热点7-1 直线与圆的综合应用（10题型+高分技法+限时提升练）（学生版）

热点7-1直线与圆的综合应用三年考情分析2025考向猜测在近三年的高考数学中以选择题、填空题为主，部分解答题涉及直线与圆的综合应用．考查内容多为基础学问和常见题型，但部分题目需要较强的综合力量，命题留意考查直线与圆的几何性质，如弦长公式、切线长公式等．估计2025年直线与圆的综合应用将连续以选择题、填空题和解答题的形式消灭，难度中等偏上．命题可能会结合圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线）的性质，考查直线与圆的综合应用．题型1直线的倾斜角与斜率1、求倾斜角的取值范围的一般步骤（1）求出斜率的取值范围．（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要留意斜率是否存在．2、斜率取值范围的2种求法（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；（2）函数图象法：依据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可．1．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·模拟猜测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·江西新余·模拟考试）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．3．（24-25高三上·河北承德·月考）已知直线在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（

）A． B．或C．或 D．或4．（24-25高三上·广西南宁·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．题型2直线的方程及应用1、求解直线方程的两种方法（1）直接法：依据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；（2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程．2、直线过定点：过与的交点的直线可设为：．1．（24-25高三上·安徽淮南·月考）过点且倾斜角为的直线的方程为（

）A． B．C． D．2．（24-25高三上·安徽宿州·期末）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则的方程是（

）A． B．C． D．3．（24-25高三上·河南·月考）（多选）经过点且在两坐标轴上的截距的确定值相等的直线方程可能为（

）A． B．C． D．4．（24-25高三上·河北衡水·模拟猜测）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（

）A．； B．；C．； D．；题型3两条直线平行与垂直1、由一般式方程确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)2、平行垂直直线一般方程的设法：（1）平行：与直线垂直的直线方程可设为．（2）垂直：与直线垂直的直线方程可设为．1．（24-25高三上·陕西商洛·期末）若直线与直线平行，则（

）A．1 B． C．3 D．2．（23-24高三下·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（

）A． B．C． D．3．（24-25高三上·贵州·月考）已知直线与直线相互垂直，则为（

）A． B．或0 C． D．或04．（24-25高三上·广西贵港·月考）已知直线与直线，则“”是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件题型4三种距离公式及应用1、平面内两点间的距离公式一般地，计算，两点之间的距离公式为．2、点到直线的距离公式点到直线的距离．3、两平行线间的距离公式设两条平行直线，，它们之间的距离为，则为上任意一点到的距离，即留意：（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．1．（24-25高三下·重庆·月考）已知直线上有一个动点，若点满足，则点到直线的距离为.2．（23-24高三下·浙江杭州·模拟猜测）平行直线与之间的距离为（

）A． B． C． D．3．（24-25高三下·浙江·开学考试）在等腰梯形中，．设是其内部一点，满足，，，，则（

）A． B． C．2 D．34．（24-25高三上·广东佛山·模拟猜测）已知实数x，y满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．1题型5几类对称问题及应用1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．1．（24-25高三上·重庆·月考）已知直线恒过定点P，则点P关于直线的对称点的坐标是．2．（24-25高三下·重庆沙坪坝·模拟猜测）设直线，一束光线从原点动身沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若，则的值为（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·广东·期中）已知点，，，，平面上仅在线段，，所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量的方向从线段上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在，，各反射一次后从线段上某点射出，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·辽宁·模拟猜测）已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（

）A． B． C． D．题型6求圆的标准（一般）方程求圆的方程的方法1、几何法：依据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；（2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．1．（24-25高三上·浙江温州·模拟猜测）圆心为且与抛物线的准线相切的圆的方程是（

）A． B．C． D．2．（24-25高三上·海南·模拟猜测）如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为米，门在地面处的宽度为米.现将其截面图放置在直角坐标系中，以地面所在的直线为轴，过圆心的竖直直线为轴，则门的轮廓所在圆的方程为（

）A． B．C． D．3．（24-25高三上·江苏徐州·月考）已知圆的圆心为，且直线与圆相切，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．4．（23-24高三上·江苏无锡·月考）已知点，若点在圆：上运动，则线段的中点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．题型7圆的切线方程与切线长1、求过一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法（1）几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证；（2）代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证．2、切线长：若圆的方程为，则过圆外一点的切线长为.1．（24-25高三上·湖南·月考）写出一个半径为，且与直线相切于点的圆的方程：．2．（24-25高三上·黑龙江鸡西·月考）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（

）A． B．或C． D．或3．（24-25高三上·湖南衡阳·月考）已知圆，过直线上的动点作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（

）A．2 B．4 C． D．34．（24-25高三上·广东佛山·模拟猜测）已知圆，过圆上一点P作圆O的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．题型8圆的切点弦及弦长问题1、直线与圆相交时的弦长求法：（1）几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系，整理出弦长公式为：．（2）代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长；（3）弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长2、切点弦方程：过外一点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦所在直线方程为：．1．（24-25高三上·江西景德镇·二模）已知圆，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为点和点，则（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·重庆·月考）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知圆，直线，则直线与圆相交弦长的最小值为（

）A．4 B．2 C．6 D．4．（24-25高三上·河北·月考）若直线与圆的两个交点、恰好关于直线对称，则（

）A． B． C． D．题型9两圆的公共弦问题1、两圆公共弦所在直线的方程若圆：与圆：相交，则两圆的公共弦所在直线的方程为．2、公共弦长的求法（1）代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．（2）几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离及弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．1．（24-25高三上·四川成都·月考）若圆与圆相交于、，则所在直线方程是（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·云南昆明·月考）已知圆与圆相交于两点，若线段的中点为，则（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·湖北随州·月考）设为直线上的任一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点.4．（24-25高三上·江西新余·月考）已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（

）A． B． C．或1 D．题型10两圆的公切线问题1、两圆公切线方程的确定（1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程；（2）当公切线的斜率不存在时，要留意运用数形结合的方法，观看并写出公切线的方程．2、公切线长的求法：公切线上两个切点间的距离叫公切线长．（1）连接两圆的圆心与两切点，外公切线一般直接构造直角梯形，内公切线一般构造直角三角形；（2）若为外公切线，过一个圆心作直角梯形的高，将梯形分成矩形和直角三角形；（3）转化为解直角三角形的问题．1．（24-25高三上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系内，原点到直线的距离为，且点到直线的距离为，则满足条件的直线共有（

）A．条 B．条 C．条 D．条2．（24-25高三上·辽宁·月考）已知圆与圆有且仅有三条公切线，则的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）已知圆O：与圆C关于直线l：对称，则圆O与圆C的一条公切线方程为（写出其中一条公切线方程即可）.4．（23-24高三下·河南·模拟猜测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为．（建议用时：60分钟）一、单选题1．（24-25高三上·山东菏泽·月考）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．（24-25高三下·全国·开学考试）已知实数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·云南昭通·一模）直线：与圆：的公共点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．1或24．（24-25高三上·广东茂名·一模）已知直线，直线，若，则实数的值为（

）A．1 B． C．或1 D．05．（24-25高三上·江西南昌·月考）已知，直线，且，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．166．（23-24高三下·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（

）A． B．1 C． D．27．（24-25高三上·广东深圳·模拟猜测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．8．（24-25高三上·河北衡水·月考）已知，B(4,1)，点P满足，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（24-25高三上·江西·模拟猜测）已知直线，则（

）A．的方程可以表示过点的任意一条直线B．原点到的距离的最大值为C．的充要