《点和圆的位置关系》教学设计（人教版九年级上册）

《点和圆的位置关系》教学设计（人教版九年级上册）一、教学内容分析  本节课隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“图形与几何”领域“图形的性质”主题。从知识技能图谱看，“点与圆的位置关系”是研究“圆”这一平面几何基本图形的起始课和奠基课，它上承“圆”的定义，下启后续“直线与圆的位置关系”、“圆与圆的位置关系”乃至“圆”的系列性质定理。其核心在于引导学生从定性描述（“在圆上”、“在圆内”、“在圆外”）迈向定量刻画（距离与半径的比较），这一“数形结合”思想的初步建模过程，是贯穿整个“圆”单元乃至解析几何学习的关键思维范式。过程方法上，本节课是渗透几何直观、逻辑推理和数学建模素养的绝佳载体。学生将通过观察、操作、归纳、演绎等系列活动，经历从具体情境抽象出几何模型、并用数学语言进行精确表述的全过程。在素养价值层面，探究“过三点作圆”的存在性与唯一性问题，能引导学生体会数学的确定性之美与逻辑力量，培养严谨求实的科学态度；同时，通过将生活问题（如考古定位、选址）抽象为数学问题并解决，有助于学生感悟数学的应用价值，增强学习内驱力。  学情诊断方面，九年级学生已具备研究“点与直线位置关系”、“两点间距离”的经验，对“圆”的定义也已掌握，这为学习新知奠定了基础。然而，潜在的认知障碍在于：其一，从“形”的直观感知到“数”的定量分析的跨越存在思维难度；其二，对“位置关系”的判定标准可能停留在表面，难以自觉运用“距离”这一核心量进行逻辑判断；其三，理解“不在同一直线上的三点确定一个圆”这一定理及其反证法的证明，对学生逻辑推理的严密性提出了较高要求。对此，教学将采取“先感知，后抽象”的策略，利用信息技术（如几何画板）动态演示，搭建从直观到抽象的“脚手架”。过程性评估将贯穿于课堂提问、小组讨论、随堂练习与操作活动中，教师通过巡视观察、聆听发言、分析典型错误，实时把握学生对核心概念的理解深度。对于理解较快的学生，将引导其探究定理的多种证明思路及逆向问题；对于存在困难的学生，将通过提供具象化模型、设计阶梯式问题和一对一辅导，帮助其突破思维瓶颈，确保不同层次的学生都能在“最近发展区”内获得发展。二、教学目标  知识目标：学生能准确描述点与圆的三种位置关系，并能运用点到圆心的距离d与圆的半径r的数量关系（d<r，d=r，d>r）进行相互判断与简单计算。理解“不在同一直线上的三点确定一个圆”这一定理及其推论“三角形的外接圆”，并能运用尺规完成相关作图。  能力目标：在探究点与圆位置关系定量刻画的过程中，发展从具体情境中抽象出数学模型（数形结合）的能力。通过小组合作探究“过三点作圆”，提升几何作图能力、合情推理与演绎推理相结合的逻辑思维能力，并初步体验反证法的证明思路。  情感态度与价值观目标：在从生活现象抽象为数学问题的过程中，感受数学的简洁与应用价值，激发探究兴趣。在小组协作与交流中，养成乐于分享、敢于质疑、严谨求实的科学态度。  科学（学科）思维目标：重点发展几何直观与逻辑推理思维。通过“观察图形→猜想关系→验证归纳→符号表达”的探究路径，强化“数形结合”这一核心数学思想方法的应用意识。在定理证明中，体会从特殊到一般、以及反证法的逻辑力量。  评价与元认知目标：引导学生依据“作图是否规范”、“推理是否有据”、“表达是否清晰”等量规，对同伴或自己的探究成果进行简要评价。鼓励学生在课堂小结时，反思“我是如何发现d与r的关系的？”、“证明定理的关键步骤是什么？”，提升对学习策略的自我监控与调节能力。三、教学重点与难点  教学重点：点与圆位置关系的定量判定方法（d与r的数量关系比较）。确立依据：该判定方法是本节课最核心的知识“锚点”，是沟通“形”与“数”的桥梁，也是后续学习直线与圆、圆与圆位置关系判定方法的认知基础和思维原型。在学业水平考试中，它是基础考点，常与其他几何知识结合，考查学生数形结合的基本功。  教学难点：“不在同一直线上的三点确定一个圆”的理解与证明，特别是反证法思想的初步渗透。预设依据：从学情看，学生首次系统地接触“确定”一词的数学内涵（存在性与唯一性），理解上有跨度。证明过程需要严密的逻辑链条，反证法对学生而言是一种新颖且略显“逆向”的思维方式，容易产生思维障碍。突破方向在于将抽象证明转化为具体的、可操作的作图探究活动，让学生在“为何作不出”的困惑中，自然引发对“三点共线”这一反设的思考，从而降低理解难度。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式电子白板课件（内含几何画板动态演示）、圆规、直尺。1.2学习材料：分层设计的学习任务单（含探究活动记录、分层练习题）、实物圆形纸片（或透明圆形胶片）。2.学生准备2.1预习任务：复习圆的定义，思考“一个点和一个圆，可能有哪几种位置关系？凭什么来判断？”2.2学习用具：圆规、直尺、铅笔、练习本。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设：展示动态诗词画面：“海上生明月，天涯共此时。”同时，在几何画板中呈现一个圆（象征明月）和一个可拖动的点P（象征天涯的观者）。“同学们，从数学角度看，这位‘天涯’的诗人，与他所见的‘明月’，构成了一个怎样的几何图形关系呢？请大家观察，当我移动点P时，它与圆的位置关系发生了哪些变化？”  1.1问题提出与路径明晰：“没错，有点在圆外、在圆上、在圆内这三种情况。（教师同步拖拽点P，清晰展示三种状态）这是我们的直观感受。但数学追求精确，我们能否找到一个‘铁一样的标准’，像用尺子量长度一样，来精准判定任意一个点与一个圆的位置关系呢？今天，我们就来深入探究这个既直观又深刻的几何问题——点和圆的位置关系。我们将首先为这三种关系找到定量的‘判决书’，然后利用这个知识，去解决一个著名的几何作图难题：经过几个点可以确定一个圆？”第二、新授环节  任务一：从生活直观到数学抽象——感知位置关系  教师活动：首先，呈现一组图片：箭靶（靶心为圆心，箭落点为点）、车轮与地面接触点、钟表盘面上的刻度点。提问：“这些场景中，点与圆分别是什么关系？你是根据什么一眼就看出来的？”引导学生用“内部”、“边上”、“外部”等生活语言描述。接着，在白板上画一个⊙O，并在其外、上、内各取一点A、B、C。追问：“如果我们抛开具体事物，单看这个几何图形，要判断点A、B、C与⊙O的位置关系，最关键的是比较哪两个量？”当学生提及“距离”和“半径”时，及时肯定：“抓住了关键！这个距离具体指谁到谁的距离？”“对，是点到圆心的距离。我们把它记为d，圆的半径记为r。”  学生活动：观察生活图片，积极类比描述。观看教师板图，思考并回答教师提问，逐步聚焦到“点到圆心的距离”和“圆的半径”这两个核心几何量上。尝试用语言表述：“点B在圆上，是因为它到圆心的距离等于半径；点A在圆外，是因为距离大于半径……”  即时评价标准：1.能否从多样化的生活实例中准确识别出点与圆的三种位置关系。2.能否在抽象几何图形中，找到判断位置关系的核心要素（距离d和半径r）。3.语言描述是否从模糊的方位指向（如“里面”）向精确的几何比较（“距离与半径的大小”）过渡。  形成知识、思维、方法清单：★核心概念：点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内。▲认知关键：判断的核心是定量比较“点到圆心的距离（d）”与“圆的半径（r）”的大小。→方法引导：从实际情境中抽象出几何图形和数学问题是研究几何的第一步。（教学提示：此时先不急于给出符号表达式，让学生充分体会从“形”到“数”的思考过程。）  任务二：从定性描述到定量刻画——构建判定模型  教师活动：“刚才我们只是‘感觉’d和r的大小决定了位置关系，能不能更严谨地证实这个猜想呢？”组织学生进行小组活动。提供学习任务单，要求：1.给定一个⊙O（半径r=3cm），在纸上画出。2.分别度量并记录：圆外一点P到O的距离d_P，圆上一点Q的d_Q，圆内一点R的d_R。3.比较每组d与r的大小，填写表格。巡视指导，关注学生测量规范性。待各组数据收集完毕后，利用投屏展示多组数据，引导学生归纳：“大家看看这些数据，是不是无一例外地符合：圆外d>r，圆上d=r，圆内d<r？这还能是巧合吗？”从而自然引出判定关系式。强调：“这就是我们寻找的‘数学判决书’：d>r↔点在圆外；d=r↔点在圆上；d<r↔点在圆内。它实现了从‘形’到‘数’的完美转化。”  学生活动：以小组为单位，动手画图、测量、记录、比较。通过多组具体数据的操作验证，确信d与r的数量关系与位置关系的严格对应。参与全班归纳，共同得出点与圆位置关系的定量判定定理，并理解其等价关系（互推）。  即时评价标准：1.测量操作是否规范、准确。2.小组能否协作完成数据收集与记录。3.能否从多组具体数据中归纳出一般性结论，并用准确的数学语言（符号与文字结合）进行表述。  形成知识、思维、方法清单：★核心定理（判定与性质）：设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：（1）d>r↔点P在⊙O外；（2）d=r↔点P在⊙O上；（3）d<r↔点P在⊙O内。▲思维升华：这一定理体现了“数形结合”思想，它将图形的位置关系转化为数量的大小关系，使判断更具操作性。→易错提醒：要注意定理的“等价性”，它既可以由位置推数量（性质），也可以由数量定位置（判定）。（教学提示：引导学生用双向箭头理解“等价”，为后续函数与图象关系的学习埋下伏笔。）  任务三：小试牛刀——判定定理的直接应用  教师活动：呈现例题：已知⊙O的半径为5cm，点A到O的距离OA=4cm，点B到O的距离OB=5cm，点C到O的距离OC=6cm。判断A、B、C与⊙O的位置关系。“同学们，现在不需要画图，你能快速判断吗？依据是什么？”请学生口答并说明理由。随后变换条件：“如果已知点M在⊙O内，且OM=3cm，那么⊙O的半径r的取值范围是什么？”“反过来，如果已知⊙O的半径r=4，且点N在⊙O外，那么ON的长度取值范围呢？”通过这组变式提问，深化对定理双向应用的理解。  学生活动：独立审题，直接应用刚学习的判定定理进行判断和计算。口答并阐述推理过程：“因为4<5，即d<r，所以点A在圆内……”思考变式问题，理解由位置关系推数量范围是定理的逆向应用。  即时评价标准：1.能否准确、迅速地将已知数据与定理条件对应（识别d和r）。2.解题表述是否逻辑清晰，有理有据。3.能否灵活处理定理的“正向”与“逆向”问题。  形成知识、思维、方法清单：★应用范式：应用判定定理的关键是明确题目中哪个是d（点到圆心的距离），哪个是r（圆的半径），然后比较大小。▲逆向思维：定理是可逆的。已知位置关系可推d与r的不等关系，从而求半径或距离的范围。→典型例题：已知位置和其中一个量，求另一个量的取值范围，是常见的考查方式。  任务四：探究与归纳——过点作圆的确定性分析  教师活动：提出阶梯式探究问题链：“掌握了点和圆的关系，我们来玩一个‘造圆’游戏。问题1：经过一个已知点A，可以作多少个圆？（鼓励学生尝试）”“问题2：经过两个已知点A、B，可以作多少个圆？圆心在哪里？（引导学生发现圆心在线段AB的垂直平分线上，有无数个。）”“问题3：那么，经过不在同一直线上的三个点A、B、C，能不能作圆？能作几个？”将学生分成小组，分发任务单，要求尝试尺规作图。巡视中，关注学生寻找圆心的策略（作两条边的垂直平分线找交点）。待大部分小组成功后，邀请一个小组上台展示作图过程并解释原理（圆心到三点距离相等）。然后抛出关键追问：“如果这三个点不幸在同一条直线上呢？大家试试看，会发生什么？”让学生作图体验“失败”，从而引发认知冲突。  学生活动：动手画图，探究过一个点、两个点作圆的情况，体会其不确定性（无数个）。合作探究过不在同一直线上的三点作圆，通过尝试发现两条垂直平分线的交点即为圆心，且只能找到一个圆心，从而作出唯一一个圆。体验三点共线时无法找到同时到三点距离相等的点（圆心），即无法作圆。  即时评价标准：1.尺规作图是否规范、准确。2.小组探究过程中，能否通过讨论发现确定圆心的关键（垂直平分线的交点）。3.能否清晰解释作图原理（圆心到三点距离相等）。4.是否亲身经历“三点共线”时作圆的失败过程。  形成知识、思维、方法清单：★定理（确定圆的条件）：不在同一直线上的三个点确定一个圆。▲概念衍生：经过三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，是三角形三边垂直平分线的交点。→思想方法：从特殊（一点、两点）到一般（三点）的探究路径；体会“确定”的数学含义（存在且唯一）。（教学提示：让学生通过“能作”与“不能作”的对比，深刻理解定理中“不在同一直线上”这一前提的必要性。）  任务五：演绎与升华——定理的证明与理解  教师活动：“我们通过作图发现了规律，但数学不能只停留在操作上，还需要严格的逻辑证明。如何证明‘不在同一直线上的三点确定一个圆’呢？”引导学生分析：“要证明‘确定一个圆’，需要证明哪两件事？”“一是存在性（能作出），二是唯一性（只能作一个）。”首先，引导学生回顾作图过程，证明存在性：作AB和BC的垂直平分线交于O，由垂直平分线性质证OA=OB=OC，故以O为圆心、OA为半径的圆必过A、B、C。其次，探讨唯一性：“假设还存在另一个圆心O’和半径r’的圆也经过这三点，那么O’必须满足什么条件？”“也必须同时在线段AB和BC的垂直平分线上。而两条直线只有一个交点，所以O’与O重合，半径也相等，因此圆是唯一的。”最后，引导学生思考反证法思路：“对于‘为什么三点共线就不能作圆’，我们也可以这样想：假设能作圆，那么圆心到三点的距离相等，则圆心必须在三条边的垂直平分线上……但这三点共线时，它们的垂直平分线会怎样？（平行或重合，无交点），这就产生了矛盾，所以假设不成立。”  学生活动：跟随教师的引导，理解证明的两个方面（存在性与唯一性）。尝试用数学语言复述存在性的证明过程。在教师讲解唯一性证明和反证法思路时，积极思考，理解“两条直线相交只有一个交点”这一公理在证明唯一性中的应用，初步感受反证法的逻辑脉络。  即时评价标准：1.能否理解“确定”一词所包含的“存在”和“唯一”双重含义。2.能否说出存在性证明的关键依据（垂直平分线的性质）。3.对唯一性证明和反证法的思路是否表现出跟得上、能理解的态度。  形成知识、思维、方法清单：★证明分析：“确定一个圆”的证明需分两步：存在性（构造性证明）和唯一性（同一法或反证法思想）。▲思维深化：唯一性证明依赖于“两条相交直线有且只有一个交点”这一基本事实。→高阶思维：反证法是数学证明的重要方法，其关键在于做出合理假设，并推导出与已知事实或公理矛盾的结论。（教学提示：此部分重在思路引导，不强求所有学生独立完成严格书写，但要让优秀学生“吃饱”，让全体学生“看到”数学的逻辑之美。）第三、当堂巩固训练  基础层：  1.已知⊙O的半径为4cm，若线段OA=5cm，则点A在⊙O______；若OB=4cm，则点B在⊙O______；若OC=3cm，则点C在⊙O______。  2.画出由下列条件确定的圆：（1）经过已知点A；（2）以已知线段BC为直径。  综合层：  3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4。以点C为圆心，r为半径画圆。请问：当r为何值时，（1）点A在⊙C外？（2）边AB与⊙C只有一个公共点？（提示：需考虑直线与圆相切的情况，为下节课埋下伏笔。）  挑战层：  4.（考古情境题）考古学家在一座古墓中发现三件重要文物A、B、C。为确定古墓的中心区域（圆心），他们测量发现A、B、C三点不在同一直线上。你能用今天的知识，告诉他们如何找到古墓的可能中心位置吗？如果后来又发现一件文物D恰好也在找出的这个圆上，这说明了什么？  反馈机制：基础层与综合层第3题（1）小题由学生独立完成，教师投影展示答案，学生快速互评。综合层第3题（2）小题与挑战层问题，先由小组讨论，教师巡视捕捉不同思路（如有的学生可能画图感知），再请小组代表分享，教师点评、提炼关键，特别指出第3题（2）为下节课的伏笔。对挑战性问题，赞赏学生将数学应用于实际的情怀。第四、课堂小结  “同学们，今天我们这趟‘点与圆’的探索之旅即将到站。谁来当小导游，用几句话梳理一下我们主要的‘游览收获’？”引导学生从知识、方法、思想层面进行总结。鼓励学生尝试画出简单的思维导图：中心是“点与圆的位置关系”，分支包括“三种关系”、“判定定理（d与r）”、“确定圆的条件（过三点的圆）”。“在方法上，我们有哪些感悟？”“经历了从生活到数学、从操作到证明、从猜想到定理的过程，数形结合的思想贯穿始终。”最后布置分层作业：“课后，请大家完成作业单上的必做题。学有余力的同学，可以挑战选做题：探究一个三角形外心（外接圆圆心）的位置（锐角、直角、钝角三角形）与三角形形状的关系，并尝试说明理由。下节课，我们将带着今天所学，继续探索‘直线和圆’会碰撞出怎样的火花。”六、作业设计基础性作业（必做）：1.教材对应练习题：巩固点与圆位置关系的判定与简单计算。2.已知△ABC，利用尺规作图作出其外接圆⊙O，并指出外心O是△ABC的哪三条线的交点。3.填空题：平面上，经过一点可作____个圆；经过两点可作____个圆；经过不在同一直线上的三点可作____个圆。拓展性作业（建议完成）：4.应用题：某公园计划修建一个圆形喷水池，要求水池边缘（圆上）恰好经过三个已有的景观灯柱A、B、C（位置已知且不共线）。如果你是设计师，请简述确定喷水池位置和大小（圆心和半径）的实地操作方法。5.思考题：四边形是否一定有外接圆？请举例说明并简单谈谈你的想法。探究性/创造性作业（选做）：6.探究报告：查阅资料或自主探究，了解“反证法”的基本逻辑步骤，并尝试用反证法的思路完整书写“过同一直线上的三点不能作圆”的证明过程。7.数学创作：以“点和圆的对话”为题，写一篇简短的数学小品文或画一组漫画，趣味性地展现点与圆的三种位置关系及判定依据。七、本节知识清单及拓展★1.点与圆的三种位置关系：点在圆外、点在圆上、点在圆内。这是基于图形相对位置的定性描述。★2.点与圆位置关系的判定与性质定理：设⊙O半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：（1）d>r↔点P在⊙O外；（2）d=r↔点P在⊙O上；（3）d<r↔点P在⊙O内。这是本节课最核心的定量关系，实现了“形”与“数”的转化。★3.定理的双向应用：既可已知d和r判断位置（判定），也可已知位置关系推导d与r的不等关系（性质），常用于求解距离或半径的范围问题。▲4.过已知点作圆的确定性规律：过一个点A：可作无数个圆，圆心可以是除A点外的任意一点。过两个点A、B：可作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上。过不在同一直线上的三个点A、B、C：有且只有（确定）一个圆。★5.“确定”的数学含义：包含存在性（能作）和唯一性（只此一个）两个方面。★6.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。这是作三角形的外接圆的理论基础。★7.三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆。★8.三角形的外心：三角形外接圆的圆心。它是三角形三条边垂直平分线的交点。★9.外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等（等于外接圆半径）。▲10.尺规作图：作三角形的外接圆：关键步骤是作任意两条边的垂直平分线，其交点即为外心，外心到任一顶点的距离即为半径。▲11.反证法思想的初步渗透：在解释“为何三点共线不能作圆”时，可运用反证法思路：假设能作圆→推导出圆心需同时在某两条线的垂直平分线上→三点共线时这两条线平行无交点→矛盾→故假设不成立，即不能作圆。★12.核心思想方法：数形结合。将点与圆的位置关系这一几何问题，转化为点到圆心的距离d与半径r的数量比较问题，是贯穿本课的灵魂。→13.易错点提醒：在应用判定定理时，务必明确哪个是d（点到圆心的距离），哪个是给定的r，避免混淆。例如，题目给出的是直径，需先转化为半径再比较。→14.认知提示：理解“过三点作圆”时，“不在同一直线上”是前提条件。可以通过动手操作“三点共线”时无法找到圆心的体验来加深理解。▲15.知识拓展：外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形外部。这为选做作业提供了探究方向。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析  本课预设的知识与技能目标基本达成。通过课堂观察和随堂练习反馈，绝大多数学生能准确运用d与r的数量关系判断点与圆的位置关系，并能完成过不在同一直线上三点的外接圆作图。能力目标方面，学生在任务二和任务四的小组探究活动中，表现出了较好的观察、操作与归纳能力，但在任务五的定理证明环节，部分学生对逻辑证明，特别是唯一性证明和反证法思路的理解，仍停留在“听懂”层面，独立“表述”存在困难。这提示我在后续几何教学中，需持续、递进地加强逻辑推理能力的训练与表达规范。情感目标在生活化导入和应用情境中得到了较好的激发，学生参与度较高。  （二）核心教学环节有效性评估  1.导入环节的诗词与动态几何结合，迅速抓住了学生的注意力，并成功引出了核心问题，效果显著。那句“寻找铁一样的标准”的设问，为学生整节课的探究定下了“追求精确”的基调。  2.新授环节的五个任务链设计，整体上遵循了认知规律，层层递进。其中，任务二（测量归纳判定定理）和任务四（探究过点作圆）的学生活动设计是成功的，学生在“做中学”，亲身经历了知识的建构过程。课堂上学生争相分享测量结果、热烈讨论如何找圆心的场景，正是主动学习的体现。我适时介入的追问，如“凭什么来判断？”、“这还能是巧合吗？”，有效地推动了思维的深化。  3.任务五（定理证明）作为