2026年中考数学二轮复习难点题型突破课件：综合与实践问题

综合与实践问题综合与实践问题特征：这类问题是近几年中考试题的一类新问题，主要考查学生基础

知识的掌握情况，强调数学知识与方法在解决实际问题、创新应用及跨学

科探究等方面的能力.类型：（1）统计分析类.（2）问题情境类.（3）模型探究类.（4）实践操作类.（5）学科融合类.（6）项目学习类.解题策略：综合与实践问题没有固定的解题模式，注重系统掌握基础知

识，根据问题的特点，灵活解决.类型之一统计分析类1.

［2024•广西］课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y＝

x2＋2ax＋a－3的最值问题展开探究.【经典回顾】二次函数求最值的方法.（1）老师给出a＝－4，求二次函数y＝x2＋2ax＋a－3的最小值.①请你写出对应的函数表达式；②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值

时，y的最小值.记录结果，并整理成下表：a…－4－2024…x…*20－2－4…y的最小值…*－9－3－5－15…注：*为②的计算结果.【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你

的发现.”甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x＝－a，就能得到y的

最小值.”乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y

的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值.”解：（1）①把a＝－4代入y＝x2＋2ax＋a－3，得y＝x2＋2•（－4）x＋

（－4）－3＝x2－8x－7；

∴y＝x2－8x－7；②∵y＝x2－8x－7＝（x－4）2－23，∴当x＝4时，y有最小值为－23.解：（1）①把a＝－4代入y＝x2＋2ax＋a－3，得y＝x2＋2•（－4）x＋

（－4）－3＝x2－8x－7；

∴y＝x2－8x－7；②∵y＝x2－8x－7＝（x－4）2－23，∴当x＝4时，y有最小值为－23.（2）请结合函数表达式y＝x2＋2ax＋a－3，解释甲同学的说法是否合

理？解：（2）∵y＝x2＋2ax＋a－3＝（x＋a）2－a2＋a－3，∵抛物线的开口向上，∴当x＝－a时，y有最小值；∴甲的说法合理.解：（2）∵y＝x2＋2ax＋a－3＝（x＋a）2－a2＋a－3，∵抛物线的开口向上，∴当x＝－a时，y有最小值；∴甲的说法合理.

解：（3）正确；∵y＝x2＋2ax＋a－3＝（x＋a）2－a2＋a－3，∴当x＝－a时，y有最小值为－a2＋a－3，

2.

［2024•安徽］综合与实践.【项目背景】无核柑橘是安徽省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘

园.在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项

目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑

橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考.【数据收集与整理】从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个.在技术人员指导下，测量每

个柑橘的直径，作为样本数据.柑橘直径用x（单位：cm）表示.将所收集

的样本数据进行如下分组：组别ABCDEx3.5≤x＜4.54.5≤x＜5.55.5≤x＜6.56.5≤x＜7.57.5≤x≤8.5整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息

如下：甲园样本数据频数分布直方图图1乙园样本数据频数分布直方图图2（1）求图1中a的值.解：（1）由题意，得a＝200－（15＋70＋50＋25）＝40.解：（1）由题意，得a＝200－（15＋70＋50＋25）＝40.

故乙园样本数据的平均数为6.乙园样本数据频数分布直方图图2（3）下列结论一定正确的是

.（填正确结论的序号）①两园样本数据的中位数均在C组；②两园样本数据的众数均在C组；③两园样本数据的最大数与最小数的差相等.①

（3）【解析】由统计图可知，两园样本数据的中位数均在C组，故①

正确；甲园样本数据的众数在B组，乙园样本数据的众数在C组，故②结论错误；两园样本数据的最大数与最小数的差不一定相等，故③结论错误.故答案为①.（3）【解析】由统计图可知，两园样本数据的中位数均在C组，故①

正确；甲园样本数据的众数在B组，乙园样本数据的众数在C组，故②结论错误；两园样本数据的最大数与最小数的差不一定相等，故③结论错误.故答案为①.（4）结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为

二级，其他组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，

三级最次.试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由.根据所给信息，请完成以上所有任务.（4）解：乙园的柑橘品质更优，理由如下.由样本数据频数分布直方图可得，乙园一级柑橘所占比例大于甲园，因此

可以认为乙园的柑橘品质更优.（4）解：乙园的柑橘品质更优，理由如下.由样本数据频数分布直方图可得，乙园一级柑橘所占比例大于甲园，因此

可以认为乙园的柑橘品质更优.类型之二问题情境类3.

综合与实践.某数学小组为了了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查询资料

获得以下信息：材料一：由于人的反应和惯性的作用，行驶中的汽车从发现情况到刹车停

止前还要继续向前行驶一段距离才能停下，这段距离称为制动非安全距

离.从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离普通人反应

时间为0.2秒.从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离.材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过

150

km/h）进行测试，测得数据如表：车速x/（km/h）0306090120150制动距离y/m07.819.234.252.875（1）以车速x为横坐标，制动距离y为纵坐标，在坐标系中描出材料二表

中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点.解：（1）如答图所示.

答图解：（1）如答图所示.答图探究任务：

解：（2）设y与x的关系式为y＝ax2＋bx，∵经过点（30，7.8），（60，19.2），

（3）若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动

距离约为40 m，请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度.

解得x1＝100，x2＝－200（不合题意，舍去），答：制动距离约为40 m时该款汽车开始刹车时的速度约为100 km/h.

整理得x2＋100x－20 000＝0，解得x1＝100，x2＝－200（不合题意，舍去），答：制动距离约为40 m时该款汽车开始刹车时的速度约为100 km/h.

解：（4）有碰撞危险，理由如下.

∴有碰撞危险.4.

［2024•潍坊］在光伏发电系统运行时，太阳能板与水平地面的夹角会

对太阳辐射的接收产生直接影响.某地区工作人员对日平均太阳辐射量y

（单位：kW•h•10－1•m－2•d－1）和太阳能板与水平地面的夹角x°

（0≤x≤90）进行统计，绘制了如图1所示的散点图，已知该散点图可用

二次函数刻画.图1

解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c.将（0，40），（10，45），（30，49）代入，

图1

∴太阳能板与水平地面的夹角为30度时，日平均太阳辐射量最大.

图2

答图∴AH＝a，AN＝2AH＝2a，

∴HN＝HF＋FN＝4＋a，

如答图，过点A作AP⊥GM交于点P，延长NF交AP于点H，令FH＝a，答图∴AH＝a，AN＝2AH＝2a，

∴HN＝HF＋FN＝4＋a，

图2

延长AN交GM与点J，∵∠AJG＝∠AGJ，∴AJ＝AG.

图2类型之三模型探究类5.

综合与实践.【问题背景】某课外科学活动小组研究一个小球在一条足够长且平直的轨

道上的运动问题.如图，轨道起始段（AC段）绝对光滑，不存在阻力；剩

余部分（CB段）粗糙，存在恒定的摩擦力，会使小球速度逐渐减小直至

停止.

图1

图2

40解：任务2：①设v＝kt＋b，把（4，10），（16，4）代入，

∴行进的总路程为140 cm.

解：任务3：假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第

（m＋1）秒行驶至轨道终点，

9.75，

解得m＝4，

起点刚好为C点（符合题意），∴轨道起点与点A之间的距离为40 cm.

图1

∵AD∥x轴，

图1（2）如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.

当点E落在y

轴上，且点B的坐标为（1，2）时，求k的值.图2（2）解：∵点B（1，2）在直线y＝ax上，∴a＝2，∴y＝2x，∴点A的横坐标为1，点C的纵坐标为2.

∵把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E，

如答图1，过点D作DH⊥y轴于点H，过点B作BF⊥y轴于点F，答图1答图1∵AD∥x轴，∴H，A，D三点共线，∴∠HED＋∠BEF＝90°，∠BEF＋∠EBF＝90°，∵AD∥x轴，∴H，A，D三点共线，∴∠HED＋∠BEF＝90°，∠BEF＋∠EBF＝90°，图2∴∠HED＝∠EBF.

∵∠DHE＝∠EFB＝90°，∴△DHE

∽△EFB，

由答图1，知HF＝DC，

答图1【深入探究】

图3（3）解：∵把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E，当点E，A重

合，∴AC⊥BD.

∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD为正方形，∠ABP＝∠DBC＝45°，

BP⊥AC.

又BC∥x轴，∴直线y＝ax为第一、三象限的夹角平分线，∴y＝x.当⊙O过点B时，如答图2所示，过点D作DH∥x轴交y轴于点H，答图2答图2∵AD∥x轴，∴H，A，D三点共线.

∵AD∥x轴，∴H，A，D三点共线.

图3

∵AB∥y轴，∴△DHO∽△DAB，

∴HO＝HD＝4，∴HA＝HD－AD＝4－2＝2，∴A（2，4），图3∴k＝2×4＝8.当⊙O过点A时，根据A，C关于直线OD对称知，⊙O必过点C，如答图3所示，连AO，CO，过点D作DH∥x轴交y轴于点H.

∴k＝2×4＝8.当⊙O过点A时，根据A，C关于直线OD对称知，⊙O必过点C，如答图3所示，连AO，CO，过点D作DH∥x轴交y轴于点H.

答图3∵AO＝OC＝AC，∴△AOC为等边三角形.∵OP⊥AC，

∵AB∥y轴，∴△DHO∽△DAB，

图3

∴当⊙O与△ABC的边有交点时，k的取值范围为6≤k≤8.图3类型之四实践操作类7.

［2024•贵州］综合与实践.小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性

学习.【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投

射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A；第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水.（直线

NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线.）【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝

20 cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°.【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：（1）求BC的长；解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝45°，∴∠ABC＝45°，∴BC＝AC＝20 cm.解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝45°，∴∠ABC＝45°，∴BC＝AC＝20 cm.（2）求B，D之间的距离.（结果精确到0.1 cm；参考数据：

sin

 32°≈0.53，

cos

 32°≈0.85，tan 32°≈0.62）

∴NB＝ON＝10 cm.又∵∠DON＝32°，∴DN＝ON•tan∠DON＝10•tan 32°≈10×0.62＝6.2 cm，∴BD＝BN－DN＝10－6.2＝3.8（cm）.8.

［2024•南通］综合与实践.九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动.【特例探究】（1）如图1、图2、图3是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表

分析两腰之和与两腰之积.

图1

图2

图3图序角平分线AD的长∠BAD的度数腰长两腰之和两腰之积图1160°244图2145°

2

2图3130°​

​

​

请补全表格中数据，并完成以下猜想.已知△ABC的角平分线AD＝1，AB＝AC，∠BAD＝α，用含α的等式写

出两腰之和AB＋AC与两腰之积AB•AC之间的数量关系：

⁠

⁠.

AB＋AC＝

2AB•AC•

cos

α

等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表（1）【解析】如答图1，答图1∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC.

（1）【解析】如答图1，答图1∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC.

猜想：AB＋AC＝2AB•AC•

cos

α证明：如答图2，答图2∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC.

证明：如答图2，答图2∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC.

∴AB＋AC＝2AB•AC•

cos

α.∴AB＋AC＝2AB•AC•

cos

α.【变式思考】（2）已知△ABC的角平分线AD＝1，∠BAC＝60°，用等式写出两边之

和AB＋AC与两边之积AB•AC之间的数量关系，并证明.

证明：如答图3，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点C作CG⊥AB于点G，答图3

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，

∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，

【拓展运用】

图4（3）补全图形如答图4所示.答图4设∠A＝α.（3）补全图形如答图4所示.答图4设∠A＝α.∵BD＝AD，∴∠ABD＝∠A＝α，∴∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2α.∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝2α.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2α.∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴α＋2α＋2α＝180°，解得α＝36°，∴∠A＝∠ABD＝∠CBD＝36°.图4如答图5，过点E作EF⊥AB于点F，EH⊥BC于点H，过点N作

NG⊥AB于点G.

答图5∵S△BMN＝S△BEM＋S△BEN，如答图5，过点E作EF⊥AB于点F，EH⊥BC于点H，过点N作

NG⊥AB于点G.

答图5∵S△BMN＝S△BEM＋S△BEN，

∵∠ABD＝∠CBD，EF⊥AB，EH⊥BC，∴EF＝EH，∴BM•BN•

sin

 72°＝（BM＋BN）•EH，

∴EH＝BE•

sin

 36°，

图4∵BE为定长，

sin

 36°和

sin

 72°为定值，

类型之五学科融合类9.

［2024•兰州］单摆是一种能够产生往复摆动的装置.某兴趣小组利用摆

球和摆线进行单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下：实验主题探究摆球运动过程中高度的变化实验用具摆球，摆线，支架，摄像机等实验说明如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高

后松手，摆球开始做往复运动.（摆线的长度变化忽略不计）如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B

处，BD⊥OA，∠BOA＝64°，BD＝20.5

cm；当摆球运动至

点C时，∠COA＝37°，CE⊥OA.

（点O，A，B，C，D，

E在同一平面内）实验图示

图1

图2解决问题：根据以上信息，求ED的长.（结果精确到0.1 cm；参考数据：

sin

 37°≈0.60，

cos

 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，

sin

 64°≈0.90，

cos

 64°≈0.44，tan 64°≈2.05）

解：在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，∠BOA＝64°，BD＝20.5 cm，

∴OD≈10 cm，OB≈22.78 cm.在Rt△COE中，OC＝OB＝22.78 cm，∠COA＝37°，

整理，得OE≈22.78×0.80≈18.224（cm），则ED＝OE－OD≈8.2 cm.类型之六项目学习类10.

【项目式学习】【项目主题】安全用电，防患未然.【项目背景】近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上

升.据悉，约80％