2026届江苏省苏州新区实验中学高二上数学期末学业质量监测模拟试题含解析

2026届江苏省苏州新区实验中学高二上数学期末学业质量监测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（）A.30 B.29C.28 D.272．直线与直线交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是（）A.2 B.C. D.43．设，向量，，，且，，则（）A. B.C.3 D.44．已知在四棱锥中，平面，底面是边长为4的正方形，，E为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B.C. D.5．已知数列{}满足，且，若，则＝（）A.－8 B.－11C.8 D.116．已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（）A.1 B.2C.-1 D.-27．饕餮（tāotiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为，有一点从点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（）A. B.C. D.8．两个圆和的位置是关系是（）A.相离 B.外切C.相交 D.内含9．用数学归纳法证明“”时，由假设证明时，不等式左边需增加的项数为（）A. B.C. D.10．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B.C. D.11．已知点，点关于原点的对称点为，则（）A. B.C. D.12．在四面体OABC中，，，，则与AC所成角的大小为（）A.30° B.60°C.120° D.150°二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率______.14．若双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的实轴长为______15．已知等比数列的前项和为，若，，则______.16．抛物线的准线方程是________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知如图①，在菱形ABCD中，且，为AD的中点，将沿BE折起使，得到如图②所示的四棱锥，在四棱锥中，求解下列问题：（1）求证：BC平面ABE；（2）若P为AC中点，求二面角的余弦值.18．（12分）已知三点共线，其中是数列中的第n项.（1）求数列的通项；（2）设，求数列的前n项和.19．（12分）已知命题实数满足不等式，命题实数满足不等式.（1）当时，命题，均为真命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.20．（12分）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）证明：对任意正整数n，21．（12分）已知函数（1）当时，求的单调区间与极值；（2）若不等式在区间上恒成立，求k的取值范围22．（10分）已知函数.（1）若，求的极值；（2）若有两个零点，求实数a取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可【详解】奇数项共有项，其和为，∴偶数项共有n项，其和为，∴故选：B2、B【解析】求出两直线的交点坐标，结合两点间的距离公式得到，进而可以求出结果.【详解】因为与的交点坐标为所以，当时，，所以的最大值是，故选：B.3、C【解析】根据空间向量垂直与平行的坐标表示，求得的值，得到向量，进而求得，得到答案.【详解】由题意，向量，，，因为，可得，解得，即，又因为，可得，解得，即，可得，所以.故选：C.4、B【解析】建立空间直角坐标系，以向量法去求直线与平面所成角的正弦值即可.【详解】平面，底面是边长为4的正方形，则有，而，故平面，以A为原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图：则，，，设直线与平面所成角为，又由题可知为平面的一个法向量，则故选：B5、C【解析】利用递推关系，结合取值，求得即可.【详解】因为，且，，故可得，解得（舍）,；同理求得，，.故选：C.6、D【解析】在四面体中，取定一组基底向量，表示出，，再借助空间向量数量积计算作答.【详解】四面体所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为，则，因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，，，所以.故选：D7、B【解析】本题首先可根据题意列出次跳动的所有基本事件，然后找出沿着饕餮纹的路线到达点的事件，最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果.【详解】点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，次跳动的所有基本事件有：（右，右，右）、（右，右，下）、（右，下，右）、（下，右，右）、（右，下，下）、（下，右，下）、（下，下，右）、（下，下，下），沿着饕餮纹的路线到达点的事件有：（下，下，右），故到达点的概率，故选：B.8、C【解析】根据圆的方程得出两圆的圆心和半径，再得出圆心距离与两圆的半径的关系，可得选项.【详解】圆的圆心为，半径，的圆心为，半径，则，所以两圆的位置是关系是相交，故选：C.【点睛】本题考查两圆的位置关系，关键在于运用判定两圆的位置关系一般利用几何法.即比较圆心之间的距离与半径之和、之差的大小关系，属于基础题.9、C【解析】当成立，写出左侧的表达式，当时，写出对应的关系式，观察计算即可【详解】从到成立时，左边增加的项为，因此增加的项数是，故选：C10、A【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.11、C【解析】根据空间两点间距离公式，结合对称性进行求解即可.【详解】因为点关于原点的对称点为，所以,因此，故选：C12、B【解析】以为空间的一个基底，求出空间向量求的夹角即可判断作答.【详解】在四面体OABC中，不共面，则，令，依题意，，设与AC所成角的大小为，则，而，解得，所以与AC所成角的大小为.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】建立平面直角坐标系，解得图中N、Q的横坐标，列方程组即可求得椭圆的a、c，进而求得椭圆的离心率.【详解】以A为原点建立平面直角坐标系，则，，直线PR的方程为设,由到直线PR的距离为1，得，解之得或（舍）则，又设直线PN方程为由到直线PN的距离为1，得，整理得则，又，故则直线PN的方程为，故，由，解得，故椭圆的离心率故答案为：【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。14、【解析】由双曲线方程写出渐近线，根据相切关系，结合点线距离公式求参数a，即可确定实轴长.【详解】由题设，渐近线方程为，且圆心为，半径为1，所以，由相切关系知：，可得，又，即，所以双曲线的实轴长为.故答案为：15、【解析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，由此可得出的值.【详解】设等比数列的公比为，则，整理可得，，解得，因此，.故答案为：.16、【解析】将抛物线方程化为标准形式，从而得到准线方程.【详解】抛物线方程可化为：抛物线准线方程为：故答案为【点睛】本题考查抛物线准线的求解，易错点是未将抛物线方程化为标准方程.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）【解析】（1）利用题中所给的条件证明，，因为，所以，，即可证明平面；（2）先证明平面，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求解【详解】（1）在图①中，连接，如图所示：因为四边形为菱形，，所以是等边三角形.因为为的中点，所以，.又，所以.在图②中，，所以，即.因为，所以，.又，，平面.所以平面.（2）由（1）知，，因为，，平面.所以平面.以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则，，，，.因为为的中点，所以.所以，.设平面的一个法向量为，由得.令，得，，所以.设平面的一个法向量为.因为，由得令，，，得则，由图象可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.18、（1）（2）【解析】(1)由三点共线可知斜率相等，即可得出答案；(2)由题可得，利用错位相减法即可求出答案.【小问1详解】三点共线，【小问2详解】①②①—②得19、（1）；（2）.【解析】（1）分别求出命题，均为真命题时的取值范围，再求交集即可.（2）利用集合间的关系求解即可.【详解】实数满足不等式，即命题实数满足不等式，即（1）当时，命题，均为真命题，则且则实数的取值范围为；（2）若是的充分不必要条件，则是的真子集则且解得故的取值范围为.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.20、（1）见解析（2）见解析【解析】(1)由，令，得，或，又的定义域为，讨论两个根及的大小关系，即可判定函数的单调性；(2)当时，在，上递减，则，即，由此能够证明【小问1详解】的定义域为，，令，得，或，①当，即时，若，则，递增；若，则，递减；②当，即时，若，则，递减；若，则，递增；若，则，递减；综上所述，当－2＜a＜0时，f(x)在，单调递减，在单调递增；当a≥0时，f(x)在单调递增，在单调递减.【小问2详解】由(2)知当时，在，上递减，，即，，，，2，3，，，，【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，本题的关键是令a＝1，用已知函数的单调性构造，再令x＝恰当地利用对数求和进行解题21、（1）在上单调递增，在上单调递减，极大值为﹣1，无极小值（2）【解析】（1）利用导数求出单调区间，即可求出极值；（2）令，利用分离参数法得到，利用导数求出的最大值即可求解.【小问1详解】当时，，定义域为，当时，，单调递增；当时，，单调递减∴当时，取得极大值﹣1所以在上单调递增，在上单调递减极大值为﹣1，无极小值【小问2详解】由，得，令，只需.求导得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴当时，取得最大值，∴k的取值范围为22、（1）极小值为，无极大值（2）【