重庆市西南大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

西南大学附中2025—2026学年度上期期末考试高二数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自行保管，以备评讲）.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若函数，则（）A. B. C.1 D.02.方程表示椭圆，则的取值范围是（）A. B.或 C. D.3.已知数列是公比为的等比数列，则（）A.2 B.4 C.8 D.164.已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角满足（）A. B.C. D.5.已知圆，是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（）A. B.C. D.6.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.7.已知数列满足，，则的最小值为（）A.5 B.4 C.3 D.28.已知双曲线（，）焦距为，左、右顶点分别为，，过作轴的垂线与的渐近线交于，两点，若，则的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，，则下列说法正确的是（）A.直线过定点B.直线的倾斜角为C.若，则D.若，则10.设正项数列的前项和为，已知.则下列结论正确的是（）A. B.C. D.11.已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，则（）A.以为直径的圆与相切B.若，则直线斜率的绝对值为1C.为锐角三角形D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，向量，且，则________.13.已知点为抛物线上的动点，点，过作轴的垂线，垂足为点，则的最小值为_________.14.已知数列满足，若数列为单调递增数列，则的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知公差大于1的等差数列满足，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.16.已知曲线在点处切线与直线平行.（1）求；（2）求单调区间.17.如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，为等边三角形，且平面平面，连接.（1）证明：；（2）求平面与平面所成角的余弦值.18.已知椭圆的离心率为，点在上.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明：直线过定点；（3）以原点为圆心且过点的圆与直线交于点（异于点），求面积的最大值.19.设，点、满足，，若线段的中点满足.（1）记与夹角为，试问是否为定值.若是，请求出的值；若不是，请说明理由；（2）设为与到直线的距离之和，记的最大值为，求；（3）在（2）中，设数列的前项和为，且满足：，，证明：.西南大学附中2025—2026学年度上期期末考试高二数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自行保管，以备评讲）.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若函数，则（）A. B. C.1 D.0【答案】C【解析】【分析】利用导数运算法则求出导数，进而求出导数值.【详解】函数，求导得，所以.故选：C2.方程表示椭圆，则的取值范围是（）A. B.或 C. D.【答案】B【解析】【分析】结合椭圆的标准方程求解即可.【详解】由题意知，，解得或.故选：B.3.已知数列是公比为的等比数列，则（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式及下标和性质求解即可.【详解】因为数列是公比为的等比数列，所以，，，所以.故选：B.4.已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角满足（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用异面直线夹角公式列式求解并判断.【详解】由两条异面直线的方向向量分别是，，得，.故选：A5.已知圆，是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理求出弦心距，再结合两点间距离公式求解即可.【详解】圆，圆心，半径.设弦中点为，连接.在中，，，所以.是点到圆心的距离，所以，即.故选：D.6.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求函数的导数，由函数在给定区间上的单调性得到在上恒成立，将其转化成在上恒成立，求出函数，在区间上的最小值为，所以.【详解】求导得到，因函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，函数，在区间上单调递增，最小值为；所以，故选：B.7.已知数列满足，，则的最小值为（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】根据题意，得到，利用累加法求得，得到，进而求得的最小值，得到答案.【详解】由数列满足，且，可得，所以，则，因为函数在上单调递减，在上单调递增，又因为，当时，可得取得最小值，最小值为.故选：C.8.已知双曲线（，）的焦距为，左、右顶点分别为，，过作轴的垂线与的渐近线交于，两点，若，则的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出双曲线渐近线方程及顶点坐标，进而求出线段长，再利用三角形面积列出不等式求解.【详解】双曲线的渐近线方程为，，直线与渐近线方程联立得，则，，由，得，即，则，整理得，即，而，解得，所以的离心率的取值范围为.故选：A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，，则下列说法正确的是（）A.直线过定点B.直线的倾斜角为C.若，则D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】直线化简得到，则直线过定点，故A正确；直线的斜率为，所以倾斜角为，故B错误；若，则两直线斜率乘积为，列方程求解得到，所以故C正确；若，则两直线斜率相等为，列方程求解得到，故D正确.【详解】直线，化简得到，令，所以，所以直线过定点，故A正确；直线的斜率为，对应倾斜角为，故B错误；若，则两直线斜率乘积为，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以，所以，故C正确.若，则两直线斜率相等，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以，所以，故D正确.故选：ACD.10.设正项数列的前项和为，已知.则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据给定的递推公式，结合变形，利用等差数列定义求出，再逐项分析判断.【详解】正项数列中，，对于A，由，得，而，解得，A正确；对于B，当时，，则，整理得，由，得，，B错误；对于C，由选项B知数列是首项为1，公差为1的等差数列，，而，解得，当时，，满足上式，因此，C正确；对于D，，D正确.故选：ACD11.已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，则（）A.以为直径的圆与相切B.若，则直线的斜率的绝对值为1C.为锐角三角形D.【答案】ABD【解析】【分析】求出抛物线焦点坐标及准线方程，利用抛物线定义，结合圆的切线判定判断A；设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合抛物线定义、数量积的坐标表示及两点间距离公式求解判断BCD.【详解】抛物线的焦点，准线，设，对于A，，以为直径的圆半径，线段中点到直线的距离为，因此该圆与相切，A正确；对于B，设直线，由消去得，则，，由，得，于是，解得，因此直线的斜率的绝对值为1，B正确；对于C，由选项B知，，而，，因此，即，，C错误；对于D，，当且仅当时取等号，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，向量，且，则________.【答案】13【解析】【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解即可.【详解】因，所以，即，解得.所以.故答案为：13.13.已知点为抛物线上的动点，点，过作轴的垂线，垂足为点，则的最小值为_________.【答案】【解析】【分析】结合抛物线的定义可得，再根据三角形的性质求解即可.【详解】由抛物线，则焦点为，准线为，则，当且仅当在线段上时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.14.已知数列满足，若数列为单调递增数列，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】由数列为单调递增数列得到，对进行化简，分情况讨论计算即可.【详解】已知，所以.因为数列为单调递增数列，所以恒成立..当为奇数时，不等式变为，即.设（为奇数），需.又，，，已知在奇数项上单调递增，故.当为偶数时，不等式变为，即.设（为偶数），需.又，，，已知在偶数项上单调递减，故.综上，.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知公差大于1的等差数列满足，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设出公差，利用等比中项的定义列出方程求出公差，进而求得通项公式.（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和，借助放缩法推理得证.【小问1详解】设等差数列的公差为，由，且，，成等比数列，得，即，而，解得，所以数列的通项公式为.【小问2详解】由（1）得，所以.16.已知曲线在点处的切线与直线平行.（1）求；（2）求的单调区间.【答案】（1）（2）的单调递增区间为，单调递减区间为【解析】【分析】（1）对原函数进行求导，根据切线与直线平行，得到，代入求解即可.（2）根据导数与单调性的关系求解即可.【小问1详解】已知，所以.曲线在点处的切线与直线平行，所以，即，解得.【小问2详解】函数的定义域为，.令，即，又，所以，即，也即，解得或（舍去，因为）.当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以的单调递增区间为，单调递减区间为.17.如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，为等边三角形，且平面平面，连接.（1）证明：；（2）求平面与平面所成角余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中点，利用直角三角形判定证得，再利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证.（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.小问1详解】在四棱锥中，取中点，连接，因为四边形是等腰梯形，，所以，则四边形是平行四边形，则，是直角三角形，且，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.【小问2详解】取的中点，连接，由（1）知，，平面，由为等边三角形，得，则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量，则，令，得，设平面的一个法向量，则，令，得；设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.18.已知椭圆的离心率为，点在上.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明：直线过定点；（3）以原点为圆心且过点的圆与直线交于点（异于点），求面积的最大值.【答案】（1）（2）证明见解析（3）8【解析】【分析】（1）根据题意列出的方程组，解方程组即可；（2）设直线的方程为，与椭圆联立求出点的坐标，同理可得点的坐标，最后根据的坐标写出直线的方程即可得证，（3）首先联立直线和圆，利用弦长公式求出，然后根据点线距公式求出点到直线的距离，进而得到的表达式，最后利用基本不等式即可求出最大值.【小问1详解】由题意可知，解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】由题意可知，直线的斜率显然存在且不为0，设直线的方程为，由消去得，所以，，即，因为，所以同理可得，，即，直线的斜率为，所以直线的方程为，整理得，所以直线恒过定点.【小问3详解】以原点为圆心且过点的圆的方程为，联立消去得，所以，则，点到直线的距离，所以，当且仅当即时取等号，所以面积的最大值为.19.设，点、满足，，若线段的中点满足.（1）记与的夹角为，试问是否为定值.若是，请求出的值；若不是，请说明理由；（2）设为与到直线的距离之和，记的最大值为，求；（3）在（2）中，设数列的前项和为，且满足：，，证明：.【答案】（1）