的关键技能。  教学难点：对乘法法则，特别是“负数乘负数得正”的理解与接受。预设依据源于学情分析：学生缺乏相应的生活经验作为直观支撑，认知跨度大。常见错误表现为符号判断失误，其根源往往在于对法则的机械记忆而非真正理解。突破方向在于，通过设计连贯的、具有启发性的数学情境（如数轴上的运动），让学生亲历法则的“再发现”过程，体会其规定的必要性与合理性，从而跨越从“记忆”到“理解”的鸿沟。四、教学准备清单1.教师准备  1.1媒体与教具：交互式课件（内含动态数轴演示、情境动画）、几何画板软件、磁性数轴模型板、不同颜色磁贴。  1.2文本与材料：分层学习任务单（含探究记录表、分层练习）、小组合作评价量规卡。2.学生准备  2.1知识预备：复习有理数的概念、绝对值及数轴表示，回顾小学正数乘法意义。  2.2学具：直尺、铅笔，以及用于课堂练习的草稿本。3.环境布置  课桌椅按“异质分组”原则布置为46人小组，便于合作探究。黑板预先划分出“法则探索区”、“范例展示区”和“学生生成区”。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设（认知冲突）：同学们，我们学过，气温上升5摄氏度记作+5℃，下降5℃记作5℃。现在有个有趣的问题：如果某地气温以每小时下降2℃的速度变化，请问3小时前的气温与现在相比，是高了还是低了？变化了多少度？大家有没有想过，如果温度连续下降，我们该怎么计算呢？  1.1问题提出与路径明晰：我听到有同学试着列式。这涉及到“下降”（负数）和“之前”（时间上的回溯）的复合关系。这正是我们今天要攻克的核心问题：有理数的乘法。本节课，我们将化身“数学侦探”，从熟悉的数轴和实际问题出发，通过一系列线索（算式），自己归纳出有理数乘法的完整法则。首先，让我们从最简单的情形入手，唤醒老朋友——正数的乘法。第二、新授环节任务一：温故知新——确立探究起点  教师活动：教师在数轴模型板上，用磁贴演示一个点从原点出发，以每秒向右（规定为正方向）3个单位的速度运动。提问：“运动2秒后，位置在哪儿？如何用算式表示？”（板书：3×2=6）。追问：“这里‘3’、‘2’、‘6’分别代表什么实际意义？”引导学生明确：3是速度（正数代表向右），2是时间（正数代表未来），6是最终位置（在原点右侧，结果为正）。强调乘法作为“连续相加”的本质与方向、时间的对应关系。好，模型建立了，接下来我们改变条件。  学生活动：观察教师演示，齐答或个别回答教师提问。在任务单上记录实例及算式，理解正数乘法在数轴运动模型中的几何意义（速度、时间与位移的对应）。  即时评价标准：1.能否准确将运动情境转化为乘法算式。2.能否清晰解释算式中每个数的实际含义。3.小组内能否就模型意义达成共识并进行交流。  形成知识、思维、方法清单：★探究基点：确立“速度×时间=位移”的物理模型作为理解有理数乘法的认知锚点。速度的正负代表方向，时间的正负代表未来/过去。▲数形结合：将抽象的乘法运算与直观的数轴位置变化相结合，为后续探索提供可视化工具。任务二：初探异号——当方向与时间反向  教师活动：现在，侦探游戏升级！抛出关键问题链：“如果速度是向左的，记为3（单位/秒），那么运动2秒（未来）后，位置在哪？请用数轴和算式表示。”（预期学生得出(3)×2=6）“这个6如何理解？”（在原点左侧6单位）。紧接着，改变时间因素：“如果还是向右每秒3个单位，但我们要找的是2秒前的位置呢？时间如何表示？算式呢？”（引导学生得出3×(2)=6）“看，(3)×2和3×(2)都等于6，这巧合吗？”大家观察这两个式子，因数、积的绝对值、积的符号之间，藏着什么规律呢？  学生活动：分小组利用手中的数轴画图或进行角色扮演，模拟两种情境。尝试独立列出算式，并通过数轴验证结果。小组讨论教师提出的问题，初步归纳：当一个因数为负时，积为负；积的绝对值等于因数绝对值的积。  即时评价标准：1.能否独立或合作完成情境向算式的正确转化。2.画图或演示是否准确体现方向与时间的变化。3.讨论时能否提出自己的观察，并倾听同伴意见。  形成知识、思维、方法清单：★异号相乘法则：正数乘负数，或负数乘正数，其结果为负，绝对值相乘。▲意义理解：(3)×2可理解为向反方向连续运动，3×(2)可理解为向正方向回溯过去，结果都在原点另一侧。思维拐点：认识到“负号”在不同情境下可代表“方向相反”或“时间逆转”。任务三：挑战核心——揭秘“负负得正”  教师活动：呈现终极情境：“点以每秒向左3个单位（速度3）运动，请问2秒前它在什么位置？”给予学生充足的探究时间。这是本节课的“思维高峰”，大家别急，我们可以用两种方法来推理。方法一：回到数轴，现在的位置是原点，2秒前，它应该在哪边？方法二：利用刚刚发现的规律和乘法运算律来猜想。有同学眉头紧锁了，我们一起来攻坚。  学生活动：小组展开深度探究。部分学生尝试在数轴上从原点“倒推”：现在向左，那么过去应该是从某点向右运动到现在原点，从而确定过去的位置在右侧。部分学生可能尝试逻辑推导：因为(3)×2=6，那么(3)×(2)是否应该与之相反？教师可适时提示观察规律延续性。最终努力得出(3)×(2)=6的结论。  即时评价标准：1.能否尝试用至少一种方法（数形或逻辑）进行探索。2.小组探究是否有序，能否记录下不同的思路甚至错误尝试。3.得出的结论是否有合理的解释支撑。  形成知识、思维、方法清单：★“负负得正”法则：负数乘负数，结果为正，绝对值相乘。★法则的合理性：这是本课最难也是最美的部分。从数轴看，是运动的双重反向（方向反+时间反）导致结果回到正侧；从数学结构看，是为了保持乘法分配律等运算律在有理数范围内依然普适。科学精神：接受一个数学规则，不仅因为“规定如此”，更因为它在逻辑和体系上是和谐、必要的。任务四：归纳整合——形成完整法则  教师活动：将前面探索的所有类型算式（正×正、正×负、负×正、负×负，以及0参与的乘法）集中展示在黑板上。发起总攻式提问：“观察所有这些‘战利品’，谁能像一个真正的数学家一样，用最简洁、最完整的语言，概括出有理数乘法的‘终极法则’？”鼓励不同学生尝试表述，教师引导其精炼语言。最后，通过课件动态呈现法则的文字叙述和符号表达。别忘了，还有0这个特殊数呢，任何数乘0，结果？  学生活动：独立观察、对比全部算式，尝试用自己的语言总结符号与绝对值运算的规律。积极参与全班分享，在倾听和辩论中完善表述。最终与教师共同确认完整、准确的有理数乘法法则，并齐读或默记。  即时评价标准：1.归纳的表述是否全面覆盖所有情况。2.语言是否准确、简洁、数学化。3.能否指出他人归纳中的遗漏或不当之处。  形成知识、思维、方法清单：★有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0。★归纳与抽象：这是从大量具体实例中提炼普遍规律的经典数学思维过程。结构化记忆：将法则分解为“符号判定”和“绝对值运算”两个步骤，是准确运算的操作指南。任务五：初步应用——法则的格式化操作  教师活动：现在，让我们把刚发现的法则投入实战。板书示范计算：(4)×(5)，并清晰展示两个步骤：“第一步，定符号：同号得正；第二步，算绝对值：4×5=20。所以结果是+20，通常简写为20。”再举一例：6×(2/3)，强调分数参与运算时步骤不变。然后，请几位同学上台尝试计算如(7)×3,0×(5.2)等题。台下的同学做评委，重点看他们的步骤是否清晰。  学生活动：认真观察教师示范，理解“先定号，后算值”的格式化操作流程。自愿或受邀上台板演，其余学生在任务单上同步练习。对板演进行评价，重点关注步骤的规范性和结果的正确性。  即时评价标准：1.计算过程是否体现明确的“两步走”思路。2.绝对值计算是否准确，尤其是涉及分数时。3.能否发现并纠正他人演示中的步骤缺失或错误。  形成知识、思维、方法清单：★运算步骤：先确定积的符号，再计算绝对值。这是程序化思维在数学运算中的应用，能有效减少错误。▲易错警示：切勿符号与绝对值计算混淆或同时进行；注意“”号是负号还是减号（在算式中区分）。习惯养成：规范的步骤是运算准确性的重要保障，应从第一次应用开始培养。第三、当堂巩固训练  设计核心：构建分层、变式的训练体系，并提供及时反馈。  基础层（全体必做）：完成学习任务单上的“熟练通关”部分，共8题，直接应用法则进行基本计算，如(3)×4,5×(0.6)，(1/2)×(2/3)，0×(10)等。旨在巩固符号判定与绝对值乘法的基本技能。反馈方式：学生完成后，教师投影答案，同桌互换批改，统计常见错误（如符号错误、分数乘法出错），教师针对共性问题进行1分钟精讲。“看来大家对异号相乘的符号把握还需要再果断一些。”  综合层（多数学生挑战）：完成任务单“灵活运用”部分。题目融入简单情境或稍复杂数字，如“海拔每升高1千米气温下降6℃，现地面气温20℃，求3千米高空的气温（列式并计算）”；计算(125)×(8)×(0.1)，考察连续乘法的符号判定。反馈方式：邀请不同思路的学生分享解题过程，特别是情境题如何转化为乘法算式。教师强调数学建模的第一步是准确翻译。  挑战层（学有余力选做）：提供一道思维拓展题：“已知a,b是两个有理数，且a×b<0,a+b>0，请判断a和b的符号特征，并举例说明。”此题涉及乘法法则的逆用和分类讨论。反馈方式：请做出来的学生在小组或全班讲解思路，教师提炼其中蕴含的逻辑推理方法。第四、课堂小结  设计核心：引导学生进行结构化总结与元认知反思。  知识整合：“好了，同学们，今天我们一起‘创造’了有理数的乘法法则。现在，请大家闭上眼睛回忆一下，我们是沿着怎样的路径走到这里的？你能用几个关键词或者一个简单的框架图来表示吗？”邀请学生分享学习路径（如：从实际例子出发→探索各种情况→归纳法则→练习应用），教师板书形成思维导图骨架。  方法提炼：“回顾整个过程，你认为最重要的数学思想方法是什么？”引导学生总结出“数形结合”（数轴模型）、“从特殊到一般”（归纳法则）、“分类讨论”（分正负零多种情况）等。  作业布置与延伸：公布分层作业（详见第六部分）。并留下一个“悬念”：“今天我们发现，乘法中‘负负得正’。那么，在接下来要学的有理数除法中，符号法则又会是怎样的呢？大家可以先猜一猜。”建立与下节课的自然联系，激发持续探究的兴趣。六、作业设计  基础性作业（必做）：1.教科书对应章节后的基础练习题（第1、2题）。2.自行编写两个符合“异号得负”法则和两个符合“同号得正”法则的有理数乘法算式并计算。  拓展性作业（建议完成）：1.生活应用题：查阅资料，了解银行存款利率（正增长）与贷款利息（可视为负增长）的概念，尝试设计一个与有理数乘法相关的简单金融问题并解答。2.计算题：包含分数、小数的混合符号乘法运算5道，要求写出详细步骤。  探究性/创造性作业（选做）：1.数学小论文（雏形）：以“为什么‘负负得正’？”为题，结合今天课堂的探索，尝试从至少两个不同的角度（如数轴模型、运算律保持、生活类比等）阐述你对这一规则的理解，字数不限，说清即可。2.设计一个游戏或谜题，其谜底或规则需要运用有理数乘法法则才能解开。七、本节知识清单及拓展  ★1.有理数乘法的基本模型：常以“速度×时间=位移”为情境原型，其中速度符号表示方向，时间符号表示未来/过去。这是理解法则现实意义的重要基础。▲提示：可类比其他均匀变化过程，如水位升降、账户收支等。  ★2.有理数乘法法则（文字）：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0。这是运算的核心依据，必须准确记忆。  ★3.有理数乘法法则（操作步骤）：第一步：定符号（依据法则）；第二步：算绝对值（将两因数的绝对值相乘）。两步顺序可确保思维清晰，减少错误。  ★4.“负负得正”的理解：这是本课难点与重点。其合理性可从两方面理解：一是几何直观（如数轴上双重反向运动回到正向）；二是数学逻辑（为保持乘法对加法的分配律在有理数范围内成立）。提示：不必强求一次性完全理解其哲学深度，但应接受其逻辑自洽性。  ▲5.与加法符号法则的区分：加法看“类别”（同号相加取同号，异号相加看绝对值大小）；乘法看“种类”（仅凭同号、异号即可判定结果符号）。这是易混点，对比学习效果更佳。  ★6.含有0的乘法：“任何数乘0得0”是一个强规定，它简化了许多情况，且与“0个某数相加”的实际意义相符。  ▲7.分数与小数的乘法：法则完全适用。运算时，先确定符号，再将分数/小数视为其绝对值进行计算。带分数应先化为假分数。  ★8.运算中的符号书写规范：两个负数相乘，括号使用要规范，如(2)×(3)。结果为正时，正号通常省略。避免将乘号“×”与字母“x”混淆。  ▲9.多个有理数连乘的符号判定：多个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：若负因数有奇数个，则积为负；有偶数个，则积为正。这是对基本法则的推广。  ▲10.乘法法则的逆用：已知积的符号和绝对值，可以反推因数的符号特征。常用于解决一些逻辑判断问题，如知识清单后的挑战题。  ★11.核心数学思想：数形结合思想（以数轴为桥）、归纳推理思想（从特例到一般）、模型思想（实际问题数学化）。这些思想比单一知识更重要。  ▲12.历史与文化视角：“负数”和“负负得正”规则被完全接受经历了漫长过程，在中国古代《九章算术》中已有负数的记载与运算。了解数学概念的发展史，能增进对数学本质的理解。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析：从课堂观察与巩固练习反馈看，绝大多数学生能准确叙述乘法法则并完成基础运算，知识目标基本达成。在能力目标上，学生参与探究活动积极，能跟随任务进行观察与归纳，但在将现实情境（如挑战层的金融问题）自主转化为数学模型的灵活性上显现差异，部分学生仍需引导。情感目标方面，学生在揭秘“负负得正”时表现出的惊奇与顿悟，是本节课的亮点，科学探究的氛围初步形成。元认知目标的渗透主要通过小结环节的路径回顾实现，但引导学生深度反思个人学习策略的环节尚显薄弱。  （二）教学环节有效性评估：  1.导入环节：气温变化的情境有效制造了认知冲突，成功激发了学生的探究欲望。“3小时前气温如何变化”这个问题，像一颗石子投入平静的湖面，激起了思维的涟漪。  2.新授环节（核心任务）：五个任务构成的“脚手架”整体上梯度合理。任务二（初探异号）是关键的过渡，学生在这里表现得比较顺畅。任务三（负负得正）是预设的“思维高峰”，实际教学中，尽管提供了数轴倒推和规律延续两种路径，仍有约三分之一的学生在自主探究时遇到较大困难，需要教师介入搭建更细的阶梯，例如先引导思考“2秒前的位置，与‘现在’和‘2秒后’的位置有什么关系？”。我意识到，这里的“脚手架”间隙对部分学生来说还是宽了。下次可以设计一个“中间问题链”：先问“速度3，运动1秒后在哪？”（结果是正），再过渡到2秒，降低跳跃性。  3.巩固与小结环节：分层练习满足了不同需求，挑战题有学生能给出精彩分析，说明差异化设计是有效的。小结时学生自主构建学习路径图，比教师直接复述更能促进知识的结构化。  （三）学生表现的深度剖析：在小组活动中，思维活跃的学生（A类）往往充当“先行者”和解释者，他们能快速发现规律并试图逻辑自洽。大多数学生（B类）在同伴和教师的引导下能跟上节奏，理解法则的来龙去脉。少数学习困难学生（C类）在抽象符号运算环节容易掉队，他们更依赖数轴等直观工具和反复的步骤模仿。本节课对C类学生的个别关注主要体现在任务单的差异化提示和巡视时的单独辅导，但如何在集体探究中更好地“隐形”支持他们，仍是需要改进之处。例如，在任务三，可以为C类学生准备一份带有部分提示的“探究辅助卡”。  （四）教学策略得失与改进计划：  得：1.坚持从意义出发，用