湖北省东风高级中学2026届高二数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析

湖北省东风高级中学2026届高二数学第一学期期末综合测试模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知、、、是直线，、是平面，、、是点（、不重合），下列叙述错误的是（）A.若，，，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，则2．设,则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．设点关于坐标原点的对称点是B，则等于（）A.4 B.C. D.24．（）A.-2 B.-1C.1 D.25．在棱长均为1的平行六面体中，，则（）A. B.3C. D.66．设变量，满足约束条件则的最小值为（）A.3 B.－3C.2 D.－27．已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为，则双曲线的离心率为A.或 B.或C.或 D.或8．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.如图所示的圆形剪纸中，正六边形的所有顶点都在该圆上，若在该圆形剪纸的内部投掷一点，则该点恰好落在正六边形内部的概率为（）A. B.C. D.9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里10．在中国共产党建党100周年之际,广安市某中学组织了“党史知识竞赛”活动,已知该校共有高中学生1000人,用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为25的样本参加活动,其中高二年级抽取了8人,则该校高二年级学生人数为()A.960 B.720C.640 D.32011．已知直线交圆于A，B两点，若点满足，则直线l被圆C截得线段的长是（）A.3 B.2C. D.412．已知椭圆经过点，当该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长最小时，其标准方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在正方体中，则直线与平面所成角的正弦值为__________14．求值______.15．已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于，两点，，为的准线上一点，则的面积为________16．设在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，从下列四个条件：①；②；③；④中选出三个条件，能使满足所选条件的存在且唯一的所有c的值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4.E为棱上的动点，F为棱的中点.（1）证明：；（2）若E为棱上的中点，求直线BE到平面的距离.18．（12分）已知为直角梯形，，平面，，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19．（12分）设命题p：实数x满足x≤2，或x＞6，命题q：实数x满足x2﹣3ax+2a2＜0（其中a＞0）（1）若a＝2，且为真命题，求实数x的取值范围；（2）若q是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.20．（12分）如图，已知正方体的棱长为，，分别是棱与的中点.（1）求以，，，为顶点的四面体的体积；（2）求异面直线和所成角的大小.21．（12分）已知离心率为的椭圆经过点.（1）求椭圆的方程；（2）若不过点的直线交椭圆于两点，求面积的最大值.22．（10分）随着生活条件的改善，人们健身意识的增强，健身器械比较畅销，某商家为了解某种健身器械如何定价可以获得最大利润，现对这种健身器械进行试销售.统计后得到其单价x（单位：百元）与销量y（单位：个）的相关数据如下表：单价x（百元/个）3035404550日销售量y（个）1401301109080（1）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（2）若每个健身器械的成本为25百元，试销售结束后，请利用（1）中所求的线性回归方程确定单价为多少百元时，销售利润最大？（结果保留到整数），附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.参考数据：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由公理2可判断A选项；由公理3可判断B选项；利用平行线的传递性可判断C选项；直接判断线线位置关系，可判断D选项.【详解】对于A选项，由公理2可知，若，，，，则，A对；对于B选项，由公理3可知，若，，，则，B对；对于C选项，由空间中平行线的传递性可知，若，，则，C对；对于D选项，若，，则与平行、相交或异面，D错.故选：D.2、B【解析】,，所以是必要不充分条件，故选B.考点：1.指、对数函数的性质；2.充分条件与必要条件.3、A【解析】求出点关于坐标原点的对称点是B，再利用两点之间的距离即可求得结果.【详解】点关于坐标原点的对称点是故选：A4、A【解析】利用微积分基本定理计算得到答案.【详解】.故选：.【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力.5、C【解析】设，，，利用结合数量积的运算即可得到答案.【详解】设，，，由已知，得，，，，所以，所以.故选：C6、D【解析】转化为，则最小即直线在轴上的截距最大，作出不等式组表示的可行域，数形结合即得解【详解】转化为，则最小即直线在轴上的截距最大作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线，平移该直线，当直线经过时，在轴上的截距最大，最小，此时，故选：D7、B【解析】分双曲线的焦点在轴上和在轴上两种情况讨论，求出的值，利用可求得双曲线的离心率的值.【详解】若焦点在轴上，则有，则双曲线的离心率为；若焦点在轴上，则有，则，则双曲线的离心率为.综上所述，双曲线的离心率为或.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，在双曲线的焦点位置不确定的情况下，要对双曲线的焦点位置进行分类讨论，考查计算能力，属于基础题.8、D【解析】设圆的半径，求出圆的面积与正六边形的面积，再根据几何概型的概率公式计算可得；【详解】解：设圆的半径，则，则，所以，所以在该圆形剪纸的内部投掷一点，则该点恰好落在正六边形内部的概率;故选：D9、B【解析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故选：B10、D【解析】由分层抽样各层成比例计算即可【详解】设高二年级学生人数为,则,解得故选:D11、B【解析】由题设知为圆的圆心且A、B在圆上，根据已知及向量数量积的定义求的大小，进而判断△的形状，即可得直线l被圆C截得线段的长.【详解】∵点为圆的圆心且A、B在圆上，又，∴，∴，又，∴，故△为等边三角形，∴直线l被圆C截得线段的长是2故选：B12、A【解析】把点代入椭圆方程得，写出椭圆顶点坐标，计算四边形周长讨论它取最小值时的条件即得解.【详解】依题意得，椭圆的四个顶点为，顺次连接这四个点所得四边形为菱形，其周长为，，当且仅当，即时取“=”，由得a2=12，b2=4，所求标准方程为.故选：A【点睛】给定两个正数和(两个正数倒数和)为定值，求这两个正数倒数和(两个正数和)的最值问题，可借助基本不等式中“1”的妙用解答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为1，所以，，，，因此，，，设平面的法向量为：，所以有：，令，所以，因此，设与的夹角为，直线与平面所成角为，所以有，故答案为：14、【解析】将原式子变形为：，将代入变形后的式子得到结果即可.【详解】将代入变形后的式子得到结果为故答案为：15、【解析】先设出抛物线方程，写出准线方程和焦点坐标，利用得到抛物线方程，再利用三角形的面积公式进行求解.【详解】设抛物线的方程为，则焦点为，准线方程为，由题意，得，，，所以，解得，所以.故答案为：.16、，##，【解析】由①②结合正弦定理可求出，但是角不唯一，故所选条件中不能同时有①②，只能是①③④或②③④，若选①③④，结合余弦定理可求，若选②③④，结合正弦定理即可求解【详解】由①②结合正弦定理，所以，此时角不唯一，所以故所选条件中不能同时有①②，所以只能是①③④或②③④，若选①③④，即，，，由余弦定理可得，解得，若选②③④，即，，，因为，，所以，由正弦定理得，，故答案为：，三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明计算作答.(2)利用(1)中坐标系，证明平面，再求点B到平面的距离即可作答.【小问1详解】在正四棱柱中，以点D为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则，因E为棱上的动点，则设，，而，，即，所以.【小问2详解】由(1)知，点，，，，设平面的一个法向量，则，令，得，显然有，则，而平面，因此，平面，于是有直线BE到平面的距离等于点B到平面的距离，所以直线BE到平面的距离是.18、（1）证明见解析；（2）.【解析】建立空间直角坐标系.（1）方法一，利用向量的方法，通过计算，，证得，，由此证得平面.方法二，利用几何法，通过平面证得，结合证得，由此证得平面.（2）通过平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值.【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，可得，，，.（1）证明法一：因为，，，所以，，所以，，，平面，平面，所以平面.证明法二：因为平面，平面，所以，又因为，即，，平面，平面，所以平面.（2）由（1）知平面的一个法向量，设平面的法向量，又，，且所以所以平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19、（1）{x|2＜x＜4}；（2）.【解析】（1）分别求出命题和为真时对应的取值范围，即可求出；（2）由题可知，列出不等式组即可求解.【详解】解：（1）当a＝2时，命题q：2＜x＜4，∵命题p：x≤2或x＞6，，又为真命题，∴x满足，∴2＜x＜4，∴实数x的取值范围{x|2＜x＜4}；（2）由题意得：命题q：a＜x＜2a；∵q是的充分不必要条件，，，解得，∴实数a的取值范围.【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含20、（1）（2）【解析】（1）由题意可知该四面体为以为底面，以为高的四面体，可得四面体体积；（2）连接，，可得即为异面直线和所成的角的平面角，根据余弦定理可得角的大小.【小问1详解】解：连接，，，以，，，为顶点的四面体即为三棱锥，底面的面积，高，则其体积；【小问2详解】解：连接，，，则即为异面直线和所成的角的平面角，在中，，，，则，故，即和所成的角的的大小为.21、（1）；（2）.【解析】（1）根据，可设，，求出，得到椭圆的方程，代入点的坐标，求出，即可得出结果.（2）设出点，的坐标，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求出弦长，由点到直线的距离公式，三角形的面积公式及基本不等式可得结论.【详解】（1）因为，所以设，，则，椭圆的方程为.代入点的坐标得，，所以椭圆的方程为.（2）设点，的坐标分别为，，由，得，