素养导向·结构进阶：《有理数的除法》单元起始课教学设计（人教版七年级上册）

素养导向·结构进阶：《有理数的除法》单元起始课教学设计（人教版七年级上册）一、教学内容分析  本节内容选自人教版《数学》七年级上册第一章“有理数”第四小节“有理数的乘除法”第二课时。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》三维目标与核心素养的视域审视，本课承载着多重使命。在知识技能图谱上，它是有理数运算体系的最后一块关键拼图，直接建立在有理数乘法法则和倒数概念之上，并为后续学习乘方、实数乃至代数式的运算奠定逻辑与运算基础。课标要求学生“掌握有理数的除法运算”，这一“掌握”意味着学生不仅要能进行准确计算，更要理解其算理，即深刻领会除法是乘法的逆运算这一核心数学关系，并能将运算律进行迁移应用。在过程方法路径上，本节课是渗透“转化与化归”数学思想的绝佳载体。如何将陌生的除法运算转化为学生已熟练的乘法运算，这一探索过程本身就是一个完整的数学建模与问题解决过程，旨在发展学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。在素养价值渗透方面，通过法则的归纳与符号的确定，能够培养学生严谨求实的科学态度和理性精神；在解决实际问题时，能体会到数学的工具价值，增强应用意识。  基于“以学定教”原则，进行学情研判：学生的已有基础与障碍在于，他们已经掌握了有理数的乘法法则，理解了倒数的概念，具备了一定的观察、归纳能力。然而，从乘法到除法的认知跨越中，潜在的障碍点可能集中于两点：一是对“除法转化为乘法”这一核心转化思想的本质理解，容易机械记忆“除以一个数等于乘这个数的倒数”而忽略其算理本源；二是在处理复杂符号和分数形式的除法时，容易出现符号错误和运算顺序混淆。因此，本课的过程评估设计将贯穿始终，通过导入阶段的问题试探、新授环节的追问与板演、巩固阶段的梯度练习，动态捕捉学生的理解层次与常见错误。相应的教学调适策略是：为理解能力较强的学生设计探究性任务，引导其自主发现并论证法则；为需要更多支持的学生搭建清晰的“脚手架”，如提供从整数到分数、从特殊到一般的具体计算范例，并通过小组协作与教师个别指导，帮助其建立转化思想的具体操作模型。二、教学目标  知识目标：学生能准确叙述有理数的除法法则，理解其作为乘法逆运算的本质；能熟练运用法则进行有理数的除法运算，包括整数、分数及涉及多重符号的情况，并明确0不能作除数的道理。例如，学生应能解释为什么（6）÷2与6÷(2)结果相同，并规范表述其计算过程。  能力目标：学生经历从具体实例抽象出一般法则的完整过程，发展归纳概括与数学抽象能力；在面对除法运算问题时，能自觉、熟练地运用“转化”思想，将其转化为乘法问题解决，提升数学运算与逻辑推理的核心素养。例如，能够独立完成从一组特例中归纳符号规律，并解决诸如“已知积与一个因数，求另一个因数”的逆向问题。  情感态度与价值观目标：在小组合作探究法则的过程中，学生能积极参与讨论，敢于表达自己的猜想，并认真倾听、理性评判同伴的观点，体验数学发现过程的严谨与乐趣，逐步形成合作交流、理性思维的学习品质。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的逆向思维与模型思想。通过对比乘法与除法的关系，强化对运算互逆性的认识；通过将多样化除法算式统一转化为乘法模型，体会化归思想在简化问题中的强大力量，并能在新情境中主动调用这一思想方法。  评价与元认知目标：引导学生建立有理数运算的自我监控意识。能够依据运算步骤和符号法则，检查自己或同伴的计算结果；能在课堂小结时，反思“转化”策略在本课学习中的应用，并思考这一策略在其他数学领域（如解方程）中的迁移可能性。三、教学重点与难点  教学重点：有理数除法法则的推导与应用。其确立依据源于课程标准的“掌握”要求及本章知识的结构性地位：该法则是构建完整有理数四则运算体系的基石，是后续学习分式、方程等知识的必备技能。从能力立意看，法则的推导过程蕴含着重要的数学思想方法，其应用能力是衡量学生数学运算素养水平的关键指标。  教学难点：深刻理解除法法则的算理，即“除以一个数等于乘这个数的倒数”的数学本质源于除法是乘法的逆运算；以及在实际运算中，特别是含有分数、小数或多重符号的复杂算式中，灵活、准确地运用法则。预设难点成因在于，学生从算术数除法过渡到有理数除法，符号的介入增加了抽象性，而“倒数”作为转化中介，其概念的理解与灵活调用对部分学生构成思维跨度。常见错误如忽略符号、混淆运算顺序，均源于对此算理理解不深。突破方向在于强化算理探究，设计从“已知积和因数求另一因数”的逆运算角度切入，让法则的得出水到渠成。四、教学准备清单1.教师准备  1.1媒体与教具：交互式课件（内含探究问题链、动画演示转化过程、分层练习题目）；几何画板或类似工具（用于动态展示数轴上点的运动与除法意义关联）；板书设计稿（左侧预留法则推导区，中部为核心例题板演区，右侧为知识要点清单区）。  1.2学习材料：分层探究学习任务单（A/B/C三种梯度）；课堂巩固练习卷（包含“小试牛刀”、“综合应用”、“挑战自我”三个板块）；小组合作讨论记录卡。2.学生准备  复习有理数乘法法则及倒数的概念；准备好练习本、笔；按异质分组原则，4人一小组就座，便于课堂讨论与合作探究。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设，温故孕新：“同学们，我们已经是有理数乘法运算的‘熟练工’了。现在，老师遇到一个‘逆向’问题想考考大家。”（课件出示）已知在乘法算式(3)×▢=12中，积是12，一个因数是3，请问另一个因数▢是多少？谁能快速报出答案？……对，是4。大家实际上是解了一个方程，用除法表示就是12÷(3)=4。那么，(12)÷(3)又等于多少呢？我们能否像做乘法一样，找到有理数除法运算的‘通用法则’？  1.1提出核心问题：从这些具体例子中，你能发现有理数的除法运算有怎样的规律吗？它和我们学过的乘法运算有怎样的“亲密关系”？今天，我们就化身数学侦探，一起揭开有理数除法的运算奥秘。  1.2明晰学习路径：我们的侦探路径是：先从几个特例中大胆猜想→然后探寻猜想背后的数学原理（为什么可以这样算？）→最后总结出普适法则并应用它解决更多问题。请大家带上“乘法”这个老朋友给我们的工具箱，开始今天的探索之旅。第二、新授环节任务一：特例探究，初窥规律  教师活动：首先，引导学生回顾导入中的两个算式：12÷(3)=4和(12)÷(3)=4。接着，出示一组精心设计、循序渐进的探究算式，组织学生进行个人计算与小组讨论：①8÷4=?②(8)÷4=?③8÷(4)=?④(8)÷(4)=?⑤(1/2)÷2=?⑥(1/2)÷(1/3)=?“请大家先独立计算这组题目，计算时思考：除了直接除，你还能用什么方法得到结果？完成后，在小组内交流你的算法和发现，重点讨论商的符号如何确定、商的绝对值与谁有关。”  学生活动：独立进行计算。大部分学生能快速完成整数除法的前四题，部分学生对分数除法⑤⑥题可能产生犹豫。在小组讨论中，学生分享各自的计算过程和结果。一些学生可能会尝试将除法转化为乘法（如8÷4即求4×?=8），一些学生可能直接计算。通过对比不同算法，初步感知除法与乘法的联系。  即时评价标准：1.计算结果的准确性。2.在讨论中，能否清晰地表达自己的计算思路。3.能否倾听同伴发言，并注意到不同算法（尤其是转化为乘法的思路）的存在。  形成知识、思维、方法清单：  ★观察起点：从具体数字运算入手，是归纳抽象法则的可靠基础。教师提示：“先别急着找复杂规律，把每一题算对、算明白是第一要务。”  ★算法多样性：鼓励学生展示不同算法，特别是利用“乘除互逆关系”心算的方法，为引出“转化”思想埋下伏笔。  ▲初步感知：学生可能模糊感觉到“正负得负，负负得正”的符号规律，以及绝对值相除的关系。此时不要求完整表述，形成初步印象即可。任务二：关联逆运算，叩问算理  教师活动：“很多同学在算8÷4时，心里想的是‘4乘以几等于8’，这其实就用到了除法是乘法的逆运算。那么，对于有理数除法，这个关系还成立吗？”以算式(8)÷4=2为例，引导学生逆向验证：因为4×(2)=8，所以(8)÷4=2是正确的。“请大家用同样的方法，验证一下你刚才计算的其他算式。”接着，抛出核心追问：“既然除法是乘法的逆运算，那么我们能否利用‘倒数’这个桥梁，把所有的除法算式都‘改造’成乘法算式呢？比如，(8)÷4能否写成(8)×(?)？这个‘?’应该是什么数？”引导学生发现“?”就是除数4的倒数1/4。  学生活动：对每一个自己计算过的除法算式，尝试用乘法进行验算，巩固对乘除互逆关系的理解。针对教师的核心追问，学生进行思考与尝试。通过计算(8)×(1/4)，发现结果也是2，从而惊奇地发现(8)÷4=(8)×(1/4)。在其他算式上重复这一过程，初步确信这一“改造”方法的普遍性。  即时评价标准：1.能否正确运用乘除互逆关系进行验算。2.在教师引导下，能否主动尝试将除法算式改写为乘法形式。3.能否发现改写前后的等价关系。  形成知识、思维、方法清单：  ★算理本质：有理数除法法则a÷b=a×(1/b)(b≠0)的根本依据是“除法是乘法的逆运算”。这是本节课需要突破的认知关键点。教师强调：“倒数在这里扮演了‘转换开关’的角色。”  ★转化思想：“化未知为已知”，将新的除法运算转化为已掌握的乘法运算，这是数学中非常重要的化归思想。要让学生体会这种转化带来的便利。  ▲零为什么不能作除数：可在此设问：“如果b=0，这个法则还成立吗？”引导学生回忆1/0无意义，从反面强化对除数不为零的认识。任务三：归纳与表述，形成法则  教师活动：组织学生进行全班范围的研讨。首先，请小组代表分享基于特例和算理探究的发现。教师板书学生的关键发现。然后，引导学生用精炼、准确的数学语言进行概括：“现在，谁能为我们有理数的除法运算‘立法’？请从‘商的符号’和‘商的绝对值’两个方面来总结。”学生归纳后，教师进行规范板书，并与课本法则对照。进一步通过动画或板书，对比有理数乘法法则与除法法则，提问：“大家看，除法的符号法则和乘法是不是完全一样？这仅仅是巧合吗？”引导学生从“转化”角度理解其一致性。  学生活动：小组代表发言，尝试归纳法则。可能表述为：“同号得正，异号得负，并把绝对值相除。”或“除以一个数，等于乘这个数的倒数。”全班进行补充、修正和完善。最终，在教师指导下，形成两种等价的标准表述，并理解其内在一致性。对比乘法法则，深化认知。  即时评价标准：1.归纳的表述是否完整、准确（包含符号与绝对值两部分，或明确转化方法）。2.能否理解法则两种表述（先确定符号再算绝对值，或转化为乘法）之间的联系与等价性。  形成知识、思维、方法清单：  ★有理数除法法则（两种表述）：  1.运算级表述：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。  2.转化级表述：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。教师需说明，第二种表述更具一般性，是核心方法。  ★符号法则的统一性：与乘法法则相同，这体现了乘、除法运算在“符号确定”这一维度上的内在统一逻辑。可提问：“为什么它们会一样？因为除法转化成了乘法呀！”  ▲法则的选用：向学生说明，对于简单的整数除法，用法则一可能更直接；对于分数除法或复杂运算，用法则二（转化为乘法）通常更简便、不易出错。任务四：法则的初步应用与辨析  教师活动：出示第一批例题进行引导性板演和讲解。例1：计算(1)(36)÷9(2)(12/25)÷(3/5)。“对于(1)，我们可以直接用法则一：异号得负，绝对值36÷9=4，所以结果是4。也可以用法则二：(36)×(1/9)=4。大家觉得哪种更顺手？”例2重点展示分数除法的转化过程：(12/25)÷(3/5)=(12/25)×(5/3)，然后强调先确定符号为正，再约分计算。接着，出示辨析题：6÷1/3×3，让学生判断常见错误6÷1=6的根源在于运算顺序错误，强调“除以一个数等于乘它的倒数”只针对其后的一个数。  学生活动：跟随教师思路，理解两种解法的优劣。重点观摩分数除法的规范书写和计算步骤。对辨析题进行思考，明确运算顺序（同级运算，从左到右）的重要性，避免将6÷1/3×3错误理解为6÷(1/3×3)。  即时评价标准：1.能否看懂并复述教师的规范解题步骤。2.在面对分数除法时，能否正确、熟练地找到除数的倒数并进行乘法运算。3.能否识别并解释辨析题中的典型错误。  形成知识、思维、方法清单：  ★运算的规范性：展示完整的计算过程，特别是分数运算中的约分步骤，培养学生严谨的书写习惯。  ★易错点预警：重点强调“运算顺序”在乘除混合运算中的决定作用。这是学生出错的高频区，必须在新知应用初期予以警示。可以形象地说：“除号只‘管’住它后面紧挨着的那个数或式子，可不能‘管辖’过宽。”  ▲方法优化：引导学生根据算式特点灵活选择计算方法。例如，整数与整数相除，直接除可能更快捷；分数与分数相除，转化乘法几乎是不二之选。任务五：综合应用与变式练习  教师活动：出示更具综合性的例题或情境题。例3：计算(7/87/12)÷(7/6)。“同学们，这个算式里包含了减法、除法和负数，看起来有点复杂。我们该怎么‘拆解’它？运算顺序是什么？第一步做什么？”引导学生分析运算顺序（先算括号内减法），并展示将除法转化为乘法的完整过程。可以请一位学生上台板演，师生共同评议。然后，出示一个简单应用题：“某气象站测量，高度每升高1千米，气温大约下降6℃。若地面气温是20℃，求10千米高空的气温大约是多少？”引导学生列式20+10×(6)，并指出这里用到的是乘法。接着问：“反过来，如果测得某高度气温为40℃，地面气温为20℃，能否求出这个高度？”从而引出除法算式[(40)20]÷(6)，让学生体会除法在解决逆向问题中的应用。  学生活动：分析例3的运算顺序，尝试独立或合作完成计算。通过上台板演或口头表述，展示解题过程。对应用题，理解题意，区分乘法和除法适用的不同问题情境，并完成除法算式的列式计算。  即时评价标准：1.面对多步运算，能否正确判断并执行运算顺序。2.在复杂算式中，能否坚持规范书写和准确计算。3.能否将简单的实际问题抽象为除法算式并求解。  形成知识、思维、方法清单：  ★运算顺序的巩固：在有理数除法加入后，进一步巩固混合运算的顺序规则（先乘除，后加减；有括号先算括号内）。  ★数学建模的初步体验：通过气温变化问题，让学生初步体验如何用有理数运算（特别是乘除法）刻画现实世界中的正反比例变化关系，感受数学的应用价值。  ▲逆向思维训练：应用题的设计体现了从乘法到除法的逆向思考，强化学生对运算互逆性的理解，培养其逆向思维能力。第三、当堂巩固训练  设计核心：构建分层、变式的训练体系，并提供即时反馈。  1.基础层（小试牛刀，全体必做）：直接应用法则进行计算。  (1)(18)÷6(2)63÷(7)(3)(1)÷(0.25)(4)0÷(4/5)  （设计意图：巩固基本法则，特别是符号确定和0的除法。）  2.综合层（综合应用，多数学生完成）：在稍复杂情境中运用法则。  (1)(3/4)÷(6)(2)(48)÷8÷(3)（强调顺序）  (3)计算：[(2/3)+3/4]÷(1/12)（整合加减运算）  （设计意图：检验对分数除法、运算顺序及混合运算的掌握。）  3.挑战层（思维挑战，学有余力选做）：  已知|a|=5,|b|=1/3，且ab<0，求a÷b的值。  （设计意图：结合绝对值、符号判断，考察对法则的深度理解和分类讨论思想。）  反馈机制：学生独立练习58分钟。随后，通过投影展示具有代表性的学生答案（包括正确典范和典型错误）。基础层和综合层题目可采取学生互评、教师点评相结合的方式。对于挑战层题目，请做出来的学生分享思路，教师提炼其中的分类讨论方法。针对普遍性问题，如符号错误、运算顺序错误，进行集中讲解与强调。第四、课堂小结  设计核心：引导学生自主进行结构化总结与元认知反思。  1.知识整合：“同学们，经过这节课的侦探工作，我们收获了有理数除法的‘办案手册’。谁能用你自己的话来总结一下这本‘手册’的核心内容？”引导学生从知识（法则两种表述）、方法（转化思想）、易错点（运算顺序、符号）等方面进行梳理。教师可板书形成简易思维导图。  2.方法提炼：“今天我们最关键的一步，是把除法‘转化’为乘法。回想一下，我们是怎样想到并实现这个转化的？（从乘法的逆运算出发，借助倒数这个桥梁）这种‘转化’的思想，在以前的学习中用过吗？以后可能会在哪里再用到？”（联系小学分数除法、未来解方程等）  3.作业布置与延伸：  必做作业（基础巩固）：课本对应练习题第1、2题（侧重基础法则应用）。  选做作业（能力提升）：1.课本对应练习题第5题（混合运算）。2.思考：有理数的加、减、乘、除四则运算已经学完，它们混合在一起时，运算顺序规则是怎样的？请尝试自己总结。  “下节课，我们将进入有理数乘除法的综合运算阶段，今天的法则和转化思想将是我们的利器。请同学们做好准备。”六、作业设计  基础性作业（全体学生必做）：  1.计算下列各题：  (1)(15)÷3(2)24÷(6)(3)(45)÷(15)(4)(3/7)÷(6/11)(5)0÷(13.42)  2.化简下列分数（即完成除法）：  (1)12/3(2)15/25(3)0/8  （设计意图：巩固有理数除法基本运算技能，特别是符号处理和分数形式的除法。）  拓展性作业（建议大多数学生完成）：  3.计算：  (1)(12)÷4÷(3)(2)(5/6)÷(10)÷(3/4)(3)[(1/2)1/3]÷(5/6)  4.某冷冻厂的一个冷库室温是2℃，现有一批食品需要在26℃下冷藏。如果该冷库每小时能降温4℃，那么需要几小时才能降到所需的温度？（请列出算式并计算）  （设计意图：在混合运算和简单实际问题情境中综合运用除法法则，培养运算能力和应用意识。）  探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：  5.请你设计一道包含至少两步有理数运算（必须有除法）的应用题，并给出解答。题目背景可以来自生活、科学或你的想象。  6.查阅资料或自主思考：为什么在有理数范围内，我们仍然规定“0不能作除数”？尝试从不同角度（如逆运算关系、运算结果的一致性等）给出你的解释。  （设计意图：第5题鼓励学生创造性应用和数学建模；第6题引导学生进行数学本质的深度思考，培养批判性思维和探究精神。）七、本节知识清单及拓展  ★1.有理数除法的意义：有理数除法是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。它是乘法的逆运算。教学提示：理解此意义是推导法则的逻辑起点。  ★2.有理数除法法则（核心表述）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。教学提示：此表述体现了“转化”的核心思想，是解决复杂除法运算的通用方法。  ★3.有理数除法法则（运算表述）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。教学提示：此表述更直观地给出了商的符号和绝对值确定方法，适用于简单的心算或整数除法。  ★4.倒数的关键作用：在法则a÷b=a×(1/b)中，1/b就是b的倒数。求一个非零有理数的倒数是进行除法转化的关键步骤。易错点：负数的倒数仍是负数，且是将其绝对值取倒数，如3的倒数是1/3。  ★5.商的符号法则：与乘法法则完全相同（同号得正，异号得负）。认知说明：这并非巧合，而是因为除法转化为了乘法，其符号确定逻辑自然一致。  ▲6.0为什么不能作除数：从逆运算角度看，若a÷0=?，则需找0×?=a(a≠0)，这样的数不存在；若0÷0=?，则任何数都满足0×?=0，结果不唯一。因此，规定0不能作除数以保证运算结果的确定性。  ★7.分数与除法的关系：分数a/b(b≠0)既可以表示一个数，也可以理解为a÷b的商。因此，化简分数12/4就是计算(12)÷4=3。应用实例：所有分数化简问题都可视为除法运算。  ★8.运算顺序的优先级：在有理数乘除混合运算中，应按从左到右的顺序依次进行。易错点警示：切勿错误地将a÷b÷c当作a÷(b×c)计算。口诀：“乘除同级，从左到右”。  ▲9.化归思想方法：将未掌握的有理数除法问题，通过“倒数”桥梁，转化为已熟练掌握的有理数乘法问题，这种思想方法称为“化归”。思维拓展：它是解决数学问题的基本策略之一，在未来的学习中会反复运用。  ★10.典型例题步骤示范：以(3/4)÷(6/5)为例：①将除法转化为乘法：=(3/4)×(5/6)；②确定积的符号为负；③绝对值相乘：(3/4)×(5/6)=(3×5)/(4×6)=15/24=5/8；④写出结果：5/8。规范要求：展示完整步骤，特别是约分过程。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析：假设本课教学实施后，通过课堂观察、随堂练习反馈和课后作业批改，可以评估目标达成情况。预计大部分学生能准确记忆并应用除法法则完成基础运算（知识目标达成），在教师引导下能理解转化思想（能力与思维目标部分达成）。情感目标体现在小组讨论的参与度上，需关注个别沉默学生是否被有效带动。元认知目标通过小结环节的自我回顾来考察，可能需要更多学生范例来强化。  （二）核心教学环节有效性评估：  1.导入环节：以乘法逆运算问题切入，能快速链接旧知，制造认知悬念，效果较好。但问题设计可更生活化，如从“分配”或“平均”的实际情境引入，或许更能激发兴趣。  2.任务一至三（探究归纳环节）：这是本课重中之重。从特例计算到算理叩问，再到法则归纳，逻辑链条清晰。学生在“验证转化”环节（任务二）表现出的惊奇感，是理解算理的关键情感节点。反思：是否给足了学生自主发现“倒数桥梁”的时间？还是引导过快？可能需要在(8)÷4=(8)×(?)的设问后，给予更长的“留白”思考时间。  3.任务四与五（应用环节）：分层例题与及时辨析的设计有效防范了常见错误。学生在处理分数除法和混合运算时出现的步骤混乱，提示我们需要更多的规范