重庆市西南大学附中2025-2026学年高一上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

西南大学附中2025-2026学年度上期期末考试高一数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1、答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2、答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，则（）A. B. C. D.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.下列函数中周期为，且为偶函数的是（）A B. C. D.4.已知角的终边过点，则的值为（）A. B. C. D.5.将函数图象上每个点向左平移个单位长度，再将所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍．所得图象的函数解析式是（）A. B.C. D.6.已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（）A.2 B.0 C.-2 D.47.已知函数，若，则的最小值为（）A.2 B.1 C. D.8.已知，则（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.（多选）下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.已知函数是定义在上奇函数，当时，，则下列结论正确的有（）A.B.当时，C.分别在区间与上单调递增D.的解集为11.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.B.若时，函数的图象关于点对称C.若函数在上单调递减，则D.若方程在内有20个不同的实数根，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的定义域为___________．13______.14.对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为伪奇函数．若函数为伪奇函数，则的取值范围是___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知关于的一元二次不等式的解集．（1）求实数的值；（2）集合，且，求实数的取值范围．16.已知函数最小正周期为．（1）求的值和函数的单调递增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象对应函数记为，求函数在上的值域．17.已知为一个三角形两个内角，且．（1）求的值；（2）求代数式的值；（3）求角的值．18.已知函数，函数（1）求的解集；（2）若时，函数恒成立，求的取值范围；（3）若方程有四个不同的实数根，求的取值范围．19.高斯（Gauss）是德国著名数学家，被认为是历史上最杰出的数学家之一，并享有“数学王子”之称．用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，，已知函数．（1）当时，求和的值；（2）当时，函数的值域为，求实数的取值范围；（3）设为正整数，函数，证明：对任意的实数．

西南大学附中2025-2026学年度上期期末考试高一数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1、答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2、答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根据集合交集运算求解即可.【详解】因为，所以.故选：B2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先解绝对值不等式，再根据充分，必要条件的概念判断即可.【详解】解不等式得，因为“”是“”的充分不必要条件,所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A3.下列函数中周期为，且为偶函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出各选项的周期，结合奇偶性判断即得.【详解】对于A，函数的最小正周期为，令，则，且，故该函数为非奇非偶函数，故A错误.对于B，函数的最小正周期为，经过翻折变换周期不变，即的最小正周期为，令，则，，故该函数为偶函数，故B正确.对于C，函数的最小正周期为且函数为偶函数，的最小正周期为，故C错误.对于D，函数是最小正周期为，令，则，，故该函数为奇函数，故D错误.故选：B.4.已知角的终边过点，则的值为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用诱导公式化简所求式，再由三角函数的定义计算即得.【详解】原式=,因角的终边过点，则,故的值为.故选：A.5.将函数图象上每个点向左平移个单位长度，再将所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍．所得图象的函数解析式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正弦型函数图象平移变换和伸缩变换规律，得到最终函数解析式.【详解】把函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象.故选：D6.已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（）A.2 B.0 C.-2 D.4【答案】B【解析】【分析】由奇偶性和对称性得出该函数的周期，再利用周期性与对称性将所求转化到给定区间内即可求解.【详解】由题意得，又故，即，所以，故为周期为的周期函数.所以，同理，又，令得，所以.，所以.故选：B7.已知函数，若，则的最小值为（）A.2 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性及单调性，可得，由基本不等式可得的最小值.【详解】由题知函数定义域为R，，所以为奇函数，所以，又令，易知在R上单调递减，所以在R上单调递减，所以即，所以有，由基本不等式得，所以，解得，当且仅当时等号成立，此时，最小值为.故选：C8.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据三角函数的两角和公式将展开，再结合已知条件即可求出的值.【详解】，，即，，又，，将代入该式得，，即，又.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.（多选）下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】根据，结合不等式性质判断A；利用作差法比较大小，结合平方差公式判断B；取判断C；利用作差法比较大小判断D.【详解】对于A，若，则，故，正确；对于B，由知，所以，即，故正确；对于C，令，满足，，故错误；对于D，由知，所以，即，故正确.故选：ABD10.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的有（）A.B.当时，C.分别在区间与上单调递增D.的解集为【答案】BCD【解析】【分析】根据奇函数判断A；根据奇函数的对称性求解解析式判断B；先研究函数在时的单调性，再结合其偶函数的性质讨论时的单调性，进而判断C；转化为解或判断D.【详解】A，因为函数是定义在上的奇函数，故，A错误；B，设，则，，因为函数是定义在上的奇函数，，所以时，，B正确；C，当时，，所以，当时，，当时，，所以，当时，，由于函数在上为增函数，在上为减函数，所以，当时，在上单调递减，在上为单调递增，在上的奇函数，设，则，即为偶函数，所以在对称区间上的单调性相反，即时，在上单调递增，在上为单调递减，综上，分别在区间与上单调递增，故C正确；D，或，解不等式得或，所以的解集为，故D正确.故选：BCD11.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.B.若时，函数的图象关于点对称C.若函数上单调递减，则D.若方程在内有20个不同的实数根，则【答案】ACD【解析】【分析】根据的最大值为且过点判断A；直接求解对称中心判断B；将问题转化为在单调递减求解判断C；将问题转化为函数在内有20个不同的实数根求解判断D.【详解】对于A，由图可知的最大值为且过点，故，又，由，可得，故，故A正确；对于B，当时，，因，故B错误；对于C，函数在上单调递减，则，解得；当时，，因为函数在上的单调递减区间为，，解得，即，故C正确；对于D，方程在内有20个不同的实数根等价于在内有20个不同的实数根，由可得，即方程在内有20个不同的实数根，由于方程在内的实数根为和，故要使方程在内有20个不同的实数根，则需使，解得，即，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的定义域为___________．【答案】【解析】【分析】根据二次根式和分式的意义求解即可.【详解】要使函数有意义，则，解得且所以函数的定义域为故答案为：13.______.【答案】1【解析】【分析】应用商数关系、和差角的正余弦公式及诱导公式化简即可得出结果.【详解】方法一：原式=.方法二：令，即.，则，即，即，则.故答案为：114.对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为伪奇函数．若函数为伪奇函数，则的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】根据伪奇函数的定义，分情况讨论的取值，进而得到关于的表达式，再通过分析表达式的取值范围来确定的取值范围.【详解】当时，，，，由，得，所以，令，因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，当时，，当时，，，所以，所以，即；当时，，，，由，得，所以，令，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，当时，，当时，，，所以，所以，即；综上，.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知关于的一元二次不等式的解集．（1）求实数的值；（2）集合，且，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可得和2为方程的根，且，进而结合韦达定理求解即可；（2）先求出集合，由可得，进而结合包含关系求解即可.【小问1详解】由题意，和2为方程的根，且，则，解得.【小问2详解】由，得，则或，即或，所以或，因为，所以，则或，解得或，则实数的取值范围为．16.已知函数的最小正周期为．（1）求的值和函数的单调递增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象对应函数记为，求函数在上的值域．【答案】（1），单调递增区间为（2）【解析】【分析】（1）先根据三角恒等变换公式化简，进而结合周期公式求得，再结合正弦函数的单调性求解单调递增区间；（2）根据函数平移得到，进而结合正弦函数的性质求解即可.【小问1详解】由，则，即，所以，令，解得，所以函数的单调递增区间为.【小问2详解】由题意，，当时，，则，即，所以函数在上的值域为．17.已知为一个三角形的两个内角，且．（1）求的值；（2）求代数式的值；（3）求角的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用两角和的正切公式求解；（2）由，利用同角三角函数基本关系式求解；（3）利用两角和的正切公式求解.【小问1详解】由，解得；【小问2详解】由（1）知：，所以；【小问3详解】因为为一个三角形的两个内角，且，所以，由（1）知：，所以，又，则，所以，所以.18.已知函数，函数（1）求的解集；（2）若时，函数恒成立，求的取值范围；（3）若方程有四个不同的实数根，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）分和直接解对应的指数不等式与一元二次不等式的解集，再求并集即可；（2）根据分离参数的方法，将问题转化为对任意的上的实数恒成立，再结合基本不等式求解在上的最小值即可；（3）作出图象，令，进而根据图象，将问题转化为有2个不相等的实数根，且满足①，，②，，③，，④，四种情况，再分别讨论四种情况下二次函数的根的分布即可求得答案.【小问1详解】解：当时，，即，解得，所以，当时，的解集为；当时，，即，解得，所以，当时，的解集为综上，的解集【小问2详解】解：若时，函数恒成立，，所以对任意的上的实数恒成立，即对任意的上的实数恒成立，因为，，所以对任意的上的实数恒成立，故只需求在上的最小值即可.令，则，当且仅当时取得等号，即时，取得最小值.所以，即的取值范围【小问3详解】解：令，则，如图，当时，无实数根，当时，有1个实数根，当时，有2个实数根，当时，有3个实数根，当时，有2个实数根，当时，有1个实数根，所以，要使方程有四个不同实数根，则的实数根有以下几种情况：①有2个不相等的实数根，且，②有2个不相等的实数根，且，③有2个不相等的实数根，且，④有2个不相等的实数根，且，下面分别讨论四种情况：①有2个不相等的实数根，且，，由，解得，此时，解得，，满足题意.所以.②有2个不相等的实数根，且，由开口向上，故