第11讲 立体几何新定义问题（学生版）

第11讲立体几何新定义问题一、单选题1．（2025·高三·黑龙江·阶段练习）半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的.它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），点满足，则直线与平面所成角的正弦值（

）A．为定值 B．存在最大值，且最大值为1C．为定值1 D．存在最小值，且最小值为2．（2025·高二·北京通州·期中）如图，空间直角坐标系中，点，，定义.正方体的棱长为3，E为棱的中点，平面内两个动点P，M，分别满足，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2025·青海·模拟猜测）如图，在正方体中，，，，，，分别为棱，，，，，的中点，为的中点，连接，．对于空间任意两点，，若线段上不存在也在线段，上的点，则称，两点“可视”，则与点“可视”的点为（

）A． B． C． D．4．（2025·高三·河北·期末）由空间一点动身不共面的三条射线，，及相邻两射线所在平面构成的几何图形叫三面角，记为．其中叫做三面角的顶点，面，，叫做三面角的面，，，叫做三面角的三个面角，分别记为，，，二面角、、叫做三面角的二面角，设二面角的平面角大小为，则肯定成立的是（）A． B．C． D．5．（2025·高二·辽宁·期中）刻画空间弯曲性是几何争辩的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）.例如：正四周体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为.若正四棱锥的侧面与底面所成角的正切值为，则四棱锥在顶点处的曲率为（

）A． B． C． D．6．（2025·黑龙江大庆·模拟猜测）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面风光上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各项点的曲率之和．例如：正四周体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四周体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为．已知多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足，则八面体的总曲率为（

）

A． B． C． D．7．（2025·高三·河南·阶段练习）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，假如截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面开放图是半径为2的一个半圆，则该几何体的体积为（

）A． B． C． D．8．（2025·安徽合肥·三模）几何中常用表示的测度，当为曲线、平面图形和空间几何体时，分别对应其长度、面积和体积．在中，，，，为内部一动点（含边界），在空间中，到点的距离为的点的轨迹为，则等于（

）A． B． C． D．9．（2025·高二·浙江宁波·期中）我国南北朝时期的有名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即.现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（

）A． B． C． D．10．（2025·浙江·模拟猜测）空间中13个不同的点构成的集合，满足当时，都是正四周体.对于任意平面，的最大值是（

）A．9 B．10 C．11 D．1211．（2025·高三·上海·阶段练习）设、、…、为平面内的个点，在平面内的全部点中，若点到、、…、点的距离之和最小，则称点为、、…、点的一个“中位点”，有下列命题：①、、三个点共线，在线段上，则是、、的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直线三角形三个顶点的中位点；③若四个点、、、共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点；其中的真命题是（

）A．②④ B．①② C．①④ D．①③④12．（2025·高三·北京海淀·期末）若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：①线段长度的取值范围是；②存在点使得平面；③存在点使得.其中，全部正确结论的序号是A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②13．（2025·高三·北京西城·期末）如图，设为正四周体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，假如集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有．A．个 B．个 C．个 D．个14．（2025·高三·湖南永州·开学考试）定义一个集合，其元素是空间内的点，任取，，，存在不全为0的实数，，，使得（其中为坐标原点）．已知，则的充分条件是（

）A． B．C． D．15．（2025·上海·模拟猜测）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（

）A． B．C． D．二、多选题16．（2025·高三·云南楚雄·期末）空间中，平面上的动点满足方程，则称为平面的方程，同时也称平面的方程为，并称为平面的一个法向量.已知方程分别为的平面的交线为，则下列结论正确的是（

）A．经过点的平面的方程为B．若方程为的平面经过点，则满足条件的实数的个数为3C．若平面的方程为，则坐标原点到平面的距离为D．与方程为的平面所成角的正弦值为17．（2025·高二·全国·课后作业）已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（

）A．已知，，则B．已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值C．已知，，则D．已知，，，则三棱锥的表面积18．（2025·江西·三模）球面三角学是争辩球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为R，A，B，为球面上三点，劣弧BC的弧长记为，设表示以为圆心，且过B，C的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设，则下列结论正确的是（

）A．若平面是面积为的等边三角形，则B．若，则C．若，则球面的体积D．若平面为直角三角形，且，则19．（2025·高三·安徽合肥·阶段练习）设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中，为多面体的全部与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的全部以为公共点的面.已知在直四棱柱中，四边形为菱形，，则下列说法正确的是（

）A．四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等B．若，则四棱柱在顶点处的离散曲率为C．若四周体在点处的离散曲率为，则平面D．若四棱柱在顶点处的离散曲率为，则直线与平面所成的角的正弦值为20．（2025·高二·黑龙江齐齐哈尔·期末）设是空间中两两夹角均为的三条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，若，则把有序数对叫作向量在坐标系中的坐标，则下列结论正确的是（

）A．若向量，向量，则B．若向量，向量，则C．若向量，向量，则当且仅当时，D．若向量，向量，向量，则二面角的余弦值为21．（2025·全国·三模）阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的全部与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的全部以为公共点的面”解答问题：已知在直四棱柱中，底面为菱形，，则下列说法正确的是（

）A．四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等B．若，则四棱柱在顶点处的离散曲率为C．若四周体在点处的离散曲率为，则平面D．若四棱柱在顶点处的离散曲率为，则与平面的夹角为22．（2025·山东聊城·二模）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆外形，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（

）A．底面椭圆的离心率为B．侧面积为C．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为D．底面积为23．（2025·高三·云南昆明·期末）依据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线（其中AB是底面圆的直径，各截面都过点M.第一个图中截面平行于底面；其次个图中截面与底面有且只有A这一个公共点；第三图中截面平行于圆锥的轴OP,且与底面的交线是线段OB的垂直平分线；第四个图中截面与底面的交线过底面圆心且与AB垂直）.若圆锥的高，底面圆的半径为为母线的中点，则（

）A．圆的周长为B．椭圆的长轴长为C．双曲线的离心率为D．抛物线的焦点到准线的距离为24．（2025·高三·湖南长沙·开学考试）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：.规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③.如图2，在长方体中中，，，则（

）

A．B．C．D．三、填空题25．（2025·高三·广东广州·期末）已知是棱长为的正四周体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.假如为的1阶等距平面且1阶等距集为，则符合条件的有个，的全部可能取值构成的集合是.26．（2025·辽宁·二模）我们规定：在四周体中，取其异面的两条棱的中点连线称为的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四周体称为“垂棱四周体”，如左图.

如右图，在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，为其下焦点，经过的直线与交于两点，为平面下方一点，若为垂棱四周体，则其外接球表面积是的函数.（1）的定义域是；（2）的最小值是.27．（2025·高三·贵州贵阳·期末）对于两个空间向量与，我们可以定义它们之间的欧式距离为，欧式距离可以简洁理解为两点之间的直线距离；依据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为，曼哈顿距离最初指的是区块建设的城市（如曼哈顿）中，两个路口间的最短行车距离，因此也被称为城市街区距离．如图，在棱长为的正方体中，；若点在上底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是．28．（2025·高三·安徽马鞍山·期中）已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．用以上学问解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则直线l与平面所成角的余弦值为．29．（2025·高三·上海浦东新·阶段练习）在空间直角坐标系中，定义点和点两点之间的“直角距离”．若和两点之间的距离是，则和两点之间的“直角距离”的取值范围是．30．（2025·高二·山东德州·期中）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为：，其中为多面体M的全部与点P相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面遍历多面体M的全部以点P为公共点的面，在长方体中，，，点S为底面的中心，记三棱锥在点A处的离散曲率为，四棱锥在点S处的离散曲率为n，则．31．（2025·山东日照·一模）若点在平面外，过点作面的垂线，则称垂足为点在平面内的正投影，记为.如图，在棱长为1的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与，不重合），.给出下列三个结论：①线段长度的取值范围是；②存在点使得平面；③存在点使得；其中正确结论的序号是.32．（2025·高二·陕西西安·阶段练习）连接三角形三边中点所得的三角形称为该三角形的“中点三角形”，定义一个多面体的序列；是体积为1的正四周体，是以的每一个面上的中点三角形为一个面再向外作正四周体所构成的新多面体.则的体积为.33．（2025·高三·浙江杭州·阶段练习）将个棱长为1的正方体如图放置，其中上层正方体下底面的顶点与下层正方体上底面棱的中点重合.设最下方正方体的下底面的中心为，过的直线与平面垂直，以为顶点，为对称轴的抛物线可以被完全放入立体图形中.若，则的最小值为；若有解，则的最大值为.34．（2025·高三·全国·专题练习）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为：，其中（i=1，2，…，k，）为多面体M的全部与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面遍历多面体M的全部以P为公共点的面．（1）任取正四周体