培优点08圆锥曲线中非对称韦达定理的应用（2大考点+强化训练）（学生版）

培优点08圆锥曲线中非对称韦达定理的应用（2大考点+强化训练）名目题型归纳 1题型01分式型 1题型02比值型 4【考情分析】在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x或y，得到一个一元二次方程，往往能够利用韦达定理来快速处理|x1－x2|，xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)，eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)之类的结构，但在有些问题中，我们会遇到涉及x1，x2的不同系数的代数式的运算，比如求eq\f(x1,x2)，eq\f(3x1x2＋2x1－x2,2x1x2－x1＋x2)或λx1＋μx2之类的结构，我们把这种系数不对等的结构，称为“非对称韦达结构”．【核心题型】考点一：分式型规律方法非对称结构的常规处理方法有和积转换、配凑、求根公式(暴力法)、曲线方程代换、第三定义等方法，将其转化为对称结构计算．【例题1】（2025·北京海淀·模拟猜测）已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆C的左右顶点．B为椭圆C的上顶点，为椭圆C的左焦点，且的面积为．（1）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点的动直线l为椭圆于E、F两点（点E在x轴上方），M，N分别为直线与y轴的交点，O为坐标原点，来的值．【变式1】（24-25高三上·江苏·期末）已知点，分别为双曲线E：的左、右焦点，点到双曲线E的渐近线的距离为，点A为双曲线E的右顶点，且．(1)求双曲线E的标准方程；(2)若四边形为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线过定点．【变式2】（24-25高三上·浙江宁波·期末）双曲线左顶点为A，实轴长是虚轴长的2倍，其左焦点坐标为，过A点的两条直线分别交双曲线的右支于点P，Q，且(1)求双曲线的方程；(2)（ⅰ）证明：直线PQ过定点；（ⅱ）直线AP，AQ，PQ分别交直线于点M，N，T，若，求PQ的直线方程.【变式3】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右顶点，右焦点，，过且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，在轴上方．(1)求椭圆的标准方程；(2)记，的面积分别为，，若，求的值；(3)设线段的中点为，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，，求的值．考点二:比值型规律方法比值型问题适用于x1＝λx2型，可以接受倒数相加，但有时得到的可能不是这种形式，而是x1＝λx2＋k的形式，此时接受待定系数法，例如x1＝－3x2＋4，可以转化x1－1＝－3(x2－1)，得到eq\f(x1－1,x2－1)＝－3，连续接受倒数相加解决．【例题2】（24-25高三上·青海·阶段练习）已知椭圆C的下顶点为，右焦点为为坐标原点，是等腰直角三角形，是上一动点，且的最大值为.(1)求的方程；(2)已知点满足是椭圆上异于顶点的点，直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点，求直线的斜率.【变式1】（24-25高三上·山西运城·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的长轴长为4，且点在C上.(1)求C的方程;(2)设C的右焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点.①求面积S的取值范围;②若，求l的斜率.【变式2】（2025·山西·一模）双曲线的左、右顶点分别为，，焦点到渐近线的距离为，且过点.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于，两点，且，证明直线过定点.【变式3】（2025·河南·模拟猜测）已知分别为双曲线的左､右顶点，，动直线与双曲线交于两点．当轴，且时，四边形的面积为．(1)求双曲线的标准方程．(2)设均在双曲线的右支上，直线与分别交轴于两点，若，推断直线是否过定点．若过，求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．【强化训练】一、单选题1．（21-22高三上·山东淄博·期末）已知椭圆的右焦点为F，上顶点为B，直线BF与C相交于另一点A，点A在x轴上的射影为，O为坐标原点，若，则C的离心率为（

）A． B． C． D．2．（22-23高三上·广东·阶段练习）已知椭圆的离心率为，左焦点为F，过F作倾斜角为的直线交椭圆E于M、N两点，且（其中），则的值为（

）A．2 B． C． D．33．（2025·内蒙古包头·一模）已知点在双曲线上，斜率为k的直线l过点且不过点P．若直线l交C于M，N两点，且，则（

）A． B． C． D．二、多选题4．（2025·江西·模拟猜测）已知，，，动点满足与的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，且，的中点为，则（

）A．的轨迹方程为B．的最小值为1C．若为坐标原点，则面积的最大值为D．若线段的垂直平分线交轴于点，则点的横坐标是点的横坐标的倍5．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右顶点分别为，直线与直线，及轴分别交于点，则（

）A．的周长为B．直线，，，的斜率之积为定值C．当时，线段的中点到直线的距离为D．若，则的取值范围是三、填空题6．（2025高三下·江苏·专题练习）已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.设点是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，若，则直线过定点.7．（2025高三·全国·专题练习）已知F1，F2分别为椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点F2关于直线y＝x对称的点Q在椭圆上，则椭圆的离心率为；若过F1且斜率为k(k＞0)的直线与椭圆相交于A，B两点，且AF1＝3F1B，则k＝．8．（24-25高三上·内蒙古通辽·期末）不经过点的直线交双曲线于，两点，直线，的斜率互为相反数.求的倾斜角为.四、解答题9．（24-25高三上·青海·阶段练习）已知椭圆C的下顶点为，右焦点为为坐标原点，是等腰直角三角形，是上一动点，且的最大值为.(1)求的方程；(2)已知点满足是椭圆上异于顶点的点，直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点，求直线的斜率.10．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴．(1)求的方程；(2)过右焦点且斜率大于的直线与双曲线的右支交于两点，若，求直线的方程．11．（2025·浙江·二模）已知双曲线的渐近线方程为，左右顶点为，设点，直线分别与双曲线交于两点（不同于）.(1)求双曲线的方程；