湖南省湘潭市2026届高三二模数学试题（原卷版+解析版）

数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黒.如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设不等式的解集为，则（）A B. C. D.2.若直线与直线垂直，则（）A B. C.2 D.3.现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5，则这组数据的第百分位数与中位数分别是（）A.4，6 B.5，4 C.6，4 D.6，54.若，则（）A3 B. C. D.5.在平行四边形中，，则（）A. B.C. D.6.在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（）A. B. C. D.7.已知函数的值域是，则（）A.1 B. C. D.28.在正四棱台中，，且，记能将正四棱台罩住的半球的最小半径为，正四棱台外接球的半径为，则（）A. B.1 C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（）A.B.C.图象的对称轴方程为D.的单调递增区间为10.（多选题）定义：当且时，恒成立，则称是同号增函数．下列函数是同号增函数的是（）A. B.C. D.11.已知，是双曲线上两个不同的点，是的左顶点，则（）A.的焦距为B.当轴时，与可能垂直C.当时，，的横坐标之和的取值集合为D.当，的纵坐标异号时，对任意的点，都存在点，使得三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.________．13.若直线是曲线的一条切线，则________．14.将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有________种．（用数字作答）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设等比数列的公比，，且（1）求的值；（2）若，，成等差数列，求的值；（3）设数列前项和为，证明：．16.如图，在四棱锥中，平面，，是以为斜边的等腰直角三角形．（1）证明：平面平面．（2）若，，且直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．17.某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类．现采用一台检测仪器对零件进行检测，该仪器存在检测误差，具体检测特性如下：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.8，判定为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1，判定为“不合格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”的次数，则最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品．假设各次检测结果相互独立．已知该批零件中合格品占80%，不合格品占20%．（1）若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率．（2）若随机抽取1个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率．（3）已知生产一个零件的成本为50元，每个零件被连续检测3次的总费用为10元．若某零件最终被判定为合格品，则以每件120元的价格出厂销售；否则作销毁处理．若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户全额退款，并赔偿客户40元．设一个零件的利润为元，若的均值小于25，则该工厂将停止生产该零件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由．18.设抛物线（为常数，且）的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，过点作的垂线，垂足为．（1）若点的坐标为，求．（2）设过，，三点可作椭圆，且的两个焦点均在轴上，记轴正半轴上的焦点为，且在的左侧．（ⅰ）证明：的周长为定值．（ⅱ）证明：的离心率大于．19.已知函数，．（1）证明：当时，（2）若是的极大值点，求的取值范围．（3）若，且，其中，证明：．数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黒.如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设不等式的解集为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合一元二次不等式的解法、元素与集合的关系求解即可.【详解】由，得，，，．故选：A.2.若直线与直线垂直，则（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】直接根据直线与直线的垂直列等式即可．【详解】因为直线与直线垂直，所以，解得．故选：C．3.现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5，则这组数据的第百分位数与中位数分别是（）A.4，6 B.5，4 C.6，4 D.6，5【答案】C【解析】【分析】先对数据进行升序排列，再分别求出中位数和第百分位数，进而判断选项．【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为2，2，3，4，4，5，5，6，8，这组数据个数，中位数位置为，取第5个数，即为4，，这组数据的第百分位数取第8个数,即为6，这组数据的第百分位数与中位数分别是6和4，故C正确．故选：C．4.若，则（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合两角和差公式和二倍角公式计算即可.【详解】因为，所以．故选D.5.在平行四边形中，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用平面向量加减运算法则和数量积即可求解.【详解】在平行四边形中，因为，所以，所以故选：6.在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由余弦定理和均值不等式运算，再通过三角形面积公式计算即可.【详解】因为，所以，所以．因为，所以，当且仅当时，等号成立，则的面积，则面积的最大值为．故选：A7.已知函数的值域是，则（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用数形结合，把分式看成动点到定点的斜率，然后通过代数法来求切线斜率，即可得到函数值域.【详解】因为，且，所以函数的定义域为．设，，则是直线的斜率．点是半圆上的动点．如图，设点，则．设切线的方程为，即．由圆心到切线的距离，解得（舍去）或．由图可知，即的值域为，则．故选：A.8.在正四棱台中，，且，记能将正四棱台罩住的半球的最小半径为，正四棱台外接球的半径为，则（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】取，的中点分别为，，通过计算分别求得，通过比较可知，设外接球的球心到平面的距离为，通过勾股定理计算求得、，即可得出结果.【详解】如图，连接，，它们的中点分别记为，，连接，，易知为此正四棱台的高，，则，所以，，过点作的垂线，垂足为，则，，则，，故能将正四棱台罩住的半球的最小半径．设该正四棱台外接球的球心到平面的距离为，则，解得，，故．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（）A.B.C.图象的对称轴方程为D.的单调递增区间为【答案】ABD【解析】【分析】根据图像求出，结合余弦函数图像与性质依次判断选项即可.【详解】由图可得，由，得．由，得，因为，所以，A正确．由A的分析可得，令，得，所以图象的对称轴方程为，C错误．，B正确．令，得，所以单调递增区间为，D正确．故选：ABD10.（多选题）定义：当且时，恒成立，则称是同号增函数．下列函数是同号增函数的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据同号增函数的定义逐一分析每个选项中的函数是否满足当且时，恒成立.【详解】A选项，由得，由得，又在，上单调递增，故A正确；B选项，，得，取，则，满足，但，不满足的条件，故B错误；C选项，得，得，因为在上单调递增，且，所以在上单调递增，则在上单调递增，故C正确；D选项，得；得，因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故在上单调递增，故D正确.故选：ACD11.已知，是双曲线上两个不同的点，是的左顶点，则（）A.的焦距为B.当轴时，与可能垂直C.当时，，的横坐标之和的取值集合为D.当，的纵坐标异号时，对任意的点，都存在点，使得【答案】AC【解析】【分析】对于A，根据双曲线方程进行判断；对于B，利用向量法进行判断；对于C，得到Q，R的轨迹方程，联立双曲线方程，求解；对于D，根据倾斜角和渐近线进行判断.【详解】的焦距为，A正确．当轴时，．（方法一），则，因为的两条渐近线互相垂直，所以，B错误．（方法二）设，，则，，则，若，则，解得，此时，，三点重合，这与题意不符合，所以与不可能垂直，B错误．当时，，在以为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为，由得，整理得，解得，，所以，的横坐标之和可能为，，，故，的横坐标之和的取值集合为，C正确．如图，设在第一象限，当直线的倾斜角为时，设直线与轴交于点，若，则，则直线与的一条渐近线平行，从而点不存在，D错误．故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.________．【答案】【解析】【分析】根据复数模的计算公式求解.【详解】.故答案为：13.若直线是曲线的一条切线，则________．【答案】e【解析】【分析】设切点为，求出切线斜率，利用切点在切线上，代入方程，即可得出结论.【详解】设直线与曲线相切于点．因为，所以且，解得，．故答案为.14.将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有________种．（用数字作答）【答案】1080【解析】【分析】由计数原理分析求解即可.【详解】从9个数中任取2个数填入和的位置，有种方法．因为，，所以在剩下的7个数中，最大的数只能填入的位置，再从剩下的6个数字中选择4个数字填入，，，的位置，且这4个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，，，的位置，最后剩下的2个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，的位置，故填好，，，，，，共有种方法．因此，按照要求填好该方格共有种方法．故答案为：1080.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设等比数列的公比，，且（1）求的值；（2）若，，成等差数列，求的值；（3）设数列的前项和为，证明：．【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】(1)由计算公比；(2)根据等差中项性质计算；(3)由是以为首项，为公比的等比数列计算，再计算出的表达式，通过比较证明不等式成立.【小问1详解】因为，所以．又，所以．【小问2详解】因为，，成等差数列，所以，所以．因为，，所以，解得．【小问3详解】因为，所以，，则数列是首项为，公比为的等比数列，所以．16.如图，在四棱锥中，平面，，是以为斜边的等腰直角三角形．（1）证明：平面平面．（2）若，，且直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质判定，面面垂直的判定推理得证.（2）以点为原点建立空间直角坐标系，由已知线面角求出线段长，进而求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解.【小问1详解】由是以为斜边的等腰直角三角形，得，由平面，平面，得，而平面，则平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】由（1）得，而平面，则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，由平面，得直线与平面所成的角为，且，则，而，则，，，，设平面的法向量为，则，令，得，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类．现采用一台检测仪器对零件进行检测，该仪器存在检测误差，具体检测特性如下：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.8，判定为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1，判定为“不合格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”的次数，则最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品．假设各次检测结果相互独立．已知该批零件中合格品占80%，不合格品占20%．（1）若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率．（2）若随机抽取1个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率．（3）已知生产一个零件的成本为50元，每个零件被连续检测3次的总费用为10元．若某零件最终被判定为合格品，则以每件120元的价格出厂销售；否则作销毁处理．若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户全额退款，并赔偿客户40元．设一个零件的利润为元，若的均值小于25，则该工厂将停止生产该零件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由．【答案】（1）0.028.（2）0.7224.（3）该工厂不会停止生产该零件，理由见解析【解析】【分析】（1）连续检测3次该零件的结果中，“合格”的次数不低于2才能被误判为合格品，再结合二项分布的概率公式，即可求解；（2）通过由全概率公式得出即可；（3）的所有可能取值为，60，，求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可.【小问1详解】设该零件被误判为合格品是事件．连续检测3次该零件的结果中，“合格”次数不低于2才能被误判为合格品，所以，所以该零件最终被误判为合格品的概率为0.028.【小问2详解】设被检测的零件为合格品是事件，被检测的零件为不合格品是事件，被检测的零件最终被判定为合格品是事件，则．由（1）知，又因为，，所以由全概率公式得，故该零件最终被判定为合格品的概率为0.7224.【小问3详解】的所有可能取值为，60，．，，，则．因为，所以该工厂不会停止生产该零件．18.设抛物线（为常数，且）的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，过点作的垂线，垂足为．（1）若点的坐标为，求．（2）设过，，三点可作椭圆，且的两个焦点均在轴上，记轴正半轴上的焦点为，且在的左侧．（ⅰ）证明：的周长为定值．（ⅱ）证明：的离心率大于．【答案】（1）（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）先求出抛物线方程，结合已知几何性质求出点，再利用两点间距离公式计算求解；（2）利用抛物线的焦点弦公式结合椭圆的定义求出三角形的周长，进而证明的周长为定值；利用椭圆的离心率公式结合点在上且位于第一象限构造不等式，进而证明结论．【小问1详解】将点的坐标代入，得，解得，抛物线的方程为，故，准线的方程为，则，．【小问2详解】证明：（i）设，，，则，由题意知，，，经过，两点，且这两个点的纵坐标相同，由椭圆的对称性可得，的短轴必在线段的垂直平分线上，且的中心的横坐标．又的焦点均在轴上，在轴上，即．设的长半轴长为，则．设的左焦点为，则，则的周长．，且，，故的周长为定值．（ⅱ）设的焦距为，离心率为