数学(A卷)答案【九联考】百师联盟九2026届高三1月联考(百师九联考)(1.21-1.22)

2026届高三年级1月联考数学参考答案及评分意见1.C【解析】因为集合A={x∈Zlx²+x-6<0}=(-2,一1,0,1},B={xlx<1},所以A∩B={-2,—1,0),即3.D【解析】点P(1,0)关于直线x+y-2=0对称的点为P₁(2,1),关于y轴对称的点为P₂(一1,0).由对称性可满足x₀x+yoy=7.综上，过圆x²+y²=7ax+1>0恒成立，所以解得0<a<4,所以集合{x|y=log₂(ax²+0≤a<4,故B错误.对于C,令sin²x=t,t∈[0,1],则函数即函数.由对勾函数的性质，知函数在(0,1)上单调递减，所以当t=1的最小值是5,故C错误，对于D,当定点在定直线上时，点的轨迹是过定点的定直线的垂线，不是抛物线，故D错误.故选A.5.C【解析】∵|AB-AC|=|CB|=1,∴a=1.由sinB(c一b)=(sinA+sinC)(c一a)及正弦定理，得b(c一b)=(a+c)(c-a),化简得b²+c²—a²=bc,由余弦定理得.∵A∈(0,π),又∵a=1,∴b²+c²=bc+1≥2bc,当且仅当b=c时，等号成立，∴bc≤1.∴,即6.B【解析】过点C作CD⊥x轴于点D(图略),则由题意得CD=√3.因为△ABC是正三角形，所以AB=2.设函,所,所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024)+f(2025)=506×0+f(0)+f(1)=√6.,2026届高三年级1月联考数学答案第1页(共8页) tMN(t∈R),∴|MF₁I=2|MF₂|,∴|MF₂I²-2|MF₁I|MF₂Icos∠F₁MF₂=|2√e·e⁻¹+cosx=2+cosx(当且仅当x=0时，等号成立),所以f'(x)>0在R上恒成立，所以函数f(x)是增函数.因为f(一x)=e⁻¹-eˣ+sin(一x)=e⁻³-eˣ-sin因为f(xe-a)+f(-2Inx—2x)≥0在(0.十∞)上恒成立，即f(xe-a)≥-f(-21nx—2x)=f(2Inx+2x)在(0,+∞)上恒成立，所以xe²-u≥21nx+2x在(0,+∞)上恒成立，即a≤xe³-2Inx—2x在(0,+∞)上恒成立.令g(x)=xe-21nx-2x=elx+—2(Inx+x),则a≤g(x)在(0,十∞)上恒成立.令t=Inx+x,则t∈R.且函数g(x)等价于h(1)=e—2t.所以h(t)在(一∞,In2)上单调递减，在(ln2,+∞)上单调递增，所以h(t)≥h(ln2)=2-2In2,所以函数h(t)的最小值为2—2In2,即g(x)的最小值为2-2In2,所以a≤2—21n2,即实数a的取值范围是(一∞,2—2In2).故选A.9.BC【解析】由题意和正项等比数列的性质，得S₈=n=2或3,故D错误.故选BC.10.BCD【解析】由题意得，圆C的圆心为C(0,0),半径r=2.若圆C关于直线L对称，则圆心C在直线l上，即0=0+b²+1,关于b的方程没有实数解，所以不存在b使得圆C关于直线L对称，故A错误，圆心C到直线l的距离,当且仅当b=0时，等号成立，故B正确.当b²=2√2-1时，直线l的方程为y=x+2√2.因为圆心C到直线I的距离,所以直线1与圆C相切，故C正确.因为r=2,所以当圆C上有三个 点到直线l的距离为1时，圆心C到直线l的距离为1,即,所以b²=√2-1,解得b=±√√2-1,故D 正确.故选BCD.11.AD【解析】由椭圆和直线的对称性，设k>0,点A在x轴上方，椭圆的右焦点为F',如图.设则B(一x,一y₀),E(x。,0),,故直线BE的斜率,故A正确.设P(m,n),直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kpg,则.因为点P和点A在椭圆C上，所以2026届高三年级1月联考数学答案第2页(共8页),又,所以,所以kpA·,即,所以直线PA与AB不垂直，即∠PAB不是直角，故B错误.联立椭圆C的方程与直线I的方程y=kx,由椭圆的定义得|AFI+|AF'|=2a=6.又因为点A,B关于坐标原当且仅当,即s=4,e-¹,∴f(1)=1,∴f(1)+1=2,∴当x∈N时，{f(∴f(x)+1=2#,∴f(x)=2²-1,∴f(4)=2⁴-1=15.AB+2A₁A·AD+2AB·AD=|A₁A+|AB|²+|AD|²+2|A₁A||cos120°.∵AB=1,A2AA·AD+2AB·AD=|AAI²+|AB|²+|AD|²+2|AA||AB|cos60°+2|AA||AD|cos60°=16+1+4+4+8=33,∴|AC|=√33,14.【解析】由题意得F₁(一3,0),F₂(3,0).设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)(x₁>0,x₂>0),则双曲线C在点处的切线方程分别为1.设P(x₀,yo),则,所以点A,B都在直上.因为点F₂在直线AB上，所以,即,直线I的方程为,即由题意知，直线l的倾斜角不为0,则直线l的方程可设为x=my+3,,则.设M(x₃,ys),,yu=y3,所以xs=所以直线AB,AC的斜率分别为.……4分因为直线l₁经过点A且与线段BC有交点，所以其斜率k满足kAB≤k≤kAc,,即直线l₁的斜率的取值范围是………………6分因为直线l₂过点A(2,3),所以直线l₂的方程为y-3=k'(x-2).令y=0,解得;令x=0,解得y=3-2k′,,………………10分此时直线l₂的方程为x+y-5=013分因为OA⊥OB,OALOC,OB∩OC=0,OBC平面BOC,OCC平面BOC,所以OA⊥平面BOC.因为OB⊥OC,所以△AOB,△AOC,△BOC都是直角三角形，OA是三棱锥A-BOC的高.所以………4分由等体积法,所以(2)过点O作OD⊥BC于点D,连接AD(图略).因为OD∩OA=A,ODC在Rt△BOC中，由等面积法及(1)中数据，得因为OA=OC=3,OB=2,所以O(0,0,0),B(2,0,0),C(0.3,0),A(0,0,3)3设平面ABC的法向量为m=(x,y,z).则令z=2,则x=3,y=2,设直线OB与平面ABC所成的角为θ,则sinθ=|cos(OB,m>|.(2)由(1)知，平面ABC的一个法向量为m=(3,2,2)10分由题可知，二面角O-BC-A的平面角a是锐角，所以………………13分所以,即二面角O-BC-A的正切值是………………15分∴C₁(一3,0),半径r₁=2,C₂(3,0),半径r₂=102分由题意得|MC₁I=R+r₁=R+2,|MC:I=r:-R=10-R,∴|MC.I+|MC₂I=12>6=|C₁C₂I,∴由椭圆的定义，得圆心M的轨迹是焦点在x轴上，长轴长为12,焦距为6的椭圆.………4分∴圆心M的轨迹方程……………6分由题意，点A₁,A₂是椭圆C由题意知，直线A₁P的斜率一定存在，设为k,则k≠0,且,直线A₁P的方程为y=k(x+6),由题意得∴.………………9分∵点A₂到直线A₁P的距离,化简得2|3-4k²|=3+4k²,……………12分…………………………14分18.(1)解：函数,其定义域为(0,+∞),……………………1分当a≤0时，f'(x)>0恒成立，∴f(x)在(0,+∞)上单调递增；………………2分∴f(x)在(0,√2a)上单调递减，在(√2a,+∞)上单调递增.…………………4分∵x∈(e,+∞),∴不等式可化为,即.…………7分φ'(x)=(x+1)e,当x>-1时，φ'(x)>0,∴φ(x)在(即a≤x²lnx在[e,+∞]上恒成立.…………9分设h(x)=x²lnx,x∈(e,+∞),则h'(x)=2xlnx+x=x(21nx+1)>0,∴a≤e²,即实数a的取值范围是(-∞,e²)11分函数y=f(x)—m有两个零点x₁,x₂,不妨设x₁<x₂,则0<x要证x₁+x₂>4,只要证x₂>4-x₁.∵x₂>2,2<4-x₁≤4.∴只要证f(x₂)>f(4-x₁).又∵f(x₂)=f(x₁),二只要证f(x₁)>f(4-x₁)