第3讲 球与截面面积（教师版）

第3讲球与截面面积一、单选题1．（2025·云南曲靖·一模）已知正三棱锥的全部顶点都在球的球面上，，，过棱作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，作平面，垂足为，取的中点，外接球的球心为，连接，易得为的中心，则，所以，设外接球半径为，则，即，解得，当垂直过的截面时，截面的面积最小，此时截面圆的直径为长，最小面积为，当截面过球心时，截面圆的面积最大，最大面积为，故截面面积的取值范围是.故选：B.2．（2025·高三·广东江门·阶段练习）如图，将圆柱的下底面圆置于球O的一个水平截面内，恰好使得与水平截面圆的圆心重合，圆柱的上底面圆的圆周始终与球O的内壁相接（球心O在圆柱内部），已知球O的半径为3，，则圆柱体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设R为圆上任意一点，过R作圆柱的轴截面，过O作交圆柱轴截面的边于M，N，设与圆柱的下底面所成的角为，则，所以，即，当点P，Q均在球面上时，角取得最小值，此时，所以，所以，令，所以，所以，另，解得两根所以，所以在时单调递减，所以．故选：B．3．（2025·高三·广东·期末）已知棱长为4的正方体的各个顶点均在球的表面上，点满足，过点作与直线垂直的平面，则截球所得截面面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，连接，平面，平面，平面，则直线垂直于平面，则为过点且与平面平行的平面，点在平面内，点到平面的距离就是平面与平面的距离，又，所以，球的半径，所以截球所得截面圆的半径，该圆面积为．故选:C．4．（2025·湖北宜昌·一模）已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】球心为正方体中心，半径，法一：连接，相交于点，点为的中点，连接，可得，由于平面，平面，所以平面，在上，则到平面的距离等于点到平面的距离，设为，，，由平面、得：，则截面圆半径，所以截面面积；法二：以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，，令，则，所以，则到平面的距离，截面圆半径，所以截面面积.故选：A．5．（2025·天津蓟州·模拟猜测）如图，在棱长为1的正方体中，为平面内一动点，则下列说法不正确的是（

）A．若在线段上，则的最小值为B．平面被正方体内切球所截，则截面面积为C．若与所成的角为，则点的轨迹为椭圆D．对于给定的点，过有且仅有3条直线与直线所成角为【答案】C【解析】对于A，正方体的对角面是矩形，把矩形与正方形置于同一平面，且在直线两侧，连接，则，当且仅当为与的交点时取等号，A正确；对于B，令正方体内切球球心为，连接，为正方体的中心，，，正半径，正三棱锥底面上的高，又球的半径为，则被截得的圆的半径为，面积为，B正确；对于C，建立空间直角坐标系，如图，则，设，有，则，整理得，则的轨迹是双曲线，C错误；对于D，明显过的满足条件的直线数目等于过的满足条件的直线的数目，，在直线上取点，使，不妨设，则，则四周体是正四周体，有两种可能，直线也有两种可能，若，则只有一种可能，就是与的角平分线垂直的直线，所以直线有三种可能，D正确.故选：C6．（2025·高二·安徽安庆·期末）如图，已知正方形ABCD的边长为2，N点在边AD上且，将沿BD翻折到的位置，使得.空间四点，B，C，D的外接球为球O，过N点作球O的截面，则截球O所得截面面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，取BD的中点为O，由正方形ABCD的边长为2，则，因此O为四周体的外接球球心，外接球半径，设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则有，即，当截面时，d最大，此时截面面积最小，且，在中，，，，由余弦定理可得，，此时，所以截面面积最小值为.故选：A7．（2025·高二·浙江杭州·期末）已知经过圆锥SO的轴的截面是顶角为的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，作出圆锥的轴截面，上部分小圆锥肯定有内切球，故只需下部分圆台有内切球即可，设圆台的内切球的球心，由上、下两部分几何体的体积之比是，可得截得的小圆锥与原圆锥的体积之比为，从而可得圆台上下底面圆半径之比为，设圆台上底面半径为，则圆台下底面半径为，圆台存在内切球时，由切线长定理可得圆台母线长，则可得圆锥的母线，所以圆锥的轴截面等腰三角形底边，在中，由余弦定理可得.故选：C.8．（2025·辽宁抚顺·模拟猜测）如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（

）A． B．C． D．与的大小关系不确定【答案】B【解析】设截面与圆柱底面的距离为，该平面截半球所得圆面的半径为，圆的面积为，由于圆柱的底面半径与高相等，所以，圆环的内圆半径为，所以，圆环的面积为，故，故选：B.9．（2025·高三·江苏常州·阶段练习）已知正三棱锥的外接球的表面积为，侧棱，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设正三棱锥的外接球的半径为，则，得.假设正三棱锥中，外接圆的圆心，则球心在上，设，外接圆的半径为即，两式相减得，又，解得，所以外接圆的圆心是球心.如图所示：设球心到过点的截面圆的距离为，截面圆的半径为，则，由于球心到过点的截面圆的距离的最大值为，所以的最小值为，又由于点在为半径的圆面上，则球心到过点的截面圆的距离的最小值为，所以的最大值为，总上可知，，即所以截面圆的面积的取值范围为.故选：B.10．（2025·陕西西安·模拟猜测）已知三棱锥为中点，为直二面角，且为二面角的平面角，三棱锥的外接球表面积为，则平面被球截得的截面面积及直线与平面所成角的正切值分别为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题知平面，又面，所以，又为中点，所以，取中点为，连接交于，则是外心，又，所以，连接，在上取为外心，过作平面的垂线，过作平面的垂线，两垂线的交点即为三棱锥外接球球心，则四边形是矩形，，连接，设外接圆半径，设球半径为，由于球的表面积为，所以，得到，所以在中，，所以平面截球的截面面积，在中，，所以，又为直线与平面所成角，所以，故选：D.11．（2025·高三·河北·阶段练习）某正三棱锥的外接球的表面积为，则当此三棱锥的体积最大时，底面所在平面截球的截面面积是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，正三棱锥的外接球的球心为，平面，由于表面积为，则外接球的半径为，为底面的中心，连接，设正三棱锥的侧棱长为，底面边长为，则，，，由得，即，所以，

，函数，，当时，单调递增，当时，单调递减，所以在有最大值，即时有最大值，此时，所以，所以底面所在平面截球的截面面积是.故选：D.12．（2025·四川成都·模拟猜测）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论球与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes’Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面积（如上图，这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为，则该工艺品的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设截面圆半径为，球的半径为，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即此距离为，依据截面圆的周长可得，得，故，得，所以球的表面积．如图，，且，则球冠的高，得所截的一个球冠表面积，且截面圆面积为，所以工艺品的表面积．故选：B.13．（2025·云南曲靖·模拟猜测）正方体外接球的体积为，、、分别为棱的中点，则平面截球的截面面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设正方体外接球的半径为，棱长为，由于正方体外接球的体积为，所以，则，由，得，设球心到平面的距离为，平面截球的截面圆的半径为，设到平面的距离为,由于、、分别为棱的中点，所以是边长为的正三角形,由,得,则,解得,又,所以到平面的距离为，则，，所以平面截球的截面面积为，.故选：A.二、多选题14．（2025·高二·山东临沂·期中）如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点，（，是截口椭圆的焦点）.设图中球，球的半径分别为3和1，球心距，则（

）

A．椭圆的中心在直线上B．C．直线与椭圆所在平面所成的角为D．椭圆的离心率为【答案】BD【解析】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图，点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴，可知椭圆C的中心（即线段的中点）不在直线上，故A错误；椭圆长轴长，过作于D，连，明显四边形为矩形，又，则，过作交延长线于C，明显四边形为矩形，椭圆焦距，故B正确；所以直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为，故C错误；所以椭圆的离心率，故D正确；故选：BD.15．（2025·高一·安徽阜阳·期末）如图，在棱长为2的正方体中，已知N，Q分别是棱的中点，，P分别是棱上的动点，下列结论正确的是（

）A．四周体的体积为定值B．不存在动点M，P，使得C．直线CM与平面所成角的范围是D．若M，P分别是棱的中点，由平面MNQ分割该正方体，其中截面MNQ上方的部分为几何体，某球能够被整体放入几何体，则该球半径的最大值为【答案】ACD【解析】对于A，,A正确，对于B，连接相交于，当P是棱上的动点时，过作交于，过作交于，连接,由于,故,由于，平面，故平面,平面,故,平面，平面，故，由于N，Q分别是棱的中点，所以，所以，故B错误，对于C，由于平面，平面，故，又，平面，故平面,故到平面的距离为，又平面，平面，故平面，因此到平面的距离与到平面的距离相等，即距离为，由于,设直线CM与平面为，则，由于，故，C正确，对于D，，分别是棱，的中点，点为中点时，平面在正方体上的截面为正六边形，某球能够被整体放入，该球的半径最大时，是以为顶点，底面为正六边形的正六棱锥的内切球，正六边形的边长为，面积为，正六棱锥，侧棱长，每个侧面面积为，棱锥的高为，设该球的半径为，由体积法可得，解得，D正确．故选：ACD16．（2025·山东日照·一模）如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，则（

）A．椭圆C的中心不在直线上B．C．直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为D．椭圆C的离心率为【答案】ACD【解析】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图，点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴，可知椭圆C的中心（即线段的中点）不在直线上，故A正确；椭圆长轴长，过作于D，连，明显四边形为矩形，又，则，过作交延长线于C，明显四边形为矩形，椭圆焦距，故B错误；所以直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为，故C正确；所以椭圆的离心率，故D正确；故选：ACD.17．（2025·山东·模拟猜测）如图，在正三棱台中，，三棱台的全部顶点均在球的球面上，则（

）A．B．三棱台的体积为C．球的表面积为D．平面截球所得截面圆的周长为【答案】ACD【解析】如图，延长交于点．由于，所以为的中位线．由于，所以，则，所以，同理可得．由于，都在平面内，所以平面，同理可得平面．又平面，所以，即，故A正确；设点在底面上的投影为，连接，则，所以，所以，故B错误；对于C，设与平面的交点为，球的半径为，连接，则．由于，当球心在棱台内部时，，解得，不满足题意，当球心在平面下方时，①，且②．由①②解得，所以球的表面积为，故C正确；对于D，取的中点为，连接，过点作的平行线交直线于点，则平面．由于，所以，所以，所以球被平面截得的圆面的半径为，所以截面圆的周长为，故D正确．故选：ACD18．（2025·高三·山东潍坊·期末）已知圆台上、下底面半径分别为1，4，半径为的球内切于圆台，则（

）A．B．圆台侧面开放图扇环的圆心角为C．过的截面与底面所成角为60°时，到截面距离为D．在圆台内放一正方体，正方体可绕其中心自由转动，则该正方体棱长的最大值为【答案】ABD【解析】对A，圆台上、下底面半径分别为1，4，，则半径为的球内切于圆台，所以，故A正确；对B，由A母线长为5，设圆台侧面开放图扇环的圆心角为，则依据扇形弧长，所以，故B正确；对C，过的截面与底面所成角为60°时，圆面，所以，到截面距离为，故C错误；对D，由题意A，圆台中能放下的最大球的半径为，直径为，故在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体为该球的内接正方体，棱长为，故D正确；故选：ABD19．（2025·高三·河南·开学考试）如图，球被一个距离球心的平面截成了两个部分，这两个部分都叫作球缺，截面叫作球缺的底面，球缺的曲面部分叫作球冠，垂直于截面的直径被截后所得的线段叫作球缺的高.球冠的面积公式为，球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高，记两个球缺的球冠面积分别为，两个球缺的体积分别为，则下列结论正确的是（

）A．若，则两个球缺的底面面积均为B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BCD【解析】对于A，设这两个球缺的底面圆半径为，则，由于，，解得，该圆的面积为A错误.对于B，设两个球缺的高分别为，则.由，得，则，所以，解得.，同理得，所以B正确.对于C，.设，由，得，则，C正确.对于D，.由，得.设函数，则在上恒成立，即在上单调递增，所以，即D正确.故选：BCD.20．（2025·全国·模拟猜测）已知平面平面，且均与球相交，得截面圆与截面圆为线段的中点，且，线段与分别为圆与圆的直径，则（

）A．若为等边三角形，则球的体积为B．若为圆上的中点，，且，则与所成角的余弦值为C．若，且，则D．若，且与所成的角为，则球的表面积为或【答案】BCD【解析】由球心为线段的中点，可知圆、圆的半径相同．设球的半径为，圆与圆的半径为.对于A，由题意，.由于，所以，解得（负值已舍去）.所以，解得（负值已舍去），所以，故A错误.对于B，由于，所以三点在同一平面内.由于点分别为线段的中点，所以为的中位线，所以，所以为与所成的角.由于，所以.又，所以，所以，故B正确.对于C，由于，所以以为原点，分别以，所在直线为轴、轴，以圆中垂直于的直径所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，则，所以，所以，所以，故C正确.对于D，以为原点，以，所在直线分别为轴、轴，以圆中垂直于的直径所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如上图，则，所以，所以，所以，解得（负值已舍去）或（负值已舍去）.当时，球的半径为，所以球的表面积；当时，球的半径为，所以球的表面积，故D正确.故选：BCD.21．（2025·高三·山东潍坊·期末）已知圆柱的高为2，为下底面圆的一条直径，为上底面圆上任意一点，球内切于圆柱，则（

）A．球的体积为 B．直线，为异面直线C．直线与圆柱上底面所成的角为 D．平面截球所得截面面积最小值为【答案】ACD【解析】由于圆柱的高为2，且球内切于圆柱，所以球的半径，对于A，球的体积，故A正确；对于B，设平面截圆柱所得截面为，当点在截面内时，直线与直线共面，故B错误；对于C，由于平面，所以即为直线与圆柱下底面所成的角，如图：又，所以为等腰直角三角形，即，由于圆柱的上下底面平行，所以直线与圆柱上底面所成的角为，故C正确；对于D，设过点的圆柱的轴截面为，过点在平面内作，垂足为，如图：易知，，，由勾股定理可得，由于与相像，所以，即，设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为，由于平面，当平面时，取最大值，即，所以，所以平面截得球的截面面积最小值为，故D正确.故选：ACD.22．（2025·河南·模拟猜测）已知四周体的顶点，，，均在球的球面上，是边长为2的等边三角形，，棱，，的中点分别为，，，过，，三点的平面截四周体所得截面四边形的对角线相互垂直，则（

）A．B．与所成角不行能为90°C．直线与平面所成的角为30°D．球的表面积为【答案】ABD【解析】对于A，如图，连接，，则，且，取的中点，连接，，则，且，所以且，所以过，，三点的平面截该四周体所得截面为平行四边形，又，则四边形为菱形，所以，则，A正确；对于B，若与所成角为90°，则，由，得，得平面，所以，则，这与冲突，所以与所成角不行能为90°，B正确；对于C，取的中点，连接，由于是边长为2的等边三角形，所以，则，连结，由于，则，所以，则，又平面，所以平面，则为棱与平面所成角，则，所以直线与平面所成角为60°，C错误；对于D，由以上分析，平面，由于为直角三角形，且为斜边，所以四周体外接球的球心为的外接圆的圆心，则球的半径，所以四周体外接球的表面积为，D正确.故选：ABD.三、填空题23．（2025·甘肃兰州·一模）正方体的棱长为2，平面截正方体内切球所得的截面面积为．【答案】【解析】正方体的中心是内切球球心，设为O，O到平面的距离为d，设A到平面的距离为，由于，所以，所以，所以，正方体内切球半径，正方体内切球被平面截球面所得的截面是一个圆半径为r的圆，所以，所以圆的面积为．故答案为：．24．（2025·高三·全国·开学考试）一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高.若球缺的高为，球的半径为，则球缺的体积.已知一个圆柱的轴截面是边长为8的正方形，且正方形的中心为.球的半径为5，则球与圆柱重合部分的体积为.【答案】【解析】如图实际就是两个球缺加一个:那么那么我们先把球缺的体积算了.先画平面图先算球缺的上下底，先算上底.下底，再算高，即.所以我们剩下的（DBFE）是大球缺小球缺，所以两个球缺的体积为:.再算圆柱的体积.【方法二】如图，球与圆柱重合部分可以看成上下两部分加中间一个圆柱，上部分和下部分外形相同，可以看成一个缺挖掉一个小球缺.那么我们先算上部分体积，再算圆柱体积，则，即可得到结果.，所以.，故.故答案为：.25．（2025·全国·模拟猜测）已知某圆柱的高与底面圆的直径均为4，则该圆柱的外接球的体积为；是圆柱下底面圆的直径，是圆柱上底面圆周上一点．记该圆柱的内切球为球，则平面截球所得截面面积的取值范围为．【答案】【解析】由题可知，圆柱的外接球的直径为，则圆柱的外接球的体积为．如图，四边形是圆柱的一个轴截面，圆柱上、下底面的圆心分别为，则为线段的中点．连接，则平面．过作于，则．设到平面的距离为，平面截球的截面圆的半径为，球的半径为，则平面截球的截面面积最小值为易知当直径与重合时，平面截球的截面面积最大，且最大值为平面截球所得截面面积的取值范围为．故答案为：；26．（2025·高三·云南昆明·阶段练习）刘徽在《九章算术注》中首次明确提出了球缺和球分的概念，如图，球被平面截取，曲面部分为球冠，球冠与截面围成的部分为球缺，祖暅精确推导了球缺的体积计算公式为，其中是球的半径，是球缺的高（即球冠顶点到截面的距离）.连接球心与截面，与球冠围成的部分为球分.若一球缺的高为3，截面半径为，则它对应的球分的体积为.

【答案】【解析】由题可得，，解得，则，，所以.故答案为：27．（2025·安徽·模拟猜测）在平面四边形中，，将沿折起，使点到达，且，则四周体的外接球的体积为；若点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆中面积最小的圆半径为．【答案】/【解析】由题意知，，，，由勾股定理可知，所以，取的中点，所以，所以四周体的外接球的球心在斜边的中点处，四周体的外接球的半径，外接球的体积；依据题意可知，过点作球的截面，若要所得的截面圆面积最小，只需截面圆半径最小，设球到截面的距离为，则由球的截面性质可知，故若要所得的截面圆面积最小，只需球心到截面的距离最大即可，又由球的结构特征可知当且仅当与截面垂直时，球心到截面的距离最大，即，取的中点，所以，所以截面圆的半径为.故答案为：；.28．（2025·山东临沂·一模）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为，体积为.

【答案】【解析】由于，所以，设圆的半径为，又，解得（负值舍去），过点作交于点，过点作交于点，则，，所以，同理可得，，将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，其中球缺的高，圆锥的高，底面半径，则其中一个球冠的表面积，球的表面积，圆锥的侧面积，所以几何体的表面积，又其中一个球缺的体积，圆锥的体积，球的体积，所以几何体的体积.故答案为：；29．（2025·高三·江苏常州·阶段练习）在正四周体中，为边的中点，过点作该正四周体外接球的截面，记最大的截面面积，最小的截面面积为，则；若记该正四周体内切球和外接球的体积分别为和，则．【答案】【解析】将正四周体放置于正方体中，如图所示，可得正方体的外接球就是正四周体的外接球，外接球的球心O为正方体的体对角线DF的中点，设正四周体的棱长为，则正方体的棱长为，由于外接球的直径等于正方体的对角线长，所以外接球的半径为，E为BC边的中点，过E作该正四周体外接球的截面，当截面过球心O时，截面面积最大，最大值为，当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积取最小值，此时球心O到截面的距离为，可得截面圆的半径为，从而截面面积的最小值为．所以；设正四周体内切球的球心为G，半径为，取底面BCD的中心H，连接AH，则AH为正四周体的高，G在AH上，H在DE上，正四周体的每个面的面积为，，正四周体的高，故正四周体的体积为，连接G与正四周体的4个顶点可以得到4个的正三棱锥，每个