巧用“小括号”改变运算顺序-小学三年级数学《混合运算》单元教学深化设计

巧用“小括号”改变运算顺序——小学三年级数学《混合运算》单元教学深化设计一、教学内容分析

从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，本课隶属于“数与代数”领域中的“数与运算”主题。其核心在于引导学生理解整数四则运算的意义，并掌握基本的运算能力。具体到知识技能图谱，学生在此之前已经掌握了加减乘除的基本运算以及不含括号的两步混合运算顺序（先乘除后加减），本节课将引入“小括号”这一全新的数学符号，其认知要求从“理解”跃升至“应用”。它在单元知识链中起着关键的承上启下作用：向上，是未来学习含有中括号、大括号的复杂运算，乃至代数式运算的逻辑基础；向下，它巩固和挑战了学生对既有运算顺序规则的认知，是培养其规则意识与符号意识的重要节点。在过程方法上，本节课蕴含了“模型意识”与“推理意识”的萌芽。学生需要从具体的生活问题情境中，抽象出需要使用小括号的数学模型，并基于规则进行逻辑推理，确定计算步骤。这要求教学设计不能停留在机械记忆“有括号要先算括号里面的”这一规则，而应创设认知冲突，让学生经历“为何需要括号—括号如何改变顺序—应用括号解决问题”的完整探究过程。在素养价值渗透层面，小括号的引入是发展学生“运算能力”与“创新意识”的绝佳载体。它让学生直观感受到数学符号的创造性和力量——仅仅增加一个简单的符号，就能精准地改变运算的逻辑结构，从而解决原先算式无法直接表达的复杂数量关系，这种体验对培养严谨、灵活的数学思维至关重要。

基于“以学定教”原则进行学情研判，学生已具备两步混合运算的基础，但对运算顺序的理解可能仍停留在机械记忆层面。其生活经验中隐含着“先算某部分”的需求（如“一共需要多少钱”常需先算部分和），但尚未与数学符号建立联系。可能的认知误区在于：一是对括号的功能理解片面，可能认为括号只是“圈起来”而非“改变优先级”；二是在脱式计算的书写格式上容易出错，特别是处理括号内算式的步骤。为动态把握学情，教学将设计“前测”问题（如呈现一个需要先算加法但按现有顺序无法实现的问题情境）和贯穿课堂的“核心任务探究单”，通过观察学生的列式尝试、倾听小组讨论、分析随堂练习，实时诊断其思维障碍点。针对不同层次学生，教学调适策略包括：对于基础薄弱学生，提供“分步问题图示”和“计算步骤脚手架”作为支持；对于大多数学生，通过对比、辨析不同算式的活动深化理解；对于学有余力者，则引导其尝试自创情境来“挑战”运算顺序规则，激发其探究符号本质的兴趣。二、教学目标

知识目标：学生能理解小括号产生的必要性，掌握含有小括号的两步混合运算的运算顺序，能正确列式并运用递等式规范计算，说出小括号在改变运算顺序中的具体作用。

能力目标：学生能从具体生活情境中，识别出需要“先算部分和或部分差”的数量关系，并主动运用小括号来准确表达这种运算需求，完成从实际问题到数学算式的抽象建模过程，发展初步的数学建模能力和运算策略选择能力。

情感态度与价值观目标：在探究小括号功能的过程中，学生能感受到数学符号的简洁与力量，养成一丝不苟、步步有据的运算习惯，并在小组合作中乐于分享自己的解题思路，尊重不同的解题策略。

科学（学科）思维目标：重点发展学生的符号意识与推理意识。通过对比“不加括号”与“添加括号”前后算式的异同，引导学生进行合情推理，归纳出规则；并运用演绎推理，将规则应用于新的计算情境，体会数学规定的合理性与逻辑性。

评价与元认知目标：学生能依据运算顺序规则，对自己或同伴列出的算式、递等式书写进行初步判断和修正。在课末总结时，能回顾学习过程，反思“我是如何弄明白括号的用法的”，初步形成对学习策略的自我监控意识。三、教学重点与难点

教学重点：理解小括号的作用，掌握含有小括号的两步混合运算的运算顺序，并能正确计算。其确立依据源于课程标准对“掌握必要的运算技能”和“了解运算律”的基础性要求。从知识结构看，小括号是混合运算规则体系中的第一个结构性符号，对运算顺序具有“一票否决”式的决定作用，是后续学习更复杂运算的基石。从能力立意看，正确使用小括号是学生能否灵活、准确解决两步以上实际问题的关键能力节点，在学业评价中是考查学生是否真正理解运算顺序而非机械记忆的常见切入点。

教学难点：在于学生能够根据实际问题需要，正确列出含有小括号的算式。难点成因在于这需要学生完成一个逆向思维过程：先分析题意，明确“需要先算什么”，再主动选择并运用小括号这一工具来实现这一计算意图。学生常见的错误是将解题思路与算式表达割裂，比如心里明白先算加法，但列式时却写成没有括号的“先乘除后加减”形式。突破方向在于强化“问题情境—运算需求—符号表达”的关联性教学，通过大量对比性练习和“我为什么在这里加括号”的自我阐释来固化这一思维链条。四、教学准备清单1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（内含创设情境的动画、可拖拽的括号符号、对比练习题）；实物磁贴算式卡片（用于黑板演示组合）；板书设计规划（左侧为问题情境与列式区，中部为核心规则归纳区，右侧为练习反馈区）。

1.2学习材料：分层“探究学习单”（含前测题、核心任务记录表、分层巩固练习题）；小组讨论记录卡；错误案例收集板。2.学生准备

复习不含括号的两步混合运算顺序；准备铅笔、直尺等学习用具。3.环境布置

学生按4人异质小组就坐，便于开展合作探究与互评。五、教学过程第一、导入环节

1.情境创设与认知冲突：同学们，请看大屏幕。体育老师王老师去采购器材，一个篮球45元，一个足球38元。他买了1个篮球和2个足球，一共要付多少钱？大家能快速口算出答案吗？（预设学生口算：45+38+38=121元）。非常好！现在，我想用一道两步的混合算式来记录这个购物过程，我这样写：45+38×2。诶，有同学皱眉头了，说说你的想法？“老师，我觉得这个算式好像不对，这样按先乘除后加减，就变成先算38×2，再加45，结果虽然也是121，但意思不对了，它不能表示‘先算一个篮球和两个足球的总价’这个意思了。”

1.1问题提出与路径明晰：这位同学发现了关键矛盾！我们心里想先算“45+38”，但现有的算式顺序规则却让计算机（或按规则计算的人）先算了“38×2”。当我们的运算意图和现有规则发生冲突时，该怎么办呢？这就是我们今天要攻克的堡垒。这节课，我们将请出一位神秘的“顺序调节员”——小括号“（）”，看看它是如何帮助我们精准传达运算指令的。我们将通过几个任务，一起发现它的奥秘，并学会熟练地邀请它来帮忙。第二、新授环节任务一：感知“小括号”的产生必要性与功能初探

教师活动：首先，将导入问题情境具象化。呈现实物图或线段图：一条线段表示篮球45元，两条等长线段表示两个足球各38元。提问：“要求总价，我们的解题思路第一步是先算什么？”引导学生说出“先算1个篮球和1个足球的价钱，也就是45+38，但这样只算了一个足球，所以还要再加一个38”。教师同步用思路图表示：(45+38)+38。接着，指出：“在数学上，我们需要一种符号把‘45+38’这个需要先算的部分‘抱起来’，标上优先计算的记号。这个符号就是小括号。”板书写出带小括号的算式：(45+38)×2？停顿，引发思考：“加上括号后，是不是就对了呢？我们来验证一下。”注意，这里故意先写乘2，制造二次辨析。

学生活动：观察图示，清晰口述解题步骤。思考教师提出的问题，对比“45+38×2”和教师新写的“(45+38)×2”，发现新的问题：“加了括号后先算加法对了，但括号外面是×2，意思变成了把‘一个篮球和一个足球的和’看作一套，买了两套，这又不符合题意了！”进而提出修正：“应该是45+38×2这个算式的‘38×2’部分不用动，而是要给‘45+38×2’中的‘45+’部分加括号？不对…好像没办法直接加。”学生陷入新的困惑，这正是关键探究点。

即时评价标准：1.能否清晰、有条理地结合图示说明实际问题的分步解决方案。2.能否敏锐地发现教师故意设置的算式与题意之间的新矛盾，表现出审题和批判性思维。3.在困惑时，是放弃思考还是能积极尝试提出修改建议（无论对错）。

形成知识、思维、方法清单：★认知冲突是学习的起点：通过“思路”与“算式规则”的矛盾，以及教师故意设置的“半对”算式，双重冲突激发学生对“新工具”的强烈需求。▲小括号的功能初定义：小括号是一种数学符号，它的基本功能是标志出需要优先计算的部分。但“加在哪里”需要严谨的数学思考，不是随意添加。任务二：重构算式，正确引入“小括号”

教师活动：肯定学生发现的矛盾：“大家火眼金睛！看来，仅仅知道小括号能优先计算还不够，还必须把它‘请’对位置。”引导学生回到问题本质：“两个足球一共多少钱？怎么列式？”（38×2）。那么“一个篮球和这两个足球一共多少钱？”就是把45和（38×2）的结果加起来。教师板书：45+(38×2)。强调：“看，这次我们把需要先算的‘38×2’用小括号抱起来了。大家再结合题意看看，这个算式现在能不能精准表达我们的思路了？”引导学生对比“(45+38)×2”与“45+(38×2)”，体会括号位置不同，计算的优先部分不同，代表的数学意义也完全不同。

学生活动：跟随教师引导，重新分解问题。理解“45+(38×2)”的结构意义：先算括号里的38×2得到足球总价，再与篮球价相加。对比两个带括号的算式，开展小组讨论，用自己的话说说两个算式的含义区别，并达成共识：小括号必须加在需要改变原有运算顺序的那部分算式上。

即时评价标准：1.能否在教师引导下，将实际问题成功分解为清晰的、可顺序执行的数学步骤。2.在小组讨论中，能否准确指出两个相似算式的核心区别，并用生活语言或数学语言进行解释。3.能否归纳出“根据先算什么，来决定在哪里加括号”的初步方法。

形成知识、思维、方法清单：★小括号的正确引入逻辑：先分析数量关系，确定“需要先算哪一步”；再根据这一步的算式范围，添加小括号。列式规范：小括号成对使用，包含需要优先计算的全部数字和运算符。▲对比辨析的思维方法：通过对比相似算式的细微差别，深刻理解符号的意义，这是避免混淆的关键策略。任务三：归纳运算规则，学习递等式书写

教师活动：现在，我们有了带小括号的算式“45+(38×2)”，该怎样计算呢？请一位同学说说计算步骤。根据学生回答，教师板书规范的递等式书写过程：45+(38×2)=45+76=121。特别用彩色粉笔标出第一步计算括号内的算式“38×2”，并引导学生齐读计算过程。随后，出示23道只有运算符号和数字的练习题，如“(7218)÷9”、“6×(7+2)”，先让学生口头说顺序，再请学生上台板演递等式。教师巡视，重点关注脱式过程中是否把括号照抄下来，以及等号的对齐。

学生活动：口头叙述带括号算式的计算顺序。观察教师板书的规范格式，特别注意等号的位置和括号的处理。完成口头练习，明确“先算括号里的”。上台板演的学生展示过程，其他学生观察并准备评议。在练习本上模仿书写23道题的递等式。

即时评价标准：1.能否准确、响亮地说出“先算括号里面的”这一规则。2.板演时，递等式书写是否规范（等号对齐、括号随同脱式、第一步明确计算括号内结果）。3.在观察同伴板演时，能否发现书写细节问题并提出改进建议。

形成知识、思维、方法清单：★含有小括号的混合运算顺序规则：算式里有括号的，要先算括号里面的。这是必须牢固掌握的运算优先级最高规则。★递等式书写规范（含括号）：脱式计算时，等号需写在算式下面左侧，且上下等号对齐；第一步计算时，将括号内的算式结果算出来，写在等号后，括号不再写出；未计算的部分要照抄下来。易错点预警：容易在第一步后漏写未计算的部分，或等号不对齐。任务四：逆向应用——根据情境列带括号的算式

教师活动：出示新的情境问题：“植树小组上午栽了50棵树，下午栽了4行树，每行6棵。这一天一共栽了多少棵树？”引导学生独立分析：“要求一共多少，需要知道哪两个部分？”“下午栽的棵数知道吗？怎么求？”让学生先分步写出思路，再尝试列综合算式。收集不同的列法，特别是可能出现的错误列式“50+4×6”，展示出来。提问：“这个算式能直接表达我们的思路吗？不能的话，怎么请小括号来帮忙？”让学生修正。最后呈现正确算式：50+(4×6)。变式练习：出示“30个蛋糕，每6个装一盒，已经装了2盒，还剩多少个？”引导列出带括号的减法或除法算式。

学生活动：独立审题，分析数量关系，用“先算…再算…”的句式理清思路。尝试列综合算式，并与同桌交流。在教师展示错误列式时，能诊断问题所在，并说出添加小括号的位置和理由。完成变式练习，巩固“先算部分量”的列式方法。

即时评价标准：1.能否独立、正确地用语言描述两步问题的解决思路。2.列出的综合算式是否能准确反映其思路，特别是小括号的使用是否恰当。3.在修正错误列式时，能否清晰陈述理由，体现对括号功能的深度理解。

形成知识、思维、方法清单：★列含括号算式的通用流程：①审题，明确最终问题；②分析，确定需先求的“中间问题”；③列出先算部分的算式；④用这个算式替换掉最终问题算式中的对应部分，并为其加上小括号。▲模型应用：将“部分量×份数=总量”、“总数已用量=剩余量”等基本数量关系，与含括号的混合运算建立联结，实现从具体问题到抽象算式的建模。任务五：对比、总结与规则系统化

教师活动：组织一次“运算顺序擂台赛”。黑板上同时呈现几种类型算式：如“8×4+2”、“8×(4+2)”、“(8+4)×2”、“36÷(93)”。提问：“这些算式，计算顺序都一样吗？如果不一样，请给它们分分类，并说说每一类怎么算。”引导学生将算式分为“不含括号”和“含有括号”两大类。进而总结：“看来，小括号的威力真大，它一来，就打破了我们以前‘先乘除后加减’的常规，成为了运算顺序的‘最高指挥官’。谁能用一句话总结一下，现在对于混合运算的顺序，我们完整的规则是什么？”

学生活动：观察一组算式，进行分类。小组合作讨论，达成共识：混合运算，先看有没有括号；有括号的，先算括号里面的；没有括号的，才按照先乘除、后加减的顺序计算。推选代表用完整的语言陈述规则。

即时评价标准：1.分类是否准确、全面，能否清晰阐明分类依据。2.总结出的规则是否完整、精炼，是否包含了新旧知识的整合。3.小组合作中，是否每位成员都参与了讨论，贡献了观点。

形成知识、思维、方法清单：★混合运算顺序的完整规则体系：一个算式中，既有加减法又有乘除法时，①先算括号里面的；②再算括号外面的（括号外面按先乘除、后加减顺序）。系统化思维：将新知识（小括号规则）纳入原有认知结构（无括号规则），形成更完整、层次更分明的运算规则知识网络。这是认知建构的重要环节。第三、当堂巩固训练

设计分层练习，所有学生使用同一张练习单，但标注不同难度层级，鼓励学生挑战自我。

基础层（巩固规则）：1.说说下列算式的运算顺序：(125)×8，45÷(3+6)，20+15÷5。2.计算：(4812)÷4，5×(2+7)，80(25+15)。（目标：全员掌握基本规则和计算）

综合层（应用列式）：3.根据问题列综合算式并计算：一本书有80页，小明第一天看了25页，剩下的计划5天看完，平均每天要看多少页？（列式提示：(8025)÷5）4.一个算式是“6+3×5”，如果想让它先算加法，该怎么办？请写出新算式并计算。

挑战层（思维拓展）：5.你能用“3、4、5、6”这四个数字和“+、、×、÷、()”符号，构造出一个得数是24的算式吗？（渗透“24点”游戏，激发兴趣）6.小法官判案：“算式2010÷5，加上括号变成(2010)÷5，计算结果不变。”这句话对吗？为什么？

反馈机制：基础层练习采用全班核对、手势判断（如拇指向上/下表示顺序判断）快速反馈。综合层练习选取有代表性的学生答案（包括典型错误）投影展示，开展“大家来找茬”和“方法分享会”。挑战层问题作为课尾延伸，请有想法的学生简要分享思路，不追求全员掌握，重在展示思维火花。教师巡视时，重点关注基础薄弱学生的计算过程，提供个别辅导。第四、课堂小结

引导学生进行结构化总结。提问：“今天这节课，我们认识了哪位新朋友？它有什么‘超能力’？”邀请学生用思维导图或关键词的形式，在黑板上共同梳理。预计核心节点为：小括号→功能：改变运算顺序→规则：先算括号里面的→应用：根据问题需要列式→书写：递等式规范。接着进行元认知反思：“回想一下，一开始我们遇到那个算式和思路矛盾的问题时，你是怎么一步步找到解决办法的？”引导学生回顾“发现问题寻找工具学习规则应用规则”的学习路径。最后布置分层作业：必做作业（课本对应练习题，侧重计算和简单应用）；选做作业（寻找生活中一个需要用两步计算解决的问题，并尝试列出含小括号的综合算式，说给家人听）。预告下节课我们将运用这个“超能力”，解决更复杂一些的实际问题。六、作业设计

基础性作业（必做）：1.完成课本第XX页“做一做”及练习X的第1、2题。重点巩固含有小括号算式的计算顺序和规范书写。2.口头练习：向家人解释“为什么8×(4+2)不能先算8×4”。

拓展性作业（建议完成）：3.情境应用题：学校食堂运来80千克大米，吃了5天，每天吃6千克。剩下的如果每天吃5千克，还能吃几天？请列综合算式解答（列式提示：(806×5)÷5）。4.纠错小医生：请判断“36÷(4+5)=36÷4+36÷5=9+7.2=16.2”计算是否正确，如错误请改正并说明错误原因。

探究性/创造性作业（选做）：5.创意编题：请你当小老师，编一道需要用“（15+9）÷3”来解决的生活中的数学题，并写出解答过程。6.符号探究：除了小括号“（）”，你知道数学中还有哪些括号吗？（如中括号[]、大括号{}）它们可能有什么作用？可以查阅资料或询问他人，做简单了解。七、本节知识清单及拓展

★1.小括号的功能本质：小括号“()”是数学中用来改变运算顺序的符号。它的核心作用是标志出算式中需要优先计算的部分，从而精确表达复杂的数量关系。记住：它是运算顺序的“优先通行证”。

★2.含有小括号的混合运算顺序规则：在一个算式中，如果含有小括号，那么一定要先算小括号里面的算式，再算括号外面的。无论括号外面是乘除还是加减，都必须等括号内的结果算出来之后再进行。这是当前学习阶段的最高优先级规则。

★3.列含小括号算式的思维步骤：解决实际问题时，①仔细读题，明确最终问题；②分析条件，找出需要先解决的“中间问题”；③写出解决中间问题的算式；④将这个算式作为一个整体，代入到最终问题的算式中，并为其加上小括号。

▲4.递等式计算规范（含括号）：书写脱式计算时，等号应写在算式下方左侧，上下等号对齐。第一步，将括号内的算式计算结果写在等号后，不再写括号；第二步及以后，将之前未计算的部分照抄下来，继续运算直至得出最终结果。规范书写是避免计算错误的重要习惯。

★5.完整混合运算顺序体系：整合新旧知识，完整的顺序是：第一级，先算小括号里面的；第二级，在无括号或括号算完后，按照先乘除、后加减的顺序进行。可以用“括号是老大，乘除是老二，加减是老三”的口诀辅助记忆，但务必理解其逻辑。

▲6.典型易错点辨析：(1)列式错误：将解题思路与算式表达割裂，如思路是先加后乘，列式却未加括号。(2)计算顺序错误：看到括号仍按先乘除后加减计算。(3)书写错误：脱式时第一步后漏抄未计算部分，或等号不对齐。(4)理解错误：误认为括号只是把数字圈起来，不理解其改变运算优先级的核心作用。

▲7.对比理解的重要性：通过对比如“8×4+2”、“8×(4+2)”和“(8+4)×2”这类算式的计算顺序和结果，能深刻体会小括号位置不同所带来的根本性变化，这是巩固理解、避免混淆的方法。

★8.应用意识与模型意识：学习小括号的最终目的，是为了更准确地用数学语言（算式）描述和解决现实世界中的两步计算问题。每一次成功列出含括号的算式，都是一次微型的“数学建模”实践。八、教学反思

（一）目标达成度与证据分析：从课堂练习反馈和课后作业抽样来看，约85%的学生能准确说出运算规则并正确计算标准形式的含括号算式，表明知识技能目标基本达成。在“根据情境列式”的综合层练习中，约70%的学生能独立正确列出，说明多数学生实现了从理解规则到主动应用的跨越，能力目标达成度良好。情感与思维目标方面，学生在“对比辨析”和“小法官判案”环节表现出较高的参与度和思辨热情，能感受到他们对“数学符号力量”的好奇与欣赏。

（二）教学环节有效性评估：导入环节的“认知冲突”设计效果显著，成功制造了“心求通而未得”的悬疑感。“任务一”中教师故意设置错误，引发了学生更深层次的思