西安专升本数学试题及答案

西安专升本数学试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.函数\(y=\frac{1}{x-1}\)的定义域是（）A.\(x\neq0\)B.\(x\neq1\)C.\(x\gt1\)D.\(x\lt1\)2.极限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值为（）A.0B.1C.2D.不存在3.函数\(y=x^2\)在点\(x=1\)处的导数为（）A.0B.1C.2D.34.不定积分\(\intxdx\)等于（）A.\(\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(x^2+C\)C.\(\frac{1}{3}x^3+C\)D.\(2x+C\)5.设\(f(x)\)是连续函数，则\(\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}f(t)dt\)等于（）A.\(f(0)\)B.\(f(x)\)C.\(f^\prime(x)\)D.06.若\(y=e^{2x}\)，则\(y^\prime\)等于（）A.\(e^{2x}\)B.\(2e^{2x}\)C.\(\frac{1}{2}e^{2x}\)D.\(e^{x}\)7.曲线\(y=x^3-3x\)的驻点是（）A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x=-1\)和\(x=1\)D.\(x=0\)和\(x=1\)8.定积分\(\int_{0}^{1}2xdx\)的值为（）A.0B.1C.2D.39.函数\(y=\cosx\)的一个原函数是（）A.\(\sinx\)B.\(-\sinx\)C.\(\tanx\)D.\(-\tanx\)10.设\(z=x^2y\)，则\(\frac{\partialz}{\partialx}\)等于（）A.\(2xy\)B.\(x^2\)C.\(2x\)D.\(y\)二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列函数中，为偶函数的有（）A.\(y=x^2+1\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=x^3\)D.\(y=\sinx\)2.下列极限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}\)3.下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理条件的有（）A.\(y=x^2\)，\([0,1]\)B.\(y=\frac{1}{x}\)，\([-1,1]\)C.\(y=\sqrt{x}\)，\([0,1]\)D.\(y=|x|\)，\([-1,1]\)4.下列积分计算正确的有（）A.\(\int_{-1}^{1}x^3dx=0\)B.\(\int_{-1}^{1}x^2dx=\frac{2}{3}\)C.\(\int_{0}^{2\pi}\sinxdx=0\)D.\(\int_{0}^{2\pi}\cosxdx=0\)5.设\(f(x)\)是可导函数，则下列等式成立的有（）A.\(\intf^\prime(x)dx=f(x)+C\)B.\(\frac{d}{dx}\intf(x)dx=f(x)\)C.\(\intdf(x)=f(x)+C\)D.\(d\intf(x)dx=f(x)dx\)6.下列级数收敛的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}2^n\)7.设\(z=x+y\)，则（）A.\(\frac{\partialz}{\partialx}=1\)B.\(\frac{\partialz}{\partialy}=1\)C.\(dz=dx+dy\)D.\(dz=2dx+2dy\)8.下列方程中为一阶线性微分方程的有（）A.\(y^\prime+y=x\)B.\(y^\prime+xy=x\)C.\(y^\prime+y^2=x\)D.\(y^\prime+\frac{y}{x}=x\)9.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(2,1)\)，则（）A.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=4\)B.\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)夹角为锐角C.\(|\vec{a}|=\sqrt{5}\)D.\(|\vec{b}|=\sqrt{5}\)10.曲线\(y=x^3-3x^2+2x\)的拐点有（）A.\((1,0)\)B.\((0,0)\)C.\((2,0)\)D.\((\frac{3}{2},-\frac{3}{8})\)三、判断题（每题2分，共20分）1.若\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)\)存在，则\(f(x)\)在\(x_0\)处一定有定义。（）2.函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处可导，则在该点一定连续。（）3.若\(f(x)\)为偶函数，则\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)。（）4.不定积分\(\intf(x)dx\)的结果是唯一的。（）5.若\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处的两个偏导数都存在，则\(z=f(x,y)\)在该点一定可微。（）6.级数\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收敛，则\(\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0\)。（）7.函数\(y=\sinx\)在区间\([0,2\pi]\)上的最大值为1。（）8.微分方程\(y^\prime+y=0\)的通解是\(y=Ce^{-x}\)。（）9.若\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec{b}=\vec{0}\)。（）10.曲线\(y=x^2\)在点\((0,0)\)处的切线方程是\(y=0\)。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.简述函数可导与连续的关系。2.求不定积分\(\int(2x+1)dx\)。3.求函数\(y=x^3-3x^2+2\)的单调区间。4.简述定积分的几何意义。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数\(y=\frac{1}{x-2}\)的间断点类型。2.讨论级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)的敛散性。3.讨论二元函数\(z=x^2+y^2\)的极值情况。4.讨论微分方程\(y^\prime-2y=e^x\)的求解方法。答案一、单项选择题1.B2.B3.C4.A5.B6.B7.C8.B9.A10.A二、多项选择题1.AB2.BCD3.AC4.ABCD5.ABCD6.AC7.ABC8.ABD9.ABCD10.AD三、判断题1.×2.√3.√4.×5.×6.√7.√8.√9.×10.√四、简答题1.函数可导则一定连续，但连续不一定可导。可导意味着函数在该点的变化率存在，而连续只是函数在该点极限值等于函数值。2.根据不定积分公式\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n\neq-1)\)，\(\int(2x+1)dx=\int2xdx+\int1dx=x^2+x+C\)。3.对\(y=x^3-3x^2+2\)求导得\(y^\prime=3x^2-6x\)，令\(y^\prime>0\)，解得\(x<0\)或\(x>2\)，单调增区间为\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)；令\(y^\prime<0\)，解得\(0<x<2\)，单调减区间为\((0,2)\)。4.定积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)的几何意义是：当\(f(x)\geq0\)时，表示由曲线\(y=f(x)\)，直线\(x=a\)，\(x=b\)和\(x\)轴所围成的曲边梯形的面积；当\(f(x)\)有正有负时，表示各部分面积的代数和。五、讨论题1.函数\(y=\frac{1}{x-2}\)在\(x=2\)处无定义，\(\lim\limits_{x\to2^+}\frac{1}{x-2}=+\infty\)，\(\lim\limits_{x\to2^-}\frac{1}{x-2}=-\infty\)，所以\(x=2\)是无穷间断点。2.当\(p>1\)时，级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)收敛；当\(p\leq1\)时，级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)发散。可通过积分判别法等方法证明。3.对\(z=x^2+y^2\)求偏导数，\(\frac{\partialz}{\partialx}=2x\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=2y\)，令\(\frac{\partialz}{\partialx}=0\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=0\)，得驻点\((0,0)\)。\(A=\frac{\partial^2z}{\partialx^2}=2\)，\(B=\frac{\part