核心素养导向下“2、5的倍数特征”探究式教学设计与实施-基于PBL与差异化教学的探索（人教版五年级下册）

核心素养导向下“2、5的倍数特征”探究式教学设计与实施——基于PBL与差异化教学的探索（人教版五年级下册）一、教学内容分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域强调，要引导学生经历从具体情境中抽象出数的过程，探索数的特征，发展数感和推理意识。本节课“2、5的倍数的特征”位于人教版五年级下册第二单元，是在学生掌握了因数、倍数的概念以及如何找一个数的倍数之后，对整数特征进行规律性探索的起始课。从知识技能图谱看，本节课的核心概念是“倍数特征”，关键技能是“观察、归纳与演绎推理”，认知要求从具体的“识记特征”上升为理解特征背后的“算理本质”。它承上巩固了倍数的意义，启下为后续探索3的倍数特征、质数与合数乃至公倍数知识奠定了重要的研究方法基础。过程方法上，本节课是渗透“归纳推理”这一数学基本思想的绝佳载体。学生将从有限的例子中观察、猜想，并通过举例验证或算理分析来得出结论，完整经历“具体实例—观察发现—提出猜想—验证猜想—得出结论”的数学探究路径，这正是“三会”中“会用数学的思维思考现实世界”的雏形。素养价值渗透方面，探寻数字规律本身充满趣味，能激发学生的好奇心和探究欲，培养科学探究精神；同时，特征在编码、生活情境中的应用，体现了数学的实用价值，有助于形成理性看待世界的数学眼光。

基于“以学定教”原则进行学情研判：五年级学生已具备较好的整数认知基础，熟悉百数表，能熟练列举一个数的倍数。他们的思维正从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，具备初步的观察、比较和归纳能力。潜在的认知障碍在于：其一，可能满足于特征结论的记忆，而忽视对“为什么个位能决定倍数特征”这一算理本质的追问；其二，在归纳时可能因举例不全而产生以偏概全的误区；其三，在区分奇偶数时，可能受前概念影响，将“单双数”的生活说法与数学定义混淆。教学对策上，将通过设计层次化的操作活动（如摆小棒、计数器演示），将抽象的算理可视化，搭建从具体到抽象的桥梁。课堂中通过“你的发现可靠吗？”“能解释为什么吗？”等设问进行动态评估，并设计“探究提示卡”和不同难度的验证任务，为不同思维层次的学生提供差异化支持，确保所有学生都能在探究中有所得。二、教学目标阐述

知识目标：学生通过自主探究与合作交流，能准确归纳并陈述2、5的倍数的特征，理解其特征的算理依据（即为什么看个位）；能清晰区分奇数与偶数的概念，并运用特征快速、正确判断一个数是否是2或5的倍数。

能力目标：在探究特征的过程中，学生经历观察、猜想、验证、归纳的完整过程，提升合情推理与初步的演绎推理能力；能运用特征解决简单的实际问题，如解决生活中的编码问题，发展应用意识。

情感态度与价值观目标：在探究活动中体验数学规律的发现乐趣，感受数学的简洁与严谨之美；在小组合作中乐于分享自己的发现，敢于质疑与补充他人的观点，培养合作探究的科学态度。

学科思维目标：重点发展归纳推理思维，即从特殊到一般的概括能力；渗透数位值思想和模型思想，认识到“倍数特征”是一种对整数集合的规律性描述模型。

评价与元认知目标：引导学生通过举例、说理等方式对探究结论进行自我验证与相互评价；在课堂小结时，能回顾并说出本节课探索规律的一般步骤和方法，初步形成探究数特征的学习策略元认知。三、教学重点与难点

教学重点：探索并掌握2、5的倍数的特征。其确立依据源于课程标准对“探索规律”的要求及本单元的知识枢纽地位。该知识点是学生首次系统探索整数特征，其探究过程本身所蕴含的观察—猜想—验证方法，是后续学习所有数论知识的基础性方法，属于“大概念”层面的重点。从能力立意看，掌握特征并灵活应用是培养学生数感和推理能力的关键节点。

教学难点：理解2、5的倍数特征背后的算理原理。难点成因在于其抽象性：学生容易记住“个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数”这一结论，但理解“为什么只需看个位”涉及到对整数数位值意义的深度理解（如：一个数总可以表示为“几十”或“几百几十”加上个位数，而“几十”等部分一定是2或5的倍数）。突破方向在于借助计数器、小棒等直观学具进行演示与操作，将抽象的位值原理转化为可视化的过程，帮助学生完成从现象到本质的跨越。四、教学准备清单1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（内含百数表动态highlighting功能）、实物投影仪。

1.2学习材料：每组一套百数表卡片（可操作）、计数器、若干小棒；设计分层《探究学习任务单》（含基础任务与挑战任务）。2.学生准备

预习课本相关内容，回顾倍数的概念；携带常规文具。3.环境布置

学生按4人异质小组就坐，便于合作探究；黑板分区规划，留出“我们的发现”、“我们的疑问”和“知识结构”区域。五、教学过程第一、导入环节

1.情境创设，引发冲突：同学们，我们来玩一个“快速判断”游戏。大屏幕上会快速闪现一些数，请你秒答它是不是5的倍数，准备好了吗？（依次闪现30、47、125、201、340）……哎，我听到有的同学速度特别快，有的同学则需要计算一下。有什么秘诀吗？

1.1问题提出与路径明晰：看来，判断一个数是不是5的倍数，可能藏着我们还没发现的“窍门”，或者说“特征”。今天，我们就化身数学侦探，一起合作探究“2和5的倍数”到底藏着什么秘密。我们将从你们熟悉的百数表入手，通过“火眼金睛”找规律，“大胆小心”提猜想，最后还要“追根究底”明道理。让我们开始吧！第二、新授环节

本环节采用支架式探究，设计五个递进任务。任务一：圈画中初探——发现5的倍数特征

教师活动：首先，请大家拿出百数表。我们的第一个侦查目标：5的倍数。请各小组合作，快速圈出1100中所有5的倍数。（巡视，关注圈画速度与方法）。好，大家都完成了。现在，请把你们组圈出的这些数“竖着”看，也就是看每一列的个位，小声讨论一下，你有什么惊人的发现？给大家两分钟。“老师，我们发现个位都是0或5！”“是不是所有5的倍数都这样呢？”问得好！这还只是我们从1100这100个数里看到的，它一定适用于所有数吗？我们需要——验证。怎么验证？可以随意举几个更大的数试试看。

学生活动：小组合作，在百数表上圈画5的倍数。观察、讨论，初步归纳出“个位是0或5”的特征。并举出如205、310等更大的数进行验证。

即时评价标准：1.圈画是否完整、准确。2.讨论时能否聚焦“个位”进行观察。3.验证时举例是否超出百数表范围，具有一般性。

形成知识、思维、方法清单：

★5的倍数特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。（教学提示：这是从有限特例中归纳出的猜想，需强调其普遍性有待进一步验证。）

★探究方法一（观察归纳）：从有限的、有代表性的例子（如百数表）中观察共性，提出初步猜想。（认知说明：这是发现规律的起点。）

▲验证意识：初步结论需要更多例子来检验，避免“以偏概全”。任务二：迁移中类比——发现2的倍数特征

教师活动：侦探们首战告捷！找到了5的倍数的“密码”。接下来，我们用同样的研究方法，独立侦查2的倍数。请看学习单上的任务二：①独立圈出百数表中2的倍数；②观察个位特点，写出你的猜想；③至少举3个例子验证你的猜想。（巡视，对完成快的学生提示：“想想，你的猜想能解释为什么这些数是2的倍数吗？”）时间到，请同桌交换学习单，互相检查圈画和举例，并说说你们的发现是否一致。

学生活动：独立完成圈画、观察、猜想与验证过程。同桌互查、交流，巩固发现。

即时评价标准：1.能否独立完成探究流程。2.猜想表述是否清晰（个位是0,2,4,6,8）。3.同桌互查时能否发现并纠正错误。

形成知识、思维、方法清单：

★2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。（教学提示：对比5的倍数特征，感受不同数字的不同“指纹”。）

★探究方法迁移：将从一个问题（5的倍数）中习得的研究方法（观察猜想验证），应用到新问题（2的倍数）中。（认知说明：这是学习能力的重要体现。）任务三：对比中建构——认识奇数与偶数

教师活动：我们把2的倍数这条线索再理一理。在整数王国里，是2的倍数的数，我们给它们起了一个专门的数学名字，叫“偶数”（板书）。那，不是2的倍数的数呢？对，就叫“奇数”。请大家快速判断：你学号是奇数还是偶数？和你小组成员说说。（互动）生活中我们常说“单数”、“双数”，在数学上我们就统一用“奇数”、“偶数”来称呼。现在，请大家把百数表中所有的偶数涂上阴影，奇数不涂。看看这幅“奇偶地图”，你有什么新的规律发现吗？（引导学生发现奇偶相间的排列规律）。

学生活动：理解奇数、偶数的数学定义。应用定义判断自己的学号。涂画百数表，感受奇偶数的分布规律（奇偶相间）。

即时评价标准：1.能否准确依据定义（是否是2的倍数）判断奇偶。2.涂画是否准确，能否发现奇偶相邻的规律。

形成知识、思维、方法清单：

★奇数与偶数的定义：是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。（易错点：明确0是偶数，这是数学规定。）

★奇偶数的分布规律：在连续自然数中，奇数和偶数是交替出现的，相邻两数必为一奇一偶。（应用实例：可用于快速判断数列性质。）任务四：冲突中深化——探究“为什么看个位”（算理理解）

教师活动：大家的发现都很棒！但作为一个优秀的数学侦探，我们不仅要知其然，还要知其所以然。为什么判断一个数是不是2或5的倍数，只看它的个位就行了呢？这个“为什么”是今天最大的挑战。让我们请出老朋友“计数器”来帮忙。比如，数字236，在计数器上怎么表示？（学生描述）。现在，我们思考：百位上的2颗珠子表示2个百，也就是200，它是2的倍数吗？是5的倍数吗？十位上的3颗珠子表示30呢？……大家发现了什么？（引导学生发现：除了个位，其他数位上的数表示的“几十”、“几百”等，都既是2的倍数也是5的倍数！）所以，整个数是不是2或5的倍数，就完全取决于——？

学生活动：在教师引导下，利用计数器的数位模型，分析如236这样的数。理解“百位和十位上的数所代表的数值（200和30）一定是2和5的倍数”，因此整个数是否是2或5的倍数，就由个位上的数字决定。

即时评价标准：1.能否借助计数器正确表示数。2.能否理解“高位上的数值是2和5的倍数”这一关键点。3.能否用自己的话解释“为什么只看个位”。

形成知识、思维、方法清单：

★特征背后的算理（核心原理）：任何一个多位数都可以看作由“整十（百、千…）部分”和“个位部分”组成。由于10、100…都是2和5的倍数，所以“整十部分”一定是2和5的倍数。因此，整个数是否是2或5的倍数，就由个位上的数决定。（思维提升：从现象归纳上升到算理解释，完成演绎推理。）

▲数位值思想的应用：将数的组成与倍数性质结合，是理解诸多数字特征的基础思想。任务五：整合中明晰——对比2与5倍数特征的异同

教师活动：经过深入侦查，我们终于弄清了真相。现在，请各小组合作，完成学习单上的“对比梳理表”，从“特征”、“与个位关系”、“算理关键”等方面对比2和5的倍数特征。完成后，请一组代表上台展示讲解。

学生活动：小组合作填写对比表，系统梳理两个特征的异同。代表上台展示，全班交流完善。

即时评价标准：1.对比是否全面、准确。2.小组合作是否高效，人人参与。3.展示讲解是否清晰有条理。

形成知识、思维、方法清单：

★2与5倍数特征的共性：都只与这个数的个位数字有关。算理基础相同，都因为整十数及以上的计数单位是2和5的倍数。

★2与5倍数特征的差异：个位数字的具体要求不同（0,2,4,6,8vs0,5）。这导致了偶数定义的独特性。

★结构化梳理方法：通过表格对比，将零散知识点连成网络，便于理解和记忆。第三、当堂巩固训练

设计核心：构建三层训练体系，实现差异巩固。

基础层（全体必做）：

1.快速判断：下列数中哪些是2的倍数？哪些是5的倍数？哪些既是2又是5的倍数？24、35、60、72、90、111。（“既是2又是5的倍数”有什么特征？对，个位一定是0！）

2.按要求填数：□7是5的倍数，□里可以填____。4□是2的倍数，□里可以填____。

综合层（多数挑战）：

3.生活应用：学校图书馆要将图书编号，要求编号是2的倍数表示可外借，是5的倍数表示仅供阅览。编号23A，如果可外借，A可能是？如果仅供阅览，A可能是？如果既可外借又可阅览，A是？

挑战层（学有余力）：

4.推理探究：一个三位数，既是2的倍数，又是5的倍数，且百位与十位的数字和是9。这个数最大是多少？最小是多少？

反馈机制：基础层题目采用全班齐答或手势判断，快速了解整体掌握情况。综合层与挑战层题目，先由学生独立完成，随后小组内互评、讲解，教师巡视捕捉典型解法与错误。最后利用实物投影展示不同思路，重点讲解生活应用题的审题和推理题的策略。第四、课堂小结

知识整合：同学们，今天的数学侦探之旅即将结束。谁来当小老师，用一句话或一个图表，帮大家回顾一下我们今天最大的收获是什么？（引导学生说出特征、奇偶数、探究方法、算理等关键点）。我们可以画一个知识树：树根是“探究方法”，主干是“2和5的倍数特征”，分枝是“奇数偶数”、“算理理解”、“应用”。

方法提炼：我们是怎么得到这些收获的？对，我们从百数表中观察、猜想、验证，还深入思考了“为什么”。这种“大胆猜想，小心求证”的态度，是探索所有数学规律的法宝。

作业布置：

必做（基础+综合）：1.完成课本对应练习。2.找一找生活中的哪些场景用到了奇偶数或2、5倍数的知识（如街道门牌号、商品包装数量）。

选做（探究）：利用今天的研究方法，试着探索4的倍数有什么特征？你的猜想是什么？打算如何验证？六、作业设计

基础性作业（巩固核心）：

1.填空：是2的倍数的数叫（），不是2的倍数的数叫（）。最小的偶数是（）。

2.判断并说理：个位上是1、3、5、7、9的数都是奇数。（）理由：________________________。

3.从0、3、5、6中选出两个数字，组成一个两位数，满足：是2的倍数（）；是5的倍数（）；既是2又是5的倍数（）。

拓展性作业（情境应用）：

4.【生活链接】体育委员王老师要将全班45名同学分成两组进行接力赛，要求每组人数相等。如果按学号奇偶数分，能正好分完吗？为什么？你还有什么公平的分组方案？

探究性/创造性作业（开放挑战）：

5.【数学探究】我们已经知道2和5的倍数特征与个位有关，这与“十进制”计数法有密切联系。请查阅资料或自行思考：如果是在“二进制”或“八进制”下，数的“倍数特征”又会是怎样的？写一篇简短的数学小报告或提出你的猜想。七、本节知识清单及拓展

1.★2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的整数都是2的倍数。这是判断一个数是否为2的倍数的充要条件，也是后续学习偶数和奇数的基础。

2.★5的倍数特征：个位上是0或5的整数都是5的倍数。特征简洁，是生活中判断诸如“能否被5整除”问题的直接依据。

3.★奇数与偶数的定义：整数中，是2的倍数的数叫做偶数（包括0），不是2的倍数的数叫做奇数。这是数学上的严格定义，需注意“0是偶数”这一规定。

4.★既是2又是5的倍数特征：个位上的数字必须是0。该特征是2和5倍数特征的公共部分，因为同时满足个位是0、2、4、6、8和0、5，取交集即为0。

5.★特征探究的一般方法：观察（有限特例）→猜想（归纳共性）→验证（更多例子/一般性推理）→结论。此方法模型是数学发现的核心路径，具有普遍适用性。

6.▲算理理解（为什么看个位）：基于十进制位值原则。一个多位数可拆分为“整十（百、千…）部分”加“个位部分”。由于10=2×5，所以任何整十、整百…数必定同时是2和5的倍数。因此，整个数的“2、5倍数属性”完全由个位数字决定。此条是理解本课知识的深度关键，避免机械记忆。

7.▲奇偶数的运算性质（初步感知）：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数，偶数±奇数=奇数。可通过具体例子让学生感知，为后续正式学习埋下伏笔。

8.▲0的特殊性：0是2的倍数（因为0÷2=0），所以0是偶数。0也是5的倍数。教学时需明确说明，避免学生产生“0既不是奇数也不是偶数”或“0不是5的倍数”等误解。

9.★生活应用实例：邮政编码、身份证校验码设计、单双号限行、电路开关状态（二进制）等都可能隐含奇偶性或2、5倍数的思想。引导学生用数学眼光观察现实世界。

10.▲与后续知识的联系：本课特征是探索“3的倍数特征”（看各位数字和）的认知参照。对比两者差异，能深刻理解不同倍数的特征取决于其与基数10的因数关系。八、教学反思

（一）预设与达成度分析：本次教学设计以“数学侦探”为情境主线，以PBL项目式学习理念构建探究链条，预设目标基本达成。从当堂巩固训练的反馈看，90%以上的学生能准确应用特征进行判断，说明知识技能目标落实较好。“任务四”中利用计数器理解算理的设计，有效突破了难点，约70%的学生能尝试用自己的语言解释“为什么”，表明推理能力目标有了实质性推进。情感目标在小组合作与“快速判断”游戏的热烈氛围中得到体现。

（二）环节有效性评估：导入环节的“快速判断”游戏成功制造了认知冲突，激发了探究欲。新授的五个任务环环相扣，从“发现特征”到“理解本质”再到“对比梳理”，形成了一个螺旋上升的认知结构。其中，“任务二”的独立探究设计，有效培养了学生的学习迁移能力。“任务五”的对比梳理表，促使学生将零散知识系统化，是课堂的一个亮点。我意识到，“给学生一个