江苏省扬州市江都二中2021-2021学年九年级数学上学期第一次月考试题含解析新人教版

PAGEPAGE1江苏省扬州市江都二中2015-2016学年九年级数学上学期第一次月考试题一、精心选一选（每题3分，共24分） 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（） A．x2+2x=x2﹣1 B． C．ax2+bx+c=0 D．3（x+1）2=2（x+1）2．用配方法解方程x2+10x+9=0，配方正确的是（） A．（x+5）2=16 B．（x+5）2=34 C．（x﹣5）2=16 D．（x+5）2=253．如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是（） A． B． C． D． 4．若（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣3=0，则代数式a2+b2的值（） A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．1或﹣35．如果关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）中a﹣b+c=0，那么方程必有一个根是（） A．1 B．﹣1 C．0 D．26．⊙O的半径为10cm，两平行弦AC，BD的长分别为12cm，16cm，则两弦间的距离是（） A．2cm B．14cm C．6cm或8cm D．2cm或14cm7．△ABC是⊙O内接三角形，∠BOC=80°，那么∠A等于（） A．80° B．40° C．140° D．40°或140°8．如图，已知⊙O的直径AB=12，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN=（） A． B． C．2 D．33 二、细心填一填（每题3分，共30分） 9．方程x2+x=0的解是． 10．以﹣3和6为根且二次项系数为1的一元二次方程是． 11．如图，AB是⊙O的弦，AB=4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是． 12．如图，∠C=90°，⊙C与AB相交于点D，AC=5，CB=12，则AD=． 13．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+x+k2﹣1=0的一个根是0，则k=． 14．已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则+等于． 15．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是． 16．已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+6的值为． 17．某校去年投资2万元购买实验器材，预计今明2年的投资总额为8万元．若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，则可列方程为． 18．如图，已知△ABC的三边长为a=3，b=4，c=5，若平行于三角形一边的直线l将△ABC的周长分成相等的两部分，设图中的小三角形①、②、③的面积分别为s1、s2、s3，则s1、s2、s3的大小关系是（用“＞”号连接） 三、用心做一做（本大题共10小题，共96分） 19．解一元二次方程． （1）（x﹣3）2﹣9=0 （2）x2﹣2x﹣5=0 （3）3x（x﹣2）=2（x﹣2） （4）x2+17=8x． 20．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数． 21．如图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E． 求证：点E为AD的中点． 22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件； （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 23．如图：已知P是半径为5cm的⊙O内一点．解答下列问题： （1）用尺规作图找出圆心O的位置．（要求：保留所有的作图痕迹，不写作法） （2）用三角板分别画出过点P的最长弦AB和最短弦CD． （3）已知OP=3cm，过点P的弦中，长度为整数的弦共有条． 24．如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC=6时，求线段OD的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由． 25．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，有一点到终点运动即停止．问： （1）几秒钟后△PBQ的面积等于8cm2？ （2）几秒钟后PQ⊥DQ？ （3）是否存在这样的时刻，使S△PDQ=8cm2，试说明理由． 26．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE． （1）求证：∠B=∠D； （2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长． 27．如图，I是△ABC的内心，∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D，交BC于点E． （1）求证：BD=ID； （2）求证：ID2=DEDA． 28．如图，直径为10的⊙O经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OA＞OB）的长分别是方程x2+kx+48=0的两根． （1）求线段OA、OB的长； （2）已知点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC2=CDCB时，求C点的坐标； （3）在⊙O上是否存在点P，使S△POD=S△ABD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2015-2016学年江苏省扬州市江都二中九年级（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、精心选一选（每题3分，共24分） 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（） A．x2+2x=x2﹣1 B． C．ax2+bx+c=0 D．3（x+1）2=2（x+1）【考点】一元二次方程的定义． 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：A、原方程可化为：2x+1=0，是一元一次方程，错误； B、是分式方程，错误； C、方程二次项系数可能为0，错误； D、原方程可化为：3x2+4x+1=0，符合一元二次方程定义，正确． 故选D． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，解答时要先观察方程特点，再依据以上四个方面的要求进行有针对性的判断． 2．用配方法解方程x2+10x+9=0，配方正确的是（） A．（x+5）2=16 B．（x+5）2=34 C．（x﹣5）2=16 D．（x+5）2=25【考点】解一元二次方程-配方法． 【分析】移项，配方（方程两边都加上一次项系数的一半的平方），即可得出答案． 【解答】解：x2+10x+9=0， x2+10x=﹣9， x2+10x+52=﹣9+52， （x+5）2=16． 故选A． 【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，关键是能正确配方． 3．如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是（） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】由，得到=，根据平行线分线段成比例得到=，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】解：∵， ∴=， ∵DE∥BC， ∴=， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴==，==，=（）2=． 故选A． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 4．若（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣3=0，则代数式a2+b2的值（） A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．1或﹣3【考点】换元法解一元二次方程． 【分析】设a2+b2=x，将原方程变形，解一元二次方程即可． 【解答】解：设a2+b2=x， 原方程变形为，x2﹣2x﹣3=0， 解得x=3或﹣1， ∵a2+b2≥0， ∴a2+b2=3， 故选B． 【点评】本题考查了用换元法解一元二次方程，解题的关键是找出要变形的整体． 5．如果关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）中a﹣b+c=0，那么方程必有一个根是（） A．1 B．﹣1 C．0 D．2【考点】一元二次方程的解． 【分析】根据题意知，当x=﹣1时，a﹣b+c=0，由此可以判定x=﹣1是原方程的一个根． 【解答】解：∵a﹣b+c=0，且当x=﹣1时，a﹣b+c=0， ∴x=﹣1是原方程的一个根． 故选B． 【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 6．⊙O的半径为10cm，两平行弦AC，BD的长分别为12cm，16cm，则两弦间的距离是（） A．2cm B．14cm C．6cm或8cm D．2cm或14cm【考点】垂径定理． 【分析】解答有关垂径定理的题，作辅助线一般是连接半径或作垂直于弦的直径．分两种情况解答：①弦AC、BD在⊙O的同侧；②弦AC、BD在⊙O的两侧． 【解答】解：如图① 作OE⊥AC垂足为E，交BD于点F， ∵OE⊥ACAC∥BD， ∴OF⊥BD， ∴AE=AC=6cmBF=BD=8cm， 在Rt△AOE中 OE===8cm 同理可得： OF=6cm ∴EF=OE﹣OF=8﹣6=2cm； 如图② 同理可得：EF=OE+OF=8+6=14cm 综上所述两弦之间的距离为2cm或14cm． 故选D． 【点评】此题主要利用垂径定理，把问题转化为直角三角形，运用勾股定理来解决，还得注意分情况讨论． 7．△ABC是⊙O内接三角形，∠BOC=80°，那么∠A等于（） A．80° B．40° C．140° D．40°或140°【考点】圆周角定理． 【专题】分类讨论． 【分析】因为点A可能在优弧BC上，也可能在劣弧BC上，则根据圆周角定理，得∠BAC=40°或140°． 【解答】解：应分为两种情况： 点A在优弧BC上时，∠BAC=40°； 点A在劣弧BC上时，∠BAC=140°； 所以∠BAC的大小为40°或140°． 故选D． 【点评】本题主要考查了圆周角定理．能够注意到此题的两种情况是解题的关键． 8．如图，已知⊙O的直径AB=12，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN=（） A． B． C．2 D．33【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理． 【分析】延长ME，交⊙O于点G，连接MO，过点O作OH⊥MG于点H．由AE=EF=FB，EG∥NF可知EG=NF，由⊙O的直径AB=12可以得知OE=2，在Rt△EHO中由特殊角的三角函数值可求出OH的长度，再由垂径定理可知MH=MG，在Rt△MHO中由勾股定理得出MH的值，从而得出MG的值，由MG=ME+EG=EM+FN可得知结论． 【解答】解：延长ME，交⊙O于点G，连接MO，过点O作OH⊥MG于点H，如图所示． ∵AE=FE=FB，EG∥NF， ∴EG=NF，MG=ME+NF． ∵⊙O的直径AB=12，E、F为AB的三等分点， ∴AE=EF=FB=4，AO=OB=OM=6， ∴OE=2． 又∵∠∠MEB=∠NFB=60°， ∴OH=OEsin∠HEO=． ∵OM=6， ∴MH==， ∴MG=2MH=2． 即EM+FN=2． 故选C． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理以及垂径定理，解题的关键是找出MG=EM+FN，由勾股定理求出MG的长度．本题属于中档题，有点难度，很多学生不知道如何去着手，再解决该类题型时，可以利用圆的对称性寻找相等的量，以达到整体替换的效果． 二、细心填一填（每题3分，共30分） 9．方程x2+x=0的解是x1=0，x2=﹣1． 【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【专题】计算题． 【分析】利用因式分解法解方程． 【解答】解：x（x+1）=0， x=0或x+1=0， 所以x1=0，x2=﹣1． 故答案为x1=0，x2=﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解． 10．以﹣3和6为根且二次项系数为1的一元二次方程是x2﹣3x﹣18=0． 【考点】根与系数的关系． 【分析】先计算出﹣3+6=3，﹣3×6=﹣18，然后根据根与系数的关系写出满足条件的方程． 【解答】解：∵﹣3+6=3，﹣3×6=﹣18， ∴﹣3和6为根且二次项系数为1的一元二次方程为x2﹣3x﹣18=0． 故答案为：x2﹣3x﹣18=0． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1x2=． 11．如图，AB是⊙O的弦，AB=4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是2． 【考点】三角形中位线定理；等腰直角三角形；圆周角定理． 【分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值． 【解答】解：∵点M，N分别是AB，BC的中点， ∴MN=AC， ∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值， 当AC时直径时，最大， 如图， ∵∠ACB=∠D=45°，AB=4， ∴AD=4， ∴MN=AD=2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大． 12．如图，∠C=90°，⊙C与AB相交于点D，AC=5，CB=12，则AD=． 【考点】垂径定理；勾股定理． 【分析】过点C作CE⊥AB，垂足为E，由勾股定理，先求出AB的长，再由三角形的面积求出CE的长，再利用勾股定理得出AE，最后由垂径定理得出AD即可． 【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E， ∵∠C=90°，AC=5，CB=12， ∴由勾股定理，得AB=13， ∵5×12=13CE，∴CE=， ∴由勾股定理，得AE=， ∴由垂径定理得AD=． 故答案为． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算． 13．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+x+k2﹣1=0的一个根是0，则k=1． 【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义． 【专题】计算题． 【分析】先根据一元二次方程的解的意义把x=0代入方程求出k=1或﹣1，然后根据一元二次方程的定义确定k的值． 【解答】解：把x=0代入方程得k2﹣1=0，解得k=1或k=﹣1， 而k+1≠0， 所以k=1． 故答案为1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义． 14．已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则+等于﹣2． 【考点】根与系数的关系． 【专题】计算题． 【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=1，然后变形+得，再把x1+x2=2，x1x2=﹣1整体代入计算即可． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根， ∴x1+x2=2，x1x2=﹣1， ∴+==﹣2． 故答案为﹣2． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式． 15．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x3=﹣4，x4=﹣1． 【考点】一元二次方程的解． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解． 【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0）， ∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=﹣2或x+2=1， 解得x=﹣4或x=﹣1． 故答案为：x3=﹣4，x4=﹣1． 【点评】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算． 16．已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+6的值为24． 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解． 【分析】根据一元二次方程解的定义得到a2﹣a﹣3=0，b2﹣b﹣3=0，即a2=a+3，b2=b+3，则2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+6=2a（a+3）+b+3+3（a+3）﹣11a﹣b+6，整理得2a2﹣2a+18，然后再把a2=a+3代入后合并即可． 【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根， ∴a2﹣a﹣3=0，b2﹣b﹣3=0，即a2=a+3，b2=b+3， ∴2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+6=2a（a+3）+b+3+3（a+3）﹣11a﹣b+6 =2a2﹣2a+18 =2（a+3）﹣2a+18 =2a+6﹣2a+18 =24． 故答案为：24． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程解的定义． 17．某校去年投资2万元购买实验器材，预计今明2年的投资总额为8万元．若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，则可列方程为2（1+x）+2（1+x）2=8． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】增长率问题． 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，根据题意可得出的方程． 【解答】解：设该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x， 今年的投资金额为：2（1+x）； 明年的投资金额为：2（1+x）2； 所以根据题意可得出的方程：2（1+x）+2（1+x）2=8． 故答案为：2（1+x）+2（1+x）2=8． 【点评】增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 18．如图，已知△ABC的三边长为a=3，b=4，c=5，若平行于三角形一边的直线l将△ABC的周长分成相等的两部分，设图中的小三角形①、②、③的面积分别为s1、s2、s3，则s1、s2、s3的大小关系是s2＞s3＞s1（用“＞”号连接） 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】设△ABC的面积为s，周长为C，①若l∥BC，则有△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质及等比性质可得====；②若l∥BC，同理可得=；③若l∥AC，同理可得=．由0＜a＜b＜c可得0＜a+b＜a+c＜b+c，即可得到＜＜． 【解答】解：设△ABC的面积为S，周长为C． ①若l∥BC，则有△ADE∽△ABC， ∴====； ②若l∥BC， 同理可得：=； ③若l∥AC， 同理可得：=， ∵0＜a＜b＜c， ∴0＜a+b＜a+c＜b+c， ∴＜＜， ∴s2＞s3＞s1， 故答案为s2＞s3＞s1． 【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质、等比性质等知识，把相似三角形的面积比等于相似比的平方转化为相似三角形面积算术平方根比等于相似比，是解决本题的关键． 三、用心做一做（本大题共10小题，共96分） 19．解一元二次方程． （1）（x﹣3）2﹣9=0 （2）x2﹣2x﹣5=0 （3）3x（x﹣2）=2（x﹣2） （4）x2+17=8x． 【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法． 【专题】计算题． 【分析】（1）先变形得到（x﹣3）2=9，然后利用直接开平方法求解； （2）利用配方法解方程； （3）先变形得到3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程； （4）先化为一般式得到x2﹣8x+17=0，再根据判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程无实数解． 【解答】解：（1）（x﹣3）2=9， x﹣3=±3， 所以x1=6，x2=0； （2）x2﹣2x+1=6， （x﹣1）2=6， x﹣1=±， 所以x1=1+，x2=1﹣； （3）3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）=0， （x﹣2）（3x﹣2）=0， x﹣2=0或3x﹣2=0， 所以x1=2，x2=； （4）x2﹣8x+17=0， △=（﹣8）2﹣4×17═﹣4＜0 所以原方程没有实数解． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程． 20．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数． 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义． 【分析】（1）表示出根的判别式，得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根； （2）由（1）得到方程有两个不相等的实数根，利用求根公式表示出方程的两根：x1=，x2=1，要使原方程的根是整数，必须使得x1==1+为正整数，则m﹣1=1或2，进而得出符合条件的m的值． 【解答】解：（1）∵△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）=4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）由求根公式，得x=， ∴x1==，x2==1； ∵m为整数，且方程的两个根均为正整数， ∴x1==1+，必为正整数， ∴m﹣1=1或2， ∴m=2或m=3． 【点评】此题考查了根的判别式，以及求根公式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根． 21．如图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E． 求证：点E为AD的中点． 【考点】圆周角定理；垂径定理． 【专题】证明题． 【分析】连接OE，由于OA为⊙C的直径，得到∠AEO=90°，即OE⊥AD，在⊙0中，根据垂径定理可得EA=EB． 【解答】证明：∵AO是⊙C的直径， ∴∠AEO=90°，即OE⊥AD于E， 又∵OE经过圆心O， ∴AE=DE， 即：点E为AD的中点． 【点评】本题考查了圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为直角；也考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． 22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件； （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】销售问题． 【分析】此题属于经营问题，若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为（40﹣x）元，但每天多售出2x件即售出件数为（20+2x）件，因此每天赢利为（40﹣x）（20+2x）元，进而可根据题意列出方程求解． 【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元， 根据题意得（40﹣x）（20+2x）=1200， 整理得2x2﹣60x+400=0 解得x1=20，x2=10． 因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快， 故每件衬衫应降20元． 答：每件衬衫应降价20元． （2）设商场平均每天赢利y元，则 y=（20+2x）（40﹣x） =﹣2x2+60x+800 =﹣2（x2﹣30x﹣400）=﹣2[（x﹣15）2﹣625] =﹣2（x﹣15）2+1250． ∴当x=15时，y取最大值，最大值为1250． 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元． 【点评】（1）当降价20元和10元时，每天都赢利1200元，但降价10元不满足“尽量减少库存”，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件； （2）要用配方法将代数式变形，转化为一个完全平方式与一个常数和或差的形式． 23．如图：已知P是半径为5cm的⊙O内一点．解答下列问题： （1）用尺规作图找出圆心O的位置．（要求：保留所有的作图痕迹，不写作法） （2）用三角板分别画出过点P的最长弦AB和最短弦CD． （3）已知OP=3cm，过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条． 【考点】作图—复杂作图；勾股定理；垂径定理． 【分析】（1）利用过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，进而求出即可； （2）利用最长弦AB即为直径和最短弦CD，即为与AB垂直的弦，进而得出答案； （3）求出CD的长，进而得出长度为整数的弦，注意长度为9cm，的有两条． 【解答】解：（1）如图所示：点O即为所求； （2）如图所示：AB，CD即为所求； （3）如图：连接DO， ∵OP=3cm，DO=5cm， ∴在Rt△OPD中，DP==4（cm）， ∴CD=8cm， ∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有：4条． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了复杂作图以及勾股定理和垂径定理，注意长度为整数的弦不要漏解． 24．如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC=6时，求线段OD的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由． 【考点】垂径定理；三角形中位线定理． 【分析】（1）如图（1），根据垂径定理可得BD=BC，然后只需运用勾股定理即可求出线段OD的长； （2）连接AB，如图（2），用勾股定理可求出AB的长，根据垂径定理可得D和E分别是线段BC和AC的中点，根据三角形中位线定理就可得到DE=AB，DE保持不变； 【解答】解：（1）如图（1）， ∵OD⊥BC， ∴BD=BC=×6=3， ∵∠BDO=90°，OB=5，BD=3， ∴OD==4， 即线段OD的长为4． （2）存在，DE保持不变． 理由：连接AB，如图（2）， ∵∠AOB=90°，OA=OB=5， ∴AB==5， ∵OD⊥BC，OE⊥AC， ∴D和E分别是线段BC和AC的中点， ∴DE=AB=， ∴DE保持不变． 【点评】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识，运用垂径定理及三角形中位线定理是解决第（2）小题的关键． 25．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，有一点到终点运动即停止．问： （1）几秒钟后△PBQ的面积等于8cm2？ （2）几秒钟后PQ⊥DQ？ （3）是否存在这样的时刻，使S△PDQ=8cm2，试说明理由． 【考点】矩形的性质；勾股定理． 【专题】动点型． 【分析】（1）表示出PB，QB的长，利用△PBQ的面积等于8cm2列式求值即可； （2）如果PQ⊥DQ，则∠DQP为直角，得出△BPQ∽△CQD，即可得出=，再设AP=x，QB=2x，得出=，求出x即可； （3）设出发秒x时△DPQ的面积等于8平方厘米，根据三角形的面积公式列出方程，再根据根的判别式判断方程是否有解即可． 【解答】解： （1）设x秒后△PBQ的面积等于8cm2． 则AP=x，QB=2x． ∴PB=6﹣x． ∴×（6﹣x）2x=8， 解得x1=2，x2=4， 答：2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm2； （2）设x秒后PQ⊥DQ时，则∠DQP为直角， ∴△BPQ∽△CQD， ∴=， 设AP=x，QB=2x． ∴=， ∴2x2﹣15x+18=0， 解得：x=或6， 答：秒或6秒钟后PQ⊥DQ； （3）设出发秒x时△DPQ的面积等于8cm2． ∵S矩形ABCD﹣S△APD﹣S△BPQ﹣S△CDQ=S△DPQ ∴12×6﹣×12x﹣×2x（6﹣x）﹣×6×（12﹣2x）=8， 化简整理得x2﹣6x+28=0， ∵△=36﹣4×28=﹣76＜0， ∴原方程无解， ∴不存在这样的时刻，使S△PDQ=8cm2． 【点评】此题考查了矩形的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的性质；解题的关键是根据三角形相似的性质列出方程． 26．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE． （1）求证：∠B=∠D； （2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长． 【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理． 【分析】（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D； （2）首先设BC=x，则AC=x﹣2，由在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得方程：（x﹣2）2+x2=42，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长． 【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴AC⊥BC， 又∵DC=CB， ∴AD=AB， ∴∠B=∠D； （2）解：设BC=x，则AC=x﹣2， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， ∴（x﹣2）2+x2=42， 解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去）， ∵∠B=∠E，∠B=∠D， ∴∠D=∠E， ∴CD=CE， ∵CD=CB， ∴CE=CB=1+． 【点评】此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用． 27．如图，I是△ABC的内心，∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D，交BC于点E． （1）求证：BD=ID； （2）求证：ID2=DEDA． 【考点】三角形的内切圆与内心；圆周角定理；相似三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）连接BI，CI，CD，求证△BCD为等腰三角形，再利用BI为∠ABC平分线，求证△DBI为等腰三角形，利用等量代换即可证明； （2）证△DBE∽△DAB