2026高考数学复习高效培优专题02 不等式（选填题）（解析版）

专题02不等式（选填题）目录第一部分题型解码微观解剖，精细教学典例剖析目录第一部分题型解码微观解剖，精细教学典例剖析方法提炼变式题型01 基本不等式求最值题型02一元二次不等式恒成立、能成立问题题型03基本不等式的应用题型04柯西不等式与权方和不等式第二部分强化实训整合应用，模拟实战题型01基本不等式求最值【例1-1】（2025·安徽合肥·一模）（多选题）已知正数满足，则下列结论正确的是（

）A．的最大值为1B．的最小值为4C．的最大值为D．的最小值为1【答案】ACD【详解】对于A，由正数满足，可得，解得，则，当且仅当，即时等号成立，即的最大值为1，故A正确；对于B，由正数满足，可得，解得或（舍去），当且仅当时等号成立，即的最小值为2，故B错误；对于C，因，则，当且仅当时等号成立，即的最大值为，故C正确；对于D，由可得，则，当且仅当，即时等号成立，即的最小值为1，故D正确.故选：ACD.【例1-2】（2025·陕西西安·模拟预测）（多选题）下列命题正确的有（

）A．若，则B．若，则C．若且，则的取值范围为D．若且，则的最大值是【答案】ABD【详解】对于A，因为，则，即，所以，故A正确；对于B，因为，易知单调递减，则，同时单调递增，则，所以，故B正确；对于C，由基本不等式可知，即，则，当且仅当时取得等号，故C错误；对于D，灵活运用“1”，构造齐次式得：，易知，所以上式，当且仅当时取得等号，故D正确.故选：ABD“1”的代换已知（均为正数），求（均为正数）的最值，或者，求的最值（均为正数）.这个类型是考察最多的，很多时候还需要配凑，常数代换等，对代数结构的观察能力和代数运算能力要求较高，需要重点突破.【变式1-1】（2025·辽宁·三模）（多选题）已知，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则的最大值为C．若，则的最小值为1D．若，则的最大值为【答案】BCD【详解】由题意得，A项错误；，所以（当且仅当时取等号），B项正确；，当且仅当时取等号，C项正确；，又因为，所以，设，则，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，D项正确．故选:BCD．【变式1-2】（2025·江苏淮安·模拟预测）（多选题）若满足，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】对于A，由可得，因此，可得，当且仅当时，等号成立，即A正确；对于B，将表达式化简可得，将方程参数化可知，；所以，其中；又，所以，可得B正确；对于C，由可得，即，因此，解得，当且仅当时，等号成立，即C错误，D正确.故选：ABD【变式1-3】（2025·湖南郴州·三模）（多选题）设正实数满足，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】对于选项A：因为正实数满足，设，则，因为，即，整理可得得，将其看为关于的一元二次方程，则，解得，即，故A正确；对于选项D：因为，且，，则，当且仅当时，等号成立，所以，故D正确；对于选项B：因为，则，当且仅当时，等号成立，则，得，当且仅当时，等号成立，故B错误；对于选项C：因为，因为，则，，可得，当且仅当时，等号成立，即，可得，即，当且仅当时，等号成立所以，故C正确；故选：ACD.题型02一元二次不等式恒成立、能成立问题【例2-1】（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为【答案】【详解】设，原题转化为求的最小值，原不等式可化为对任意的，，不妨代入，得，得，当时，原不等式可化为，即，观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号，此时，，说明时，均可取到，满足题意，故的最小值为.故答案为：【例2-2】（25-26高三上·河南·月考）已知“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围为.【答案】【详解】设:＂，不等式恒成立＂，其等价于恒成立，若为真命题，则，解得．又为假命题，故的取值范围是命题为真时的补集，即或．故答案为：．1．一元二次不等式恒成立、能成立问题不等式对任意实数恒成立，就是不等式的解集为，对于一元二次不等式，它的解集为的条件为；一元二次不等式，它的解集为的条件为；一元二次不等式的解集为的条件为.2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.①若恒成立，则有，且；若恒成立，则有，且.②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.【变式2-1】（2025·四川·模拟预测）已知一元二次函数的定义域为，若，，且该二次函数的图象经过、不同两点，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为一元二次函数的定义域为，且，所以函数的图象关于直线对称，设，其中，由可得，故，根据题意得出因为函数的图象经过、不同两点，则，且有，上述两个等式作差得，因为，故，即，可得或，解得或，综上所述，实数的取值范围是.故选：D.【变式2-2】（2025·上海·模拟预测）已知设，，若关于的不等式恰有一个整数解，则的取值范围是.【答案】【详解】作出函数的图像，如图所示，有，，当时，令，即，设为方程的两个根，且，由于，则有，当时，，则必有，则必包含在不等式的解中，由图可知的解为，此时不等式的解中有2个整数，不符合题意，当时，，由图象可知，当时，对应的值唯一，因为的解恰有一个整数，所以这个整数为，则，当时，有最小值为，即有最大值为，当时，，此时，即；故答案为：.【变式2-3】（24-25高三上·山东泰安·期中）已知对任意恒成立，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由得，.当得，，，当得，，，当得，，.∵对任意恒成立，∴由得，，∴和是方程的两根，且，∴，故.由得，，即，解得，故不等式的解集为.故选：C.题型03基本不等式的应用【例3-1】（2025·四川德阳·三模）已知复数，若，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题设，则，所以，而，当且仅当时取等号，则，所以.故选：A【例3-2】（24-25高三上·河南周口·期末）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，当时，函数有（

）A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值【答案】B【详解】由题设，且，则，所以，则时，，所以，令，则，当且仅当时取等号，故最大值为.故选：B（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围（4）利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”【变式3-1】（2025·云南楚雄·模拟预测）（多选题）已知是函数图象上不同的两点，则下列不等式能成立的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】由题意，不妨设.函数是上的增函数，，即，，即.是上的增函数，，即，故B一定不能成立，D一定成立.取，则，此时，，故A能成立.取，则此时，，故C能成立.故选：ACD【变式3-2】（2025·河南郑州·一模）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，AB上的点，当的周长为4时，面积的最大值为.【答案】【详解】设，，，则，因为的周长为4，所以，因为，当且仅当时取等号，故，则，则面积满足故面积的最大值为故答案为：.【变式3-3】（2025·江苏南通·模拟预测）在中，若，则的最小值为.【答案】【详解】，若，则，此时均为钝角，不合要求，故，，即均为锐角，，，故，令，因为，所以，，则，令，则，，其中，当且仅当，即时，等号成立，故.故答案为：.题型04柯西不等式与权方和不等式【例4-1】（25-26高三上·辽宁沈阳·月考）柯西不等式（Caulhy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，得，即，由，得，则，由，，得，由柯西不等式得，因此，当，即时取等号，所以的最大值为.故选：C【例4-2】（25-26高三上·河北·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（

）A．1 B． C． D．25【答案】B【详解】因为，所以，即故根据题意，，当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值为.故选：B1.常用柯西不等式：二元形式：若，，当且仅当时取等号.三元形式：若，，当且仅当时取等号.多元形式：若，则，当且仅当时取等号.2.权方和不等式：已知为正数，，当且仅当时，等号成立.已知为正数，，当且仅当时，等号成立.【变式4-1】（2025·安徽蚌埠·二模）柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.已知，直线与曲线相切，则的最小值为.【答案】10【详解】由，所以，设切点为，则，故，又，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为10.故答案为：10【变式4-2】（24-25高三上·陕西西安·月考）已知，，则的最小值为．【答案】10【详解】由,得所以当且仅当,即时,等号成立,故的最小值为10.故答案为：10.【变式4-3】（24-25高三上·广东·月考）权方和不等式是常用的不等式之一，其中二维权方和不等式是：已知为正数，，当且仅当时，等号成立.若x为锐角，则的最小值为.【答案】8【详解】，当且仅当时，即时，取等号.故答案为：81.（2025高三·全国·专题练习）柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（）A．14 B．12 C．10 D．8【答案】A【详解】因为，根据题目中柯西不等式的三元形式可知，所以，；当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故选：A2.（2025高三·全国·专题练习）已知，都在区间内，且，则函数的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，且，所以，所以的最小值为．故选：D．3.（2025·四川自贡·一模）已知随机变量，且，则当时，的最小值为（

）A． B．3 C． D．【答案】D【详解】由随机变量，且，得，解得，由，得，当且仅当，即时取等号，所以所求最小值为.故选：D4.（2025·浙江·一模）已知实数满足，则的取值范围是..【答案】【详解】，则，又，得，设，由函数在上单调递减，在上单调递增，则，由原式为，则所求范围为.故答案为：.5.（2025·云南·模拟预测）已知函数，若，对都有，则的最小值为.【答案】【详解】①因为对都有..不妨令，则，所以，又，所以.②当时，，符合题意.由①②，知.所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故填：6.（2025·河北衡水·模拟预测）已知，满足，则的取值范围是.【答案】【详解】由题意知，满足，则，故，因为，故，故，当且仅当，结合，即或时等号成立，故，即，解得，当时，；当时，，故的取值范围是，故答案为：7.（2025·浙江杭州·模拟预测）已知面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为．【答案】【详解】设，易知为的重心，又，由重心为中线三等分点可得：，同时，设，，则，则，所以，由余弦定理可得：，令，求其最小值即可，上式化简可得：，也即当且仅当时取得等号，所以，故答案为：8.（2025·广东揭阳·模拟预测）已知定义在实数集上的函数满足，则的取值范围为．【答案】【详解】移项平方化简得：．记，则，故，相减可得，故．．由均值不等式得，故．故答案为：.9.（2025·湖北·模拟预测）若，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【详解】对A：因为，则，所以，所以，A错误；对B：记，